CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES. II

limité latéralement par une portion de surface cylindrique C, en haut par S', en bas par S. La formule (6), à démontrer, s'obtient en écrivant que la somme algébrique des projections des éléments superficiels de la surface fermée G H- S + S' sur le plan des xz est nulle.

En effet, la somme algébrique des projections des éléments superficiels de la surface cylindrique C sur le plan xOz est

Pdx,

car l'aire élémentaire comprise entre deux génératrices AA' et BB', infiniment voisines, se projette sur le plan des xz suivant un parallélogramme aa' bb' de base aa' ■= KPJ =^V{x, y., z) et de hauteur dx; la somme algébrique des projections des éléments <:/ode S est

li^

ch ; la somme algébrique des projections des éléments d'y' de S' est

fij'

si l'on appelle a', jj', y' les cosinus directeurs de la normale M'N' à S' extérieure au volume V. Écrivant que la somme de ces projections est nulle, on a

(7) fpdx-^ f f^d^^ f f^'d:^'= o.

Evaluons dr et a', [j', y' d fonction de dy et a, [3, y- Tout d'abord, si l'on considère un cylindre élémentaire parallèle à Oc ayant pour base un élément c/cr de S, il découpe sur S' un élément c/o-'; la somme algébrique des projections de ces deux éléments sur le plan xOy est évidemment nulle; donc

Y di -+- y' di' = o, d<^' = ', d'y;

on en conclut

/X?'"''=-/Xf*-

Il ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

La relation (-) devient alors ( .s ) Cpdx-i- f f ^'' ~ ^^^ ch = G.

La surface S avant pour équation

nous appellerons p et q les dérivées partielles de z par rapport à x et j'; nous aurons alors, entre les cosinus directeurs de la normale MN, les relations

Le point M avant pour coordonnées x^y^ z^ les coordonnées x' ^ y , z' de M' sont

si donc on appelle />' et r/ les dérivées partielles de z' par rapport à x'^y ou, ce qui revient au même, par rapport à x cl y, on a

dP dP P^P-^d^-TzP^ dP dP

et les cosinus directeurs de la normale M'N' vérifient les relations

Dans la relation qui donne q\ remplaçons q' par — ^y et q par

— -> nous aurons

Py'-T?'.^^j3^

y' ' cjx "^ àz

La relation (8) devient donc

l^a formule est ainsi démontrée.