CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES. l

11 est facile maintenant de faire disparaître les deux hypothèses restrictives que nous avons faites : quelle que soit la surface S, on peut la diviser par des courbes auxiliaires en parties telles que, sur chacune d'elles, y et P aient un signe constant.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il faille diviser la surface S

en quatre parties S(, So, Sj, S/, par les courbes ABD, CDE. La formule s'applique à chacune des parties ; on a

Ajoutant ces formules membre à membre et remarquant que, dans la somme des premiers membres, les intégrales telles que

/ P dx et / V dx prises en sens contraires sur la même courbe

ont une somme nulle, on obtient la formule à démontrer.

En faisant une permutation circulaire on démontre de même les deux formules

Ajoutons ces formules à la formule (9), nous aurons la formule

l\ ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

de Stokes dans sa généralité f{ Pdcr-r-q cly ^ R rf^)

S4-1. Interprétation géométrique de la formule de Stokes. —

[Nous avons appelé K le vecteur appliqué au jjoint ^\[x. y, z) et ayant pour projections les valeurs des fonctions P, Q, R en ce point. Considérons, dans le champ de vecteurs, un contour fermé L et menons, en chaque point A de ce contour, la tangente A^ dans le sens de circulation choisi sur ce contour {Jig. '^79); soient dx, dy^ dz les projections d'un déplacement infiniment petit AA':= ds effectué sur le contour dans le sens de circulation choisi, la quantité V dx -^ Ç^dy -^^dz est égale à Y^^tds, K^^ désignant la projection du vecteur K sur la tangente A^. Cela résulte immédiatement de ce que nous avons vu autrefois pour l'expression du travail élémentaire (n° 83). On a donc

Tp dx -^ Q dy — R dz = Tk,

ds,

et la valeur commune de ces intégrales est le travail total qu'accomplirait une force fictive égale à K agissant sur un mobile qui parcourrait le contour L dans le sens choisi.

D'autre part, faisons correspondre, à chaque point M du champ, un deuxième vecteur ]MW ayant pour projection sur les trois axes

' "'' "-^ jy 0- •> oz dx - dx dy

Ce nouveau vecteur s'appelle le tourbillon du ju-emier K. L'intéiirale double figurant dans le deuxième membre de la formule de Stokes est alors

W« désignant la projection deW sur la normale à drr. Cette inté-