CHAPITRE XXX. — EQUATIONS GENERALES. I
gazeux, en équilibre ou en mouvement. Nous regarderons ce système comme continu: il occupe alors un certain volume V limité par une surface S. Tels seraient, par exemple, un gaz clans une enveloppe, un licpiide, une cloche vibrante, etc.
Les forces extérieures agissant sur le système, à un instant ?, peuvent être partagées en deux catégories :
1" 11 existe des forces extérieures agissant sur les éléments de volume. Soient ch un de ces éléments de volume, dm sa masse. dm
p = —j- la densité du milieu dans l'élément ch ; la force qui agit
Fig. 3o^.
Ta' a
FpdX
sur l'élément dm est de l'ordre de cet élément ; nous désignerons son intensité par ¥ dm ou Fpdx; nous dirons alors cjue le coefficient F est la force qui agit sur l'élément dm rapportée à /'unité de masse.
2" Il existe également des forces extérieures agissant sur les éléments superficiels du corps. Soit c/o- un élément de surface : nous admettrons que, sur cet élément, agit une force de l'ordre de d<7; nous la désignerons par T c/t, et nous appellerons T V effort s'exerçant sur l'élément superficiel c/o- rapporté à V unité de surface; la force T «io- est Veffort élémentaire s'exerçant sur l'élément d'j; cette force T «r/o- est en général oblicjue sur l'élément d<7 ; quand elle est dirigée vers V intérieur de la surface limitant le corps, on l'appelle plus spécialement /)/'e55/o«; quand elle est dirigée vers V extérieur on l'appelle traction ou tension. (Cauchy, loc. cit.)
Le mot effort, que nous employons, pour désigner d'une manière générale la force T, est employée couramment par les ingé-
IlS KQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
nieurs; il a été adopté par ^IM. Cosserat dans leurs intéressants Mémoires sur V Elasticité (^Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. X); il répond à l'expression anglaise stress, introduite par Kankine dans la théorie de lElasticité.
En résumé, à l'instant /, les forces extérieures appliquées au corps sont des forces F o d-z appliquées aux éléments de volume et des forces T dy appliquées aux éléments superficiels. Par exemple, si une masse gazeuse pesante est enfermée dans un vase dans lecpiel elle se meut, les forces extérieures appliquées à cette masse peuvent se diviser comme il suit :
i" Sur chaque élément de volume d'z du gaz agit son poids g'od-. p désignant la densité de l'élément considéré; le coefficient g" est la force due à la pesanteur rapportée à l'unité de masse;
2" Sur chaque élément d^ de la surface du gaz est appliquée une pression T dy représentant Taclion du vase sur cet élément; cette action est normale si l'on néglige le frottement du gaz sur les parois du vase qui le contient; sinon elle est oblique. On peut remarquer que, d'après le principe de légalité de l'action et de la réaction, les pressions du gaz sur le vase sont égales et opposées aux ])ressions T r/o- du vase sur le gaz.
De même, si nous considérons un prisme droit chargé debout, par exemple, une colonne supportant une charge, sur les éléments de volume é/t agissent les poids godz; sur les éléments superficiels des bases supérieures et inférieures agissent des pressions jjrovenant de la charge supportée et des réactions du sol; sur les éléments superficiels des parois latérales de la colonne n'agit que la pression atmosphérique, qui est négligeable.
609. Discussion des hypothèses précédentes. — Nous venons de dire que l'on peut se représenter certaines des forces extérieures comme appliquées aux éléments superficiels di du système. C'est là une façon de parler qu'il est indispensable d'approfondir.
Le milieu continu considéré A (Ji,ç. 3o4 ) est terminé par une surface S par laquelle il est en contact avec un autre milieu B. Les forces appliquées sur les éléments superficiels de S représentent les actions de contact du milieu B sur le milieu A. En réalité, ce sont les éléments du milieu B très voisins de S qui agissent sur les éléments du milieu A également très voisin de la surface de séparation S : de sorte que, si l'on imagine deux surfaces S| et S2 parallèles à S, situées à une distance très petite t de S. l'action de contact du milieu B sur A se réduit à l'action des éléments de B
CHAPITIIK XXX. — KQUATIONS GENERALES. I ir)
compris entre S et So, sur les éléments de A compris entre S et Sj. Alors, puisque z est très petit, on peut, dans la plupart des cas, le négliger ei raisonner comme si £ était nul, c'est-à-dire comme si les actions de contact de B sur A étaient uniquement appliquées aux éléments superficiels de S : c'est ce que nous ferons dans tout ce qui suit.
L'ordre de grandeur de z est indiqué, dans certains cas, par les expériences de Quincke sur la capillarité. Si l'on étudie les phénomènes de la capillarité, dans l'eau, avec un tube de verre recouvert intérieurement d'une couche d'argent très mince, on reconnaît que ces phénomènes sont identiques à ceux qu'on obtient avec un tube d'argent de même diamètre, dès que la couche d'argent atteint une épaisseur de o""",oooo54. C'est donc là l'épaisseur de la couche d'argent qui agit sur l'eau en contact avec le métal ( ' ).
610. Équations d'équilibre. — Supposons d'abord que le système soit en équilibre. Dans ce cas, il faut que les forces extérieures agissant sur le système satisfassent aux six conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide.
Ecrivons ces six équations. La force extérieure agissant sur un clément de volume ch a été désignée par Fp d-z; désignons par X, \, Z les projections de la force F rapportée à l'unité de masse sur les axes : les projections de ¥ p ch sont alors plLd-z, ç>Y d", p7jd~. Nous avons également désigné par T c/o- la force extérieure ou effort élémentaire agissant sur l'élément superficiel c/o- de la surface limite : appelons T^i, Tj, T^ les projections de T sur les trois axes : celles de Tc/t sont alors T^rC^a-, Tyd^, T^Ju. Les moments de Foc/-:, par rapport aux trois axes, sont
p{jZ — zY)d'z, p(zX — .rZ)d'., p{x\ —yX)d':,
x^ y, z étant les coordonnées de l'élément de volume d-; les moments de 11 dn sont de même
{y^.~zTy)ch, (cT, -.rT;;)rfT, {xT y - y"! ,^)d^,
.T, y, z étant les coordonnées de l'élément de surface c/o-.
En écrivant que la somme des projections des forces extérieures sur chacun des axes et que la somme des moments de ces forces
(') Voir les Leçons sur l'Klasticilè et l'Acoustique, de M. Marcel Brillouin. Librairie Labouche, Toulouse, i8S4-i8S5. — Voir également les Leçons sur la tliéorie de l'Elasticité, de M. Poincaré. Librairie Carré et Naud.
par rapport à chacun des axes est nulle, on a les six équations
1 fff?T.d-^ffT,d,=o,
j J J'AyZ - zX)d-. -Jf(yT,~^z.Ty),h = o, I I fpizX ~xZ)d-.^ f f^z.T^-xT,)d7^o, f f fp{xY-y\)d-.-r- f f{xTy-yT^)d7 = o.
Dans ces équations, les intégrales triples sont étendues au volume V et les intégrales doubles à la surface limite S.
6H. Équations du mouvement. — D'après le principe de d'Alembert, on doit écrire qu'il v a équilibre entre les forces réellement appliquées et les forces d'inertie. L'élément matériel dm de coordonnées ^,j^, ^ a une certaine accélération J de projections J^, Jj, iz • la force d'inertie de cet élément — J dm ou — Jp d- a donc
pour projections
— pjj. f/T, — oiyd-, — pi-d-z.
Ecrivant qu'il y a équilibre entre les forces extérieures et les forces d'inertie, on a les six équations nécessaires
f f f?(\-],)d- - f f-ïy,h =- O,
Ç Ç Ç p{yZ-zXyl,^zSy)d-. . f f {yT,- zT,)d. = o,
Ç Ç f p(zX — xZ^ zJ:, ~xh)d-: — f f{zT.,~xT,)d7 = o.
' fffpixY^yX~x3y--y3^)d-~J f (xT,— yT^)d7 ^ o,
