CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉXÉRALES

Ces équalions se réduisent évidemment à celles trouvées pour le cas de l'équilibre, quand on j fait J := o.

612. Équations de l'équilibre ou du mouvement intérieur. — Dans le système matériel continu que nous venons d'étudier, \ïndii^\xïons wne surface fermée quelconque S' {fig- 3o5). Cette surface fermée divise le volume total V en deux parties, une par-

Fii;. 3o5.

Td T

FpdT

tie V intérieure à S', une partie V" comprise entre S' et la surface limite S du système. On peut appliquer au volume V tout ce que nous avons dit du volume total V. Les forces extérieures appliquées au système matériel conlinu V sont de deux sortes.

D'abord, sur chaque élément ch du volume V, agit une force extérieure ¥ o di ayant pour projections oXc/t, pYr/x, pZo^x. Ensuite, sur chaque élément superficiel cl<7 de S', agit un effort élémenlairc T d'y qui représente l'action des points de V" contigus à d'y sur les points de V conligus à dy. Cela revient à dire que, sans rien changer à l'état du système matériel V, on pourrait supprimer le système extérieur V", en conservant les forces Fpc/T ap|)liquées aux éléments de masse de \' et en ap|)liquant sur les éléments superficiels ch de S' des forces T rfo-. Ces forces T ch proviennent de l'action des points de Y" en contact avec la surface limite S' sur les points de Y' en contact avec cette même surface. D'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, les points de Y' en contact avec S' exercent, sur les points de V" en contact avec cette même surface, des actions donnant naissance à des forces égales et opposées à T ch a[)pliquées aux éléments superficiels ch.

D'après cela on pourra appliquer au vohnne Y' les six équations

du mouvement, écrites plus haut, pour le volume V :

I fff?(X-3:c)d--ffT.rch = o, (3) ] '

les intégrales triples étant étendues au volume V et les intégrales doubles à la surface limite S'. Ces équations auront lieu quelle que soit la surface S' tracée par la pensée dans l^ intérieur du système continu.

Remarque. — Il est bon de remarquer que les forces extérieures Fp d'z appliquées aux éléments du volume V peuvent varier avec la forme de la surface S'. Cela arriverait, par exemple, si les éléments du système total V s'attiraient suivant la loi de Newton : alors, la surface séparatrice S' étant tracée, parmi les forces extérieures agissant sur un élément matériel p c/- de V, figurerait l'attraction de la partie extérieure V" sur cet élément, attraction qui varie évidemment quand la surface S' change de forme.

613. Effort s'exerçant sur un élément cU. — Nous venons de voir que, si l'on trace dans le milieu une surface S', sur laquelle on prend un élément di de coordonnées a;, y, z^ l'effort élémentaire s'exerçant sur cet élément est une certaine force Tdrs. Cet effort provient de l'action des éléments du milieu contigus à c/u, extérieurement à S', sur les éléments contigus à di intérieurement : il en résulte que cet effort ne dépend que de la position de l'élément particulier d'7 dans le milieu et non du reste de la surface S' à laquelle il est censé appartenir : en d'autres termes, cet effort reste le même si l'on considère d'y comme appartenant à toute autre surface tangente à S' au point •r,y, z. Nous pouvons donc maintenant parler de l'eflort s'exerçant sur un élément isolé d'7.

Soit un élément superficiel d<7 placé dans le milieu continu, en un point M de coordonnées x, r, z {fig. 3o6) ; choisissons, sur la normale à cet élément, un sens positif MN ayant pour cosinus directeurs a, ^, y. L'élément d'y a ainsi deux faces : l'une positive,