CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES. l3r
à l'élément {^fig- 3o6, II), une longueur
MQ' =
Le lieu du point Q'. quand on fait varier a, Jj, y, est une deuxième quadrique (Q') dont l'équation est
cette quadrique est conjuguée de la précédente. L'ensemble des deux quadriques (Q) et (Q') s'appelle quadrique directrice. Les formules (12),
montrent que V effort qui s'exerce sur ta face négative d^ un élément dn est perpendiculaire au plan diamétral conjugué de la normale à cet élément dans la quadrique directrice. En effet, la normale MN à l'élément ayant pour cosinus directeurs a, p, y, le plan diamétral conjugué de MN a pour équation
On a donc la direction de l'effort. On obtient le sens de l'effort en regardant si la normale MN à l'élément considéré rencontre la quadrique (Q) ou sa conjuguée (Q'). Lorsque la normale MN rencontre la quadrique (Q) en un point Q, l'effort sur l'élément d'7 est une pression, et l'on a
MQ'
Lorsque la normale MN rencontre (Q') en un point Q', l'effort sur l'élément c/t est une traction, et l'on a
IVIQ'"
Quant à la grandeur de T, elle résulte évidemment de ce que l'on connaît la direction et le sens de T ainsi que sa projection T„ sur la normale à ch.
D'après cela, trois cas sont possibles pour un point M :
I" La quadrique (Q) est un ellipsoïde réel de centre M; alors
l32 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
la quadrique (Q') n'existe pas (ellipsoïde imaginaire). Les efforts sur tous les éléments dry passant par M sont àes pressions.
2° La quadrique (Q') est un ellipsoïde réel de centre M; alors la quadrique (Q) n'existe pas. Les efforts sur tous les éléments do^ passant par M sont des tractions.
3" La quadrique (Q) est un hvperboloïde ; alors (Q') est Vhyperboloïde conjugué. L'effort sur un élément dn passant par M est une pression ou une traction suivant que la normale à cet élément rencontre (Q) ou (Q'). Les deux hjperboloïdes ont même cône asvmptole : ce cône, de sommet M, a pour équation
Si l'on considère un élément d^ perpendiculaire à une génératrice du cône asymptote, les cosinus directeurs a, jii, y de la normale à cet élément annulent la fonction 'j(a, ^, y) : on a donc
L'effort qui sexerce sur cet élément particulier d^ n'a donc pas de composante normale à l'élément; il est situé dans le plan même de l'élément. Pour ces éléments particuliers, le point Q oii la normale MN rencontre la quadrique directrice est rejeté à l'infini.
Plans principaux; ej/'orts principaux au point M. — Si l'élément dz- coïncide avec un des plans principaux de la quadrique directrice, sa normale MN coïncide avec un axe principal, le plan diamétral conjugué de MN coïncide avec d^, et l'effort est perpendiculaire à c/o-. Donc, à l'instant t, en tout point M du système, ily a trois éléments plans sur lesquels les efforts sont normaux : ces trois plans sont les plans principaux en M. elles trois efforts correspondants sont les efforts principaux. Si l'on prenait au point M ces plans principaux pour plans coordonnés, les valeurs des coefficients N et T changeraient : l'équation (Q) ne devant contenir que des carrés, les nouvelles valeurs de T, , To, T3 seraient nulles; si nous a[)pclons /i), n-i-, n^ les nouvelles valeurs de N,, No, N3, les quadriques (Q) et (Q') ont pour équations
«1 x- -+- n-,y- --- n^z'^ = ±:i, les coefficients /?i, n-,., n-i étant positifs ou négatifs, suivant que
