CHAPITRE XXX. — KQUATIONS GÉNÉRALES. l
les efforts principaux correspondants sont des pressions ou des tractions.
618. Ellipsoïde des efforts. — La quadrique précédente donne la direction, le sens et la grandeur des efforts autour du point M, Pour déterminer uniquement la grandeur des efforts, on peut employer une deuxième quadrique qui est toujours un ellipsoïde et qu'on appelle ellipsoïde des efforts ou ellipsoïde d'élasticité.
Considérons un éléznent d'y mené par M : soit MT le vecteur représentant la tension, rapportée à l'unité de surface, qui s'exerce sur la face négative de cet élément. Cherchons le lieu de l'extrémité T de ce vecteur, quand l'élément d'y prend toutes les positions possibles autour de M. Nous allons voir que ce lieu est un ellipsoïde de centre M, ayant mêmes plans principaux que la quadrique directrice.
En effet, par rapport aux axes Mx\ My, M^' menés par M parallèlement aux axes coordonnés, le point T a pour coordonnées les projections mêmes de la tension T^;, T,., T^, données par les équations (12),
Résolvons ces équations par rapport à a, ("i, y : elles donnent, pour ces quantités, des expressions linéaires et homogènes en T^, Tj, Tj:, de la forme
où A, A', A'^, B, B', B" s'expriment aisément en fonction de N,, N.,N3, T,,1\,T3.
Écrivant ensuite
on a l'équation du lieu du point T : cette équation du deuxième degré en T^, T^, T- a pour premier membre une somme de carrés; elle représente un ellipsoïde qui est Vellipsoïde des efforts.
Les dii'cctions des axes de cet ellipsoïde se confondent avec celles des efforts principaux, et les longueurs de ces axes sont
Te,
Tr
l34 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
égales aux grandeurs des efforts principaux. En eff'et, prenons les directions des eff^orts principaux en M pour directions des axes coordonnés; les quantités T,, To, T3 deviennent nulles, les quantités N,, No, jNs prennent des valeurs particulières /i,, «o, «3 (elTorts principaux). Les équations (T) deviennent alors
et l'ellipsoïde des eff'orts devient
T|. T|. TJ n'I /i| «I '
il est rapporté à ses axes.
L'ellipsoïde des elTorts relatif au point ^1 étant tracé, si l'on prend un élément quelconque do- passant par M, la quadrique directrice donne la direction et le sens de l'eff'ort MT qui s'exerce sur la face négative de r/7 ; la grandeur de MT résulte de ce fait que le point T est sur l'ellipsoïde,
619. Réciprocité des composantes normales. Soient d^ un élément passant par un point M, ]MiS(a, p, yj la normale à cet élément, T l'effort sur la face négative de l'élément ; soient de même da' un deuxième élément mené par le même point, IMN' la normale (a', !j', y) '^^ "^ l'effort qui s'exerce sur la face négative de dj'.
La projection T„', de T sur la normale à d-^', est égale à la projection T^j de T' sur la normale à di.
En effet, en appelant comme plus haut T.^, Ty, T^ les projections de T sur les axes, on a, pour la projection de T sur la direction I\IX' :
T„'= a'T.r-f- ^'Ty— Y'T;,
ou, d'après les formules (12),
i„.^ a 'fa— P ?|î— T ?y De même, on trouve
T'«= '^?â'^ P?';5'^ T TV- Ces expressions sont identiques, comme on le vérifie immédiatement. Donc
Les formules ¥3= Z2, Zj = X3, X2= Yi établies au u" (JI5 apparaissent maintenant comme des cas particuliers de ce théorème : pour les obtenir, il suffit de supposer que les éléments d-i et di' sont respectivement perpendiculaires à deux des axes coordonnés.
