CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES. l

620. Autre quadrique pouvant jouer le rôle de directrice. — On

peut remplacer la quadrique directrice par une autre quadrique obtenue en introduisant la forme quadratique adjointe de la forme te. On démontrera sans peine les résultats suivants à titre d'exercice :

Considérons la quadrique ayant pour équfition, par rapport aux axes Ma?', Mjk', M^' menés par M parallèlement aux axes coordonnés,

([9) Aa?2-4- A'j2-^ y z--^ îByz -+- iB' zx -h iB" xy = h,

où A, A', A", B, B', B" sont les coefficients introduits au n" 618, et h une constante.

Vejfort s' exerçant sur un élément d^ mené par M est dirigé suivant le diamètre conjugué du plan de dn par rapport à cette quadrique.

Cette quadrique (ig) a mêmes plans principaux cjue la quadrique directrice; elle est de même nature {ellipsoïde ou hyperboloïde).

Son cône asymptote est supplémentaire de celui de la quadrique directrice. Il est l'enveloppe des plans des éléments spéciaux d'y passant par M sur lesquels s'exerce un effort sans composante normale. Il est aussi le lieu des efforts s' exerçant sur ces éléments spéciaux.

Ce dernier point résulte de ce que le diamètre conjugué d'un plan tangent au cône asymptote est la génératrice de contact.

621. Changement de coordonnées. — Dans ce qui précède, nous avons rapporté le milieu continu à un système d'axes Oxyz. Les valeurs de Ni, N2, N3, Tj, T2, T3, en chaque point M, dépendent évidemment de l'orientation des axes. Si l'on prenait de nouveaux axes Ox^y^zy faisant avec les premiers Oxyz des angles connus, les valeurs des six coefficients deviendraient N'j, Nj, Nj, T'j, T',, T'3. Pour calculer ces nouvelles valeurs il suffit de remarquer que, par l'effet du changement de coordonnées, l'équation de la quadrique directrice, relative à un point quelconque M,

^ix"-^'^^y'-^^^^z'-^^'2lyY'z'-^-'2T^z'x ^■iTix'y' = ±i,

devient

N'i J7',2+ N'2 j'i2^- N'3 ^',2^ 2T; jk'i z\ h- 2T'2 z\ x\ ^ iT'i x\ y\ = ± I.

On est donc ramené au pioblème bien connu de calculer les nouveaux coefficients de l'équation d'une quadrique ayant son centre à l'origine, quand on change la direction des axes de coordonnées.

EXERCICES

]. Soient, en un point M d'un milieu continu, à un instant t, trois éléments d<s^, dsn, c?ff., normaux aux axes coordonnés et MF,, MF^, MF3 les trois vecteurs représentant les efforts rapportés à l'unité de surface qui s'exercent sur les faces négatives de ces trois éléments. Démontrer que si l'on prend pour système d'axes

l36 ÉQIILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

de coordonnées obliques les trois droites MF,, MFj, MF^, l'ellipsoïde des efforts a pour équation

Fî "^ F^ "^ Ff - '•

Démonstration. — L'effort T qui s'exerce sur l'élément rfs perpendiculaire à la droite (a, p, y) est, par hypothèse, la résultante de trois composantes X, Y, Z dirigées suivant MF,, MF,, MFj. Écrivons que les projeclions de T sur les axes sont les sommes des projections de ces composantes. Nous aurons, en remarquant

NTT

que les cosinus directeurs de F, sont —S -^> v^""

T = iix— — -Y-^- ^Z, y F, F, F., '

Comparant avec les formules (n), on a

D'où, en écrivant a--i- ^---yS — ,^ l'équation demandée.

2. Considérons une surface fermée S et supposons que sur chaque élément c?a de cette surface agisse une force définie comme il suit : Soient a, jî, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à di; soient, d'autre part, x, y, z les coordonnées de l'élément par rapport à trois axes rectangulaires. La force appliquée à l'élément ds est une certaine force Trfu ajant pour projections T^dz, T ds, 'l\d7, où T^, T , T^ sont des fonctions de x, y, z, a, Jî, y.

On demande quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes que doivent remplir ces fonctions pour que l'ensemble des forces Tdv appliquées à tous les éléments d'une surface fermée S supposée rigide se fassent équilibre, que/le que soit la forme de cette surface (Maurice Lévy).

Réponse. — Il faut et il suffit que l'on ait les équations (ii) et (i4; dans lesquelles on suppose X, Y, Z et J nuls. Pour le démontrer, il suffit de reprendre les raisonnements des n"' 614 et 615, en supposant X, Y. Z et J nuls.

Ces conditions sont remplies dans le cas très particulier où chaque élément d~ de la surface S est soumis à une pression normale proportionnelle à rfs.

3. Soit dz un élément superficiel de coordonnées .r, y, z, dont la normale a pour cosinus directeurs a, p, y. Faisons correspotidre, à cet élément, le vecteur T ayant cet élément [)our point d'application et pour projections

T..= ^X,-+-flX,-yX3, T^.= a Y,— liY2-^yY,, T, = aZ,^fiZ3-KyZ,,

où X|, X,, X . . ., Z, sont des fonctions des coordonnées.