CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l

équilibre : en chaque point M{x,y,z) de celte niasse, la pression, la densité, la température ont des valeurs déterminées; donc p, a et T sont des fonctions uniformes de ^, JK, z-

Les surfaces sur lesquelles la pression est constante, />=::const., s'appellent surfaces de niveau.

Les surfaces p = const. sont les surfaces d'égale densité.

Les surfaces -z = const. sont les surfaces isothermes.

Comme/», p et t sont liés par la relation caractéristique du fluide, on voit que, si le long d'une certaine ligne, deux de ces quantités restent constantes, la troisième reste également constante. Ainsi, la courbe d'intersection de deux surfaces/» = const. et T = const. se trouve sur une surface p := const.

Les équations d'équilibre

. ^=P^' ;^=PY, -L=oZ

montrent qu'en chaque point M du iluide, la force (X, Y, Z) est dirigée normalement à celle des surfaces de niveau passant par oe point, du côté où p augmente : en effet, les projections X, Y, Z de cette force sont égales aux dérivées partielles de la fonction/ par rapport à x, y, z, divisées par le facteur positif p.

629. Application aux fluides pesants. — Imaginons une portion de fluide pesant de hauteur quelconque, mais de section assez petite pour que la direction de la verticale ne change pas sensiblement d'un point à l'autre du fluide.

Alors, en prenant un axe vertical O^ dirigé vers le haut, on a, pour les projections de la force agissant sur l'unité de masse,

X = o, Y = o, Z=~ff'.

Si la hauteur du fluide considéré est faible, on peut regarder "-' comme constant dans l'étendue du fluide et égal à sa valeur 'j au point O; sinon g^ décroît quand z augmente.

L'équation d'équilibre (2) est

(7) dp = ~pff'dz.

On en conclut que / est fonction de z seul. En efî"et, si l'on se déplace dans le fluide de telle façon que ^ reste constant, dz est nul et l'équation montre que dp est nul aussi, c'est-à-dire p constant. m. 10

l46 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

La pression a donc la même valeur en tous les points d'un plan horizontal et p est une fonction de ; seul,

P = '-fC^).

Les surfaces de nweau sont donc des plans Jiorizontaux. L'équation (7) donne alors

'J désignant la dérivée de cp. Comme g' est une fonction de ^, p est une fonction de z seul : les surfaces d^égale densité sont donc également des plans horizontaux; elles se confondent ici avec les surfaces de niveau.

Enfin, la relation caractéristique (6) du fluide montre que t est aussi une fonction de z seul : les surfaces isothermes sont encore des plans horizontaux.

Ces considérations s'appliquent, en particulier, à l'équilibre de l'eau et de l'air sous l'action de la pesanteur. On en conclut qu'une colonne d'air atmosphérique ne peut être en équilibre que si la température et la densité sont constantes dans chaque plan horizontal.

Différence de pression en deux points. — Soient Mo et M deux points d'altitudes ^0 et ^(:Jo< -), Po et/? les pressions en ces points. En intégrant l'équation (-), on a

)g'dz.

La différence des pressions aux deux points est égale au poids d'un cylindre vertical du fluide, ayant pour section droite V unité de surface et limité aux plans horizontaux passant par les deux points. En effet, si, dans ce cylindre, on mène deux sections droites infiniment voisines à des hauteurs z etz-\-dz, le volume de la tranche ainsi découpée dans le cylindre est dz, sa masse est p dz et son poids ^g^dz; le poids total du cylindre est

don(

'^f 9g' dz.

Fluides pesants, de densités difj'érentes, superposés. — Soient deux liquides pesants, en équilibre, superposés, ou un gaz superposé à un liquide. Cherchons la surface de séparation.