CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l
Le long de cette surface, la pression doit être la même dans les deux fluides, pour que chaque élément de la surface de séparation subisse des pressions égales sur ses deux faces. Or, dans
l'un des fluides, on a
dp = — p g' dz
et dans l'autre, en appelant/;, la pression et p, la densité,
dpi — — pi g' dz.
Pour un déplacement quelconque effectué le long de la surface
de séparation, on a
dp — dfi = o,
puisque p^=p^ sur cette surface. On a donc, le long de cette surface,
(?i— 9)8' dz = o, c'est-à-dire
dz =^ o, z = const.
La surface de séparation est donc un plan horizontal. C'est ce qui se présente, par exemple, pour la surface libre de l'eau en contact avec l'air au repos.
630. Formule barométrique. — Les équations précédentes permettent d'établir la formule de Laplace {Mécanique céleste, a" Partie, Livre X, Chap. IV) pour la mesure des altitudes à l'aide du baromètre. Si, en un lieu déterminé, on considère l'atmosphère comme un tluide pesant en équilibre, les quantités p, p, t sont des fonctions de l'altitude z. En traitant l'air comme un gaz parfait, on a, entre ces quantités, la relation
p{l-h Or-Z) k
où k est une constante. Appelons g l'intensité de la pesanteur au niveau de la mer au lieu considéré et comptons les altitudes à partir de ce niveau. Soit g' l'intensité de la pesanteur à l'altitude z : si l'on désigne par R le rayon terrestre, les points de hauteur o et x; sont à des distances du centre de la Terre égales à R et K-^-z ; les intensités de la pesanteur en ces deux points sont sensiblement en raison inverse des carrés des distances au centre : donc
g (R-+-x;)2* L'équation d'équilibre
dp = — p g' dz
l48 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
est alors, en y remplaçant p et g' par les valeurs tirées des équations précédentes,
dp ^.fj^ </-s
Dans cette équation, t est une fonction inconnue de z : d'après Laplace, on donne à z une valeur constante égale à la moyenne {(^i-^Tî) des températures aux deux stations dont on veut mesurer la différence d'altitude. La valeur du coefficient de dilatation a est un peu augmentée par la présence de la vapeur d'eau; Laplace prend a = 0.004, de sorte que
Ceci posé, appelons Zi et Z2 les altitudes des deux stations inférieure et supérieure, pi et p-i les valeurs de la pression atmosphérique p aux deux stations; l'équation (8) donne, en intégrant de -1 à z^,
p, kgK^ Loff-^ = —
Pi
d'où, en réduisant au même dénominateur et résolvant par rapport à la différence d'altitude
Dans cette formule, g désigne l'intensité de la pesanteur au niveau de la mer à la latitude L du lieu de l'observation; en appelant ^45 l'intensité de la pesanteur au niveau de la mer à la latitude de 45", on a
g r= g,^-(^l 0,00265 COS2L),
d'où, en prenant les inverses et négligeant le carré du terme en C0S2L qui est très petit,
— = ^ (l -r- 0,002G5 COS'iL).
Voyons comment on pourra pratiquement calculer le terme Log — •
Pi Appelons Ai et /i2 les hauteurs barométriques lues aux deux stations, Tj et T2 les températures des deux baromètres : ces températures ne sont pas toujours exactement celles de l'air ambiant; on fait usage, pour les déterminer, d'un thermomètre enchâssé dans la monture même du baromètre. Soit /î2 la hauteur qu'aurait le baromètre à la station supérieure, si sa température était Tj comme à la station inférieure; la dilatation du mercure est 0,00018002 pour un degré centigrade et celle du laiton de
