CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

appliquée en un point O pris à volonté et à un couple dont l'axe OG est le moment résultant de toutes les pressions p d<7 par i^apport au point O. Le principe d'Archimède permet d'évaluer la résultante OR et le couple OG d'une manière simple.

Enlevons le corps solide et, sans toucher au fluide extérieur au corps, remplaçons le corps par du fluide de même nature soumis à la même loi de forces F et disposé de façon que le système entier, constitué par le fluide primitif et celui qui a remplacé le corps, reste en équilibre sous l'action des forces considérées. Prenons, en particulier, l'ensemble des forces Fp c?t agissant sur les éléments de volume du fluide qui remplace le corps; soient OR' et OG' la résultante générale et le moment résultant de ces forces par rapport au même point O. On a alors le théorème suivant :

La résultante OR est égale et opposée à OR', le moment OG égal et opposé à OG'.

En eff'et, les forces extérieures appliquées au fluide qui remplace le corps solide sont :

1° Les pressions pdfj sexerçant sur la surface de ce fluide, pressions identiques à celles qui s'exerçaient sur la surface du corps solide ;

2° Les forces ¥ odi agissant sur les éléments de volume dx de ce fluide.

Comme le fluide qui remplace le corps solide est en équilibre, les forces extérieures qui lui sont appliquées satisfont aux conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide. U ensemble des pressions pdu et des forces Fp d-, est donc équivalent à zéro : où, ce qui revient au même, la résultante générale OR et le moment résultant OG des forces pdT par rapport à un point O, sont égaux et opposés à la résultante générale OR' et au moment résultant OG' des forces Fp d-z par rapport au même point.

Le théorème est donc démontré.

Exemple : Corps imme/gé dans un Jluide pesant. — Imaginons un corps maintenu immobile dans un fluide pesant en équilibre. L'ensemble formé : i° par les pressions p dn appliquées aux éléments superficiels de ce corps; 2" par les poids gpd'z des éléments de volume du fluide pesant qu'il faudrait substituer au

l56 ÉoriLIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

corps pour maintenir l'équilibre du fluide environnant, est équivalent à zéro.

Comme les forces verticales opd~sont équivalentes à une force unique égale au poids du fluide qu'il faudrait substituer au corps, on voit que les pressions p ch du fluide sur le corps ont une résultante unique égale et opposée au poids du fluide qu'il faudrait substituer au corps pour maintenir Téquilibre. On dit, pour abréger, que le corps subit, de la part du fluide pesant, une poussée verticale égale et directement opposée au poids du fluide déplacé.

Ce résultat s'applique à un corps plongé dans l'air immobile, ou dans l'eau immobile, ou partiellement dans l'air et partiellement dans l'eau.

63o. Ensemble des pressions d'un fluide sur les parois d'un vase fermé qui le contient. — On peut établir un théorème analogue au précédent pour l'ensemble des pressions exercées par un fluide en équilibre sur les parois d'un vase fermé qui le contient.

Sur chaque élément cly de la paroi du vase, le fluide exerce une pression normale pdi\ sur chaque élément d~ du volume du fluide a2:it une force extérieure Y p di.

L^ ensemble des pressions p di est équivalent à V ensemble des forces Fo<^t. Si, en un point quelconque O, on construit la résultante générale et le moment résultant des pressions p d'y, on obtient les mêmes vecteurs qu'en construisant la résultante générale et le moment résultant des forces Fp d'z.

En eff'et, les forces extérieures agissant sur le fluide sont :

1° Les réactions des parois du vase sur le fluide, l'éactions égales et opposées aux pressions pdy du fluide sur le vase;

2° Les forces Fpc/T.

L'ensemble de ces forces est équivalent à zéro, puisque le fluide est en équilibre : l'ensemble des forces p di est donc équivalent à l'ensemble des forces Fp d-z.

Par exemple, si un fluide soumis uniquement à la pesanteur est contenu dans un vase clos, les forces Fp<iT, appliquées aux éléments de volume, sont les poids g'pd'z de ces éléments; les pressions/?f/7 sur les parois du vase étant, dans leur ensemble, équivalentes aux poids îfp d-z ont une résultante unique égale au poids total du fluide, résultat qu'on peut regarder comme évident a priori.