CHAPITRE XXXI. — II V D R OS T A TI Q U K . l

OÙ c' est une autre constante déterminée comme nous l'avons dit. On obtient ensuite c en écrivant que, sur la surface libre,/) =/>«, ce qui donne

Exercice. — Supposons que le vase soit un cylindre de révolution autour de Oz de rayon R et que, le vase étant au repos, le liquide supposé homogène s'y élève à la hauteur h. On fait tourner le vase avec la vitesse oj ; démontrer que, si l'origine O est au fond du vase, la surface libre a pour équation

tant que

Si tu"' > -È^ ^ le fond se découvre et la surface libre a pour équation

iù'^{x"-\- y-) — igz = a» R ( to R — 2 \/ gh ) .

Tant que le fond ne se découvre pas, la section de la surface libre par le niveau primitif ^ = A est une circonférence de rayon j^'^v^ indépendant de o). Ces résultats sont empruntés au Cours de M. Léauté à l'Ecole Polytechnique en 1S98.

On a construit un appareil fondé sur la tiiéorie exposée dans ce numéro, permettant de mesurer les vitesses angulaires {voyez Greenhill, A Treatise on Hydrostatics, p. 448; 1894).

633. Fluides superposés. — - Soient deux fluides superposés : appelons/? la pression, p la densité dans le premier fluide, et F la force, de projections X, Y, Z, agissant en chaque point du fluide rapportée à l'unité de masse; soient/),, pi, ¥^ les quantités analogues pour le deuxième fluide.

Les deux fluides étant en équilibre, on a, dans le premier,

dp = çi(X dx -^ Y dy ~ Z dz ) — ¥ p ds cos F, ds,

et, dans le deuxième,

dpi= pi(Xirf:r -f- Yidy -r- Z^dz) = F^p-^ds cosFi, ds.

Le long de la surface de séparation S, la difl'érence p — p\ est nulle, car chaque élément de cette surface doit subir la même pression sur ses deux faces, pour que l'équilibre subsiste. On a

l54 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

donc, pour un déplacement cjuelconque ds effectué sur la surface de séparation, dp = dpf, c'est-à-dire

(S) p{Xdx ~\' dy — Z dz) = piiXidx ^ ^\dy -^ Zidz),

ou encore

(S) Fp cosF, <a^5 = Fi pi cosFi, <i5.

C'est là l'équation différentielle de la surface de séparation.

Cas particuliers. — i" Les forces F et F, appliquées aux deux ffuides, dérivent de fonctions de forces \} et\]^] l'équation difTérentielle de la surface de séparation est alors

(S) prfU-pirfUi = o.

2" La fonction de forces est la même pour les deux fluides. Alors U, est identique à U; l'équation (S) devient

(p — ■ pi ) <r/U = G.

Comme p — p, est différent de zéro, on a, le long de la surface

de séparation

rfU = G, U = const.;

la surface S est une surface de niveau. C'est la généralisation de ce qui a lieu pour deux fluides pesants supposés (n° 629).

3" Les deux fluides superposés so/it des liquides à température constante. Alors p et p, sont constants; le long de la surface de séparation, on a

p <r/U — pir/Uj— G, pU — pi Ui = const.,

ce qui donne l'équation de la surface S sous forme finie.

634. Principe d'Archimède. — Imaginons un fluide en équilibre sous l'action d'un certain système de forces; soit, comme plus haut, F la force qui agit sur le fluide en un point quelconque M, rapportée à l'unité de masse.

Supposons fju'un corps solide soit })loiigé dans ce fluide et maintenu immobile. Sur chaque élément superficiel ch du corps, le fluide exerce une pression normale pd'7. L'ensemble de ces pressions constitue un système de forces appliquées à un corps solide ; elles peuvent donc être réduites à une résultante générale OR