y"p ' ' ■ ■ ■ j lipsoïde à trois axes inégaux

Pour une masse illimitée :

0,5 < :- <C I un cylindre circulaire indéfini,

<o,j... un cylindre circulaire et un cylindre elliptique.

641. Théorème de M. Poincaré. — Imaginons une masse fluide homogène de densité p, animée d'une rotation uniforme autour de Os et soumise à une pression extérieure constante. D'après ce qui précède, aucune des figures ellipsoïdales d'équilibre ne peut exister pour une

masse limitée, si ^r-^ 0,224 et, pour une masse illimitée si cette

quantité est plus grande que i.

M. Poincaré a établi (Bulletin astronomique, t. II, p. 117) que l'équilibre relatif est impossible pour une masse limitée, quelle que soit la

forme que l'on donne à cette masse, dès que -^ >■ i. Pour cela, il

2Tr/p

montre que. l'équilibre relatif étant supposé établi, la résultante des forces

d'attraction et de la force centrifuge, qui doit être, en chaque point de la

surface libre, normale à cette surface, serait, en certains points de cette

surface, dirigée non vers l'intérieur, mais vers l'extérieur de la masse

fluide, de sorte que le fluide y serait projeté au dehors, à moins qu'une pression normale suffisante ne s'opposât à ce mouvement.

Le théorème subsiste dans le cas où la masse est soumise, en outre, à des attractions newtoniennes émanant de masses extérieures au fluide et entraînées dans le mouvement de rotation.

Imaginons donc une masse fluide homogène de densité p tournant autour de Oz et ayant une certaine figure d'équilibre relatif; soient, comme précédemment, Ox et Oy deux axes entraînés par le fluide. Désignons parW

le potentiel \ — de la masse fluide en un point ce, y. z de son intérieur

ou de sa surface; par W le potentiel des masses extérieures au fluide au même point. La force newtonienne appliquée à l'unité de masse en un point intérieur .r, y.z'a. pour projections sur les axes

'' ôx ' •' dx ' * dy ' -^ Oy ' -^ dz -^ dz '

la force centrifuge a pour projections

txi-x, ^<i-y, o.

Si, donc, on pose

la force rapportée à l'unité de masse, agissant en un point du fluide, dérive de la fonction U. La surface libre est une surface de niveau U = const.; la force appliquée à l'unité de masse placée sur la surface libre S est normale à cette surface et a pour valeur algébrique estimée suivant la

normale extérieure -=—} la dérivée étant prise suivant la normale extedn ^

rieure.

Ceci posé, appliquons à la fonction U la formule (4) du n° 538, qui est un cas particulier de la formule de Green, en prenant pour volume d'intégration le volume fluide V et pour surface la surface libre S. Nous

Mais on a

A\V=-4-p, AW'=o,

d'après les formules de Poisson et de Laplace (n"' 579-581), et

comme on le vérifie immédiatement.

L'équation précédente devient donc