CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Les fonctions cp el <j» peuvent contenir explicitement t\ en prenant la d^rivee partielle de (cp, t]>) par rapport a t. on trouve une expression qu'on peut ecrire

y I d^ do d&)

4mJ \ dqv ()/>., r)pv dq.,

e'est-a-dire

480. Identite de Poisson. — Entre les parentheses de trois fonctions associ^es deux a deux a lieu une identite remarquable qui nous conduira imm^dialement au th^oreme de Poisson. Pour etablir cette identity, nous ferons d'abord la remarque suivante :

Soit / uue fonction de ql} q2, . . . , cjk, pi, pi, • ■ , pk, pouvant d'ailleurs contenir t, et A4, A2, . . . , A2/l des fonctions des meraes variables : posons

] KJ dq, dq2 dqk dp{

\ dp-2 r/pk

Ai/) signifiant qu'on effectue sur/ l'operation exprimee par le second membre puis, eu appelant B1; B2, . . . , B2/,- d'autres fonctions des memes variables, posons de meme

(6) B(/) = B1|£+...+ B1^.+ Bi+1^H-...+ B!^.

J dqy dqk 1 dp, dpk

Gonsiderons ensuite l'expression A[B(/)], obtenue en rempla- < ant, dans les deux membres de (5), /"par B (/), et l'expression B[A(/)], obtenue en remplacant, dans les deux membres de (6). ./'par A(/) : la difference A[B (/)] — B [A(/)J ne contient pas de de"riv6es secondes de f. C'est ce qu'on verifie immediatemeni .

Par exemple, dans A| B(/) |, les coefficients de j-=| et ^ ^ sont

respectivement A4B< et AiB2 + A2Bi; dans B[A(/)"J, les coeffi-

cients de 4-4 et f '{ sont les memes; ces derivdes disparaissent

Oq \ f)q^ <)(]■> 1

done quand on fait la difference. 11 en est de meme pour ton les

les autres d^rivees secondes, par exemple, pour ^— j ^ ^ ,

1 — 'i—' etcdp) dp*

Ceci pose\ soient /', cp, i> Lrois fonctions quelconques de 7^ ry2, . . . , q/c, Pi, /?2? ../>/,. Formons les parentheses

011 Ton permute circulairement les lettres /, tp, O/i a identiquement

e'est-a dire

C'est la l'identite* indiquee par Poisson. On peut la verifier par un calcul direct; on abrege le calcul par la remarque suivanle, que nous empruntons a Goursat (Lecons sur V integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, p. i32 : i89i)etCours d'Analjse, t. II. Ghaque terme du premier membre de l'identite* (7) a d^montrer est le produit d'une d^rivee du second ordre par deux derivees du premier ordre; il suffit done de prouver que ce premier membre ne contient aucune d^rivee du second ordre. Nous allons montrer, par exemple, qu'il ne contient pas de d£riv£es secondes de /, e'est-a-dire que tous les termes renfermant des derivees du deuxieme ordre de/disparaissent. Les termes renfermant des derivees secondes de f proviennent tous de

(<p, ?4 )-*--(*, tii

e'est-a-dire

(?,(*, /)) + (^ (/,?)), qui peut encore s'exrire

Nous pouvons alors poser