CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

est encore une integrale premiere; mais elle n'est pas distincte des integrates (2).

Lorsque I'on connait 2k integrates premieres distinctes

(3) /1 == cl3 /2 =c*, . . . , flk = c2jfc,

le svsteme (1) est integre, car ces ik equations simullanees delinissent qt, q2, • • • , qu, p 1 , p> , • • • , en fonction de t et de 2 A cjnstantes arbitraires. Les equations ( 1) sont integrees.

Integrales quelconques. — On dit en general qu'une relation -de la forme

Aqu qi, • • qjt, p.±, Pi, ■ ■ ■ > in, t, c,, c, cm) = o

■est une integrale des Equations ( 1 ) si elle est verifiee identiquenient quand on y rempiace les q,, et les py par une solution quelconque du systeme ( 1 ) et les constantes c<, c2, . . . , cm par des valeurs constantes convenablement choisies.

Quand une integrale ne contient qu'une constante ci5 on peut la r£soudre par rapport a cette constante et l'e"crire

fiifu ?2, • • qt, p%, p>, • - - ^ pk, t) = c, ; c'est done une integrale premiere.

i79. Conditions pour que f =. G soit une integrale premiere ; parentheses de Poisson. — Soit

f(qh qz, . . pk, Pi, pi, ■ -, Pk, t) = C

une integrale premiere des equations canoniques du mouvement. (1). La fonction f res tan t constante, par hypothese, quand on y rempiace les y., et les p., par des solutions quelconques des equations ( 1 ), la derived totale de / par rapport a t doit etre nulle :

<)J d<h | <)j f/fh dqx dt <)</« dt

<)qk dt ^~ c)j>^ dt ' dpu 'I I fft

ou, ea remplaoant et -J^ par leurs valeurs ( i) et £crivant los termes dans un autre ordre,

df dH df d\\ df di\ df ,m

dq\ dp{ dp{ dq} dq* dp, dp-> dqL

JUL — — iL ^1L dJ. -

dqk dpk dp & dqk dt ~~

Gette condition, devant etre satisfaite pour toute solution des equations (i), doit etre satisfaite identiquement , quels que soient '{\ 5 ^2- • • ? ^/o fii p-2, • • • • />a> ^5 en efFet, cette condition, devant etre satisfaite pendant toute la duree du mouvement, doit l'etre u un instant quelconque t01 regarde conime instant initial, et l'on sait qu'a cet instant on peut donner a qi} . . . , qk, pi- ■ ■ ■ pk des valeurs initiates arbitraires; Ja condition doit done etre satisfaite quand on donne a loules les variables qui j figurent des \aieurs arbitraires; elle est identiquement satisfaite.

Parenthese de Poisson. — Soient 9 et <b deux fonctions quelconques de qi; q2, • • , C[k, pi, Pn • • • , pk et t: nous emploieronsla notion (9, ^) pour designer l'expression suivante :

do d<b dj dty dc d'b do d<b '' ' dqi dp\ dp\ dqi dq.2 dp* dp2 dq»

dy d<b dz d<l dqk dpk dpk dqk

appelee parenthese de Poisson.

D'apres cette notation, la condition pour que f=C soit une integrate premiere s'^crit

Voici quelques proprie^s de ces parentheses qui nous seront utiles plus loin,

Si l'une des fonctions 9 ou est constante, la parenthese (cp, ^) est nulle; si Ton permute 9 et ^ ou si l'on change une des fonctions 9 ou ^ de signe, la parenthese change de signe.

(cp, c) = o. (ft ?)=-(?, 4>), (?;-<L)=-(e, 4,).