Theorems de Poisson. — Si
c(qi} . . ., qk, pu p%) . . ., pki t) = «,
so /if deux inlegrales premieres des equations du mouvement,
en est une troisieme. Puisque o — a el ^ — b sont des integrates premieres, on a identiquement
11 faut montrer qu'alors (9, 6) = c est encore une integrate, e'est-a-dire que les deux identity (9) entrainent la suivante :
En eflet, d'apres l'identite" de Poisson appliqu^e aux trois fonctions H, 'j, on a
(H, (9, d0) + (?, (<|/, H)) + (<{,, (II, ?))^o,
e'est-a-dire, d'apres les identites admises (9) et en se reportant aux proprietes des parentheses.
ou encore
dt
qui demonlre que (<p, aj) = c est une integrate.
II semblerait, d'apres cela, qu'il suffirait de connaitre deux integrates des Equations du mouvcment pour pou voir achever l'int^gration, puisque de deux integrates on en deduit une troisieme: en combinant celle nouvelle integrate avec une des premieres, on en aurait une quatrieme, et ainsi de suite. Mais il peut arriver que (?, i>) se re"duise identiquement a une constanle ou a une fonction des integrates deja obtenues. II en r^sulte que, dans la pratique, le theoreme, sans etre en defaut, n'a pas toute l'imporhince q'on pourrait lui attribuer d'apres son enonce.
182. Cas ou H ne contient pas Remarques sur l'integrale des forces vives. — Si H ne contient pas t, ce qui a lieu en particulier quand les liaisons sont inde*pendantes du temps et qu'il y a une fonction de forces U(</i, gr2i g*), les equations cano-
niques admettent l'integrale premiere
qui, dans le cas particulier que nous venons d'indiquer, coincide avec l'integrale des forces vives. Soit alors
?2, • • ., $ki pu P>, ■ "tPh t) = a
une deuxieme integrate premiere. D'apres le theoreme de Poisson,
est encore une integrate premiere. Mais, cp = a etant une integrate, on a identiquement
(?» H) — il.: o; l'integrale (10) s'ecrit alors
do
Ainsi, (juand H ne contient pas t, si o = a est une integrate,
i- — c en est une deuxieme; de me me ~£ = c' en est une at at*
autre, etc.
Dans le cas ou cp ne contiendrait pas t, on aurait identiquement
