CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Le theoreme de Poisson, applique a I'integrale des forces vives H = h combinee avec une autre integrate cp == «, ne contenant pas t, conduit done a une simple identity (cp, H) = o.

Nous renverrons pour plus de details am Lecons de Jacobi, et a POuvrage de E. Goursat : Sur V integration des equations aux de/ 7i -ees p a rtie lies.

On trouve d'autres demonstrations du theoreme de Poisson dans deux Notes de H. Vergne (Comptes Rendus, 20 avril 1910, et I ////ales de VEcole Normale, 1910).

483. Exemple. — Prenons un exemple tout a fait elementaire, en considerant le mouvement d'un point libre de masse 1 attire par l'origine O proportionnellement a la distance. Alors, x,y% z designant les coordonnees rectangulaire du point, on a

Les coordonnees etant appelees qx, q*, q3, on a dT

p,= — =x, p*-r> Pi = '* ?•" H = T-tU ^'lipl+pl+p*)^ ^{q\ + ql+ql).

Les equations du mouvement sous forme canonique sont

dq\ dq» dq>

-jT=p<- -3t=^' —t=p"

dp\ ( , dp? 2 dpz . 2

dt ~ lX'q^ dt, ~~ 'J'"^'' oft — {J'~q'''

I. On a d'abord deux integrates premieres en appliquant le theoreme des aires a la projection du mouvement sur deux plans coordonnes : ces inlt'grales que l'on trouve aussi directement sont

(11) pzq\ — q:;Pi = c2> p*q*— q*p*= c,.

Appliquons le theoreme de Poisson : en appelant cp et ^ les premiers membres de ces deux equations, la relation

e'est-a-dire, en detaillant.

do ()>l <)o d<i do (hi dy d<b da dty do db ()(/\ >)j)K dp\ dqx dqo dp<> dp>> dq» dq^ dpz dpz dq:i APPBLL. — TralU de Met aniqiic. II. 2!l

est une nouvelle integrale. En faisant le calcul, on a imrmidiatement (i3) piqz— qxp* = cz;

c'est bien nne nouvelle integrale qui exprime que le theoreme des aires s'applique a la projection du mouvement sur le troisieme plan coordonne. En continuant a appliquer le theoreme de Poisson a cette nouvelle integrale combinee avec 1'une des deux precedentes, on retrouvera l'autre. Ce theoreme ne donne plus d'integrales nouvelles.

II. Les equations du mouvement admettent l'integrale premiere

(i/,) pi -+- ^2 q\ == au

facile a verifier. Gombinons-la avec une des integrales des aires, par exemple avec l'equation (i3).

En egalant a une constante la parenthese (12) formee avec les deux premiers memhres de ces dernieres integrates (i3) et (i4), on a

(i5) P1P2-+- p*qiqz = bu

integrale nouvelle. Combinons-la avec l'integrale des aires (i3); nous avons

Pl+ ^ql— (/>!-+- ^2?i) = const., c1est-a-dire, en tenant compte de (i4)5

pi -+- p.2 q\ ==. «o.

Cette integrale n'est pas nouvelle; elle est une consequence des precedentes, comme le montre l'identite

(p I -h \L*ql) (pl+ piql) = (p{p2-+- p' ?i ffi )* -h ^-{qxp, — pyqt)*-

Les equations (i3), (14) et (i5) entrainent done l'integrale a*.

Les cinq integrales (11), (i3), (i4), (i5) etant distinctes, on ne peut pas, en egalant a des constantes les parentheses de Poisson formees avec ces integrales associees deux a deux, obtenir une sixieme integrale distincte.

En effet, toutes les nouvelles integrales ainsi formees sont independantes de t, et il ne peuty avoir que cinq integrales distinctes ne contenant pas t; car, s'll en existait six, elles donneraient pour les six variables qu q«, q.-,: Ph Pii Pz des valeurs constantes.

Voyons maintenant quel parti on pourra tirer d'une integrale contenant t.

III. En se reportant aux equations du mouvement, on constate facilemen t qu'elles admettent l'integrale premiere

(iC) ;i.^3cosu.? — /?3sin \it == ^3

c ontenant le temps. Nous allons appliquer le theoreme de Poisson a cette