II. — SIMILITUDE EN MECANIQUE : MODULES

532. Similitude. — L<i theorie de la similitude est intimement lice a celle de riiomogeneite\ Nous'examinerons successivement la similitude en Geometrie, en Cinematique, en Mecanique.

Similitude en Geometrie. — Imaginons une figure de Geometrie A et construisons une figure semblable a : par exemple, A sera une statue et a une reduction de celle statue. Si L est la longueur d'une ligne de A el Ha longueur de la ligne correspondence dans a, le rapport

s'appelle le rapport de similitude.

Ainsi, en supposant le rapport de similitude A= ^> on dira que la statue a est la reduction au dixieme de A.

Dans ces conditions, si S est l'aire d'une portion de surface de A et s l'aire de la portion de surface correspondante de a, on a

De meme, si P est le volume d'une certaine partie de A et p le volume correspondant de a, on a aussi

II resulle de la que si, dans la figure A, en prenant une unite de longueur arbitraire, il exisle une relation

(i) /(Li, L2, Si, S2, P,, P2, ...) = o.

entre certaincs longueurs hi} L2, . . . , cerlaines aires Si, S2, . . . , et certains volumes P<, P2, dans la figure a on aura, entre les longueurs, les surfaces et les volumes correspondants /4, L>. . . .,

Si, s2, • • ■ , fi , Pn ..,1a meme relation

(2) f(li, h, . . ., tu • • *>Pu P«-i ■) = o.

En efFet, la relation (1), etant vraie quelle que soit l'unite de longueur, est vraie si Ton prend une unil6 de longueur X fois plus petite. On a done, d'apres les regies de l'homogeneite,

/(XLi, XL2, X«St, X*S2, l*Pu X*P2, ...) = o,

ce qui est prccisement la relation (2,).

Ainsi, dans une pjramide, le volume P est le tiers du produit de la base S par la hauteur II

P = |SH; dans un modele reduit, on a aussi

p = \sh.

Similitude en Cinematique. — Soit un sjsteme materiel qui se meut par rapport a un triedre rectangle fixe OXYZ a un instant T, ce sjsteme forme avec OXYZ une figure geomeHrique A qui varie avec T.

Imaginons ensuite un deuxieme sjsteme en mouvement par rapport a un triedre rectangle fixe Oxyz et remplissant les conditions suivantes : on peut eHablir, entre deux instants t et T, une relation

telle que le second sjsteme, a l'instant t, forme avec Oxyz une figure a semblable a la figure A formed, a l'instant T, par le premier sjsteme et le triedre OXYZ, le rapport de similitude X de ces deux figures etant constant.

Dans ces conditions, les deux sjstemes passent par une suite de positions et de formes qui sont g£om£triquement semblables.

On dit que les deux mouvements sont cinematiquement