CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE

on / et a designent des constantes :

/. = -rrr-> — H n : — ' x == — [wiR— p( M -+- /// ) sin 9 1.

M A - -i- /// K2 — /// R p sin 9 n ;j. l r

La premiere constante X est essentiellement positive, car p < H ; la deuxieme a peut etre positive, negative ou nulle :

1 " y. > o. Supposons Ie treuil abandonne a lui-meme, sans vitesse initiale.

Alors, -~ etant positif, w crolt constamment jusqu'a to = \ a; quand 10 tend vers

I r da) XJn a — to2

uugmente indeliniment. Done la vitesse angulaire va en croissant et tend vers \'7' [Discussion identique a celle de la chute d'un corps pesant dans 1111 milieu resistant (n() 212).]

2° x<o. En supposant encore que la valeur initiale de to soit nulle, on

trouverait •< o; d'apres l'equation, le treuil tendrait done a tourner en

-ens inverse du sens dans lequel tire le poids mg ; ce qui est absurde. Dans ce cas, le poids mg est insufllsant pour vaincre le frottement au depart, et le treuil reste en equilibre. Les equations qui sont etablies dans Thypothese du mouvement ne s'appliquent plus. La discussion complete dans l'hypothesc o)0 > o serait analogue a celle du mouvement ascendant d'un poids dans un milieu resistant.

Le cas a^o ne peut pas se produire quand il n'y a pas de frottement : en effet, si c = o. 7. est positif.

37 i. Arc-boutement. — II peut arriver que le frottement cmpeche completeinent certains inouvements qui seraient possibles geomelriquement s'il n'y avait pas de frottement. On dit alors qu'il y a arc-boutement. Ce cas se reconnait sur les equations par ce fait que l'equilibre persiste, queique grandes que soientles iatensites de forces motrices.

Considerons, par exemple, un corps pesant place sur un plan incline faisantavec I'horizon un angle moindre que I'angle de frottement. Si ce corps est tire verticalement vers le bas par une 1 orde passant dans une fente du plan, il ne se mettra pas en mouvement queique grand que soil Feffbrt de traction exerce* par la corde.

375. Sur les difficulties qui se presentent dans Fapplication des lois empiriques du frottement ordinairement admises. Recherches de P. Painleve. — Dans les deux premiers exemples que nous venons de trailer (n(,s 370 et 371), la composante normale de la reaction des deux corps au contact a, en fonction des variables determinant les positions et les vitesses des points du systeme, la meme expression que s'il n'y avait pas de frottement. En d'autres termes, cette expression est independante du coefficient /. Les problemes dans lesquels cette circonstance se presente doivent etre regardes comme les plus particuliers. et. en meme temps, comme les plus simples.

Dans les cas plus gene*raux, il arrive, au contraire. que les expressions des reactions normales en fonction des variables determinant les vitesses et les positions des points du systeme dependent du coefficient de frottement f : il peut se presenter alors, tant pour le frottement a Pe'tat de mouvement que pour le frottement au depart, les circonstances singulieres qui conduisent a des impossibility ou des indeterminations. Ces faits singuliers ont ete signales, pour la premiere fois, par P. Painleve dans ses Lecons sur le frottement (*), et dans une Note presentee a 1'Academie des Sciences {Comptes rendus, t. GXXI, i8g5, p. 112). Et il ne faudrait pas croire que, seuls, des systemes exceptionnels peuvent preter a de telles difficultes : c'est, au contraire, dans les cas les plus generaux qu'elles se presentent, au moins des que le coefficient empirique / du frottement est suffisamment grand. Des lors, de nouvelles experiences sont necessaires pour trouver une loi de frottement ne pretant plus a ces difficultes. Nous ne pouvons pas ici entrer dans le detail des recherches de P. Painleve : nous nous contenterons de montrer, sur un des nombreux exemples donnes dans les Lecons sur le frottement, quelles sont les difficultes qui peuvent se presenter avec la loi empirique ordinairement admise. On trouvera d'autres exemples dans un interessant article de Ad. Mayer Zur Theorie der gleitcnden Beibung (Berichte der Konigl. Sdchsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 3 juin 1901).

Considerons deux points materiels M et Mi de masses 1, relies par une tige MMi rigide et sans masse, de longueur /• : le point M est assujetti a glisser avec frottement sur une droite horizontale fixe Ox, qu'il ne peut pas quitter, et le systeme MM] est mis en mouvement dans le plan vertical xOy passant par Ox. Trouver le mouvement en supposant le systeme soumis a la seule pesanteur. (Painleve, Lecons, p. 98.)

Appelons 0 Tangle ^MM, (fig- 217)- % l'abscisse de M. X\ et y\ les coordonnees de Mi.

Les forces exterieures appliquees au systeme MMi ^-oiit le poids total de

grandeur ig applique au centre de gravite G, milieu de MMi, et la

reaction R de Ox dont nous appellerons Rx et Rv les deux composantes

suivant Ox et Oy.

(') Autographie Hermann, 1^90.