CHAPITRE XIX. - DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE

Les equation- du mouvenient du centre de gravite dorinent imruediatement, en designan par des accents les derivations par rapport an temps,

Le theoreine des moments par rapport a des axes Gx'v' passant par G donne de meme

(a) ~~ 0" = — -( 'Kvcos0 — Rrsin0).

ear le moment d'inertie par rapport a G est — ? et les coordonnees de M, par rapport aux axes Gx'y', sont

— - cos 6, sin 0.

Fig. 217.

Les liaisons geometriques donnent immediatement

X\ = x -+- r cos 0, yx = r sin 0 ;

en portant dans les equations ( 1 ), on a

( 2 x"— r sin 00"— r cos 6ft'« = R.r,

/ /■ cos 00" — /• sin 00''2 = 2g -H Rv;

el en portant le- valeurs de R.,. et Rv, tirees de ces relations, dans 1'equation (2)

I \ I a?" sin 0 — /-0" cos 0 == o.

A.ppliquons maintenant les lois empiriques du frottement. La reaction

totale de Ox sur M a ete appelee l» : la composante normale est en valeur absolue la \aleur absolue de R»; la composante tangentielle est en valeur absolue la valeur absolue de R.r. La conposante tangentielle c>t en sens

contraire de la vitesse du point M et egale a la valeur absolue de fRy} / etant 1c coefficient de frottement; on a done, suivant les ca>.

Nous ecrirons

(5) R, = -;/Rr,

£ etant egal a zt i suivant les cas. En examinant successivement les divers cas possibles, on voit qu'on doit prendre les signes suivants :

Si Rv> o, o, il faut R.r< o, i > o; Si Rv> o, x'< o, il faut R.t > o, s < o; Si Rr < o, x > o, il faut !!, < o, z < o; Si Rv < o, ar'< o, il faut R.r> o, e > o.

En resume, i doit etre choisi de telle facon que

(6) sVRr>o (£-h±l).

Remplacons alors dans (3) RlT par son expression — zf\\y, et resolvons les trois equations (3) et ( ) par rapport aux trois quantites Rv, x" et 0". En posant

( 7 ) D = i -b cos2 8 + s/ sin 0 cos 0 , nous aurons

— (rV* sin0 -f- ig\ (/•6'2 sin 0 -+- ig) (cos 8 4- £ / sin 0),

r 0'2(cos 0 -+- £ / sin 0) ■+■ ^[cos0 sin 0 -+- £ /(i sin26)J.

Gela pose, nous montrerons d'abord que les difficultes indiquees par P . Painleve se presentcnt des que /est suffisamment grand.

IMacons le systeme dans une position initiale obtenue en donnant a x une valeur arbitraire x0 et a 0 une valeur arbitraire 0O comprise entre o

et ; puis lancons-le avec des vitesses caracterisees par les valeurs a „

et 0'o des derivees de x et 0'. Enfin, supposons / assez grand pour que Ton ;iit

(9) 1 -t-eos'-0(, — /sin 0O cos 0O < o.

Nous ;i lions voir que. si x'0 est positif, il est impossible de satisfaire a la relation (6) par un choix convenable de e, et que, -i x'0 est negatif, les deux valeurs e = zt i conviennent : dans le premier eas aucun mouvement ne scrait possible, et dans le deuxieme deux mouvements difterents seraient possibles.

En efletj >i x'0 > o, et si l'on prend e == -4- 1 , on ^voit que la valeur initiale de la quantite D est positive, puis, par la premiere des equa-