P : Q : R :: FO : EO : EF

ce qui montre que chacune des trois fotxres P, Qi R^ est proportionnelle à la distance comprise entre les points d'application des deux autres.

Cette proportion, et, par suite, la position du point 0, sont indépendantes de l'angle sous lequel les directions des forces données sont coupées par la ligne EF , qui peut être une droite quelconque aboutissant par ses extrémités h ces deux directions.

5i. On résoudra maintenant, sans aucune diffi-

culte, toutes les questions qui peuvent se pœsenter sur la composition de deux forces parallèles en une seule et sur la décomposition d'une force en deux autres qui lui soient parallèles. Nous n'entrerons dans aucun détail à ce sujet; et nous ne reviendrons pas non plus sur le cas particulier des forces égales et non directement opposées^ que nous avons exclu de la démonstration précédente , et qui a été suffisamment examiné dans le n* 44-

Je vais actuellement considérer un nombre quelconque de forces parallèles, dont une partie agit dans un sens et Tautre partie dans le sens oppose, qui sont situées ou non situées dans un même plan, et appliquées à des points liés entre eux d'une manière invariable, par exemple, à différens points d'un corps solide.

En composant deux de ces forces en une seule , puis celle-ci et une troisième encore en une seule , et ainsi de suite, on parviendra à déterminer la grandeur et la position dans l'espace de la résultante de tontes les forces données , à moins que les deux dernières forces qu'on aura à considérer ne tombent dans le cas d'exception du n"" 44* Cette résultante sera évidemment parallèle k la direction commune des composantes ; de plus , elle sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins la somme de celles qui agissent en sens contraire , et elle agira dans le sens de la plus grande somme. Si donc on regarde les unes comme des quantités positives , et les autres comme des quantités négatives ( n® 1 1 )^; qu'on les représente

toutes par P, P', P^, etc. , et leur résultante par R ,

on aura toujours

R = P + P'-|-F + etc.

52. Si les forces données viennent à tourner autour de leurs points d'application sans cesser d être parallèles, leur résultante tournera aussi autour d'un des points de sa direction ; car son point d'application y qu'on trouve en composant successivement les forces données y comme on vient de l'indiquer, ne dépend en aucune manière de la direction commune de ces forces , et reste, conséquemment , le même quand cette direction vient à changer.

Ainsi, par exemple y supposons que les forces données soient au nombre de trois, P, P', P*, dirigées suivant les droites MA, M'A', M'A*^ (fig. ai). Soit d'abord NB la direction de la résultante de P et P', qui sera égale à P + P'; soit ensuite N'B' la direction de la résultante de P -f- P' et P*'; cette dernière force P' étant supposée, dans la figure, agissante en sens contraire de P et P', et plus grande que P + P'. Concevons maintenant que les trois forces P, P', P*', tournent autour des points M, M', M', en conseiTant leur parallélisme et le sens relatif de leurs actions. Soient Ma, M'a', M'a', leurs nouvelles directions. Dans ce nouvel état, la résultante des forces P et P' rencontrera la droite MM' au même point N qu'auparavant , puisque la position de ce point ne dépend que du rapport des composantes , et nullement de l'angle que la droite MM' fait avec leurs directions (n® 5o); elle sera présentement di-

rigée soiyaDt la droite N6 parallèle à Ma et M'a', et encore égale kTf -{-¥'. Par la même raison « la résultante de P -f- P' et P* rencontrera le prolongement de la droite MM' au même point N' qu'auparavant, et sera dirigée suivant une droite N'6' parallèle à N6 ; par conséquent , les trois forces P , P'y P*, tournant autour de leurs points d application M, M', M', leur résultante tournera aussi autour d*ua même point N'.

53. Nous appellerons centre des forces parallèles le point dans lequel viennent se couper toutes les directions successives de la résultante, quand ses composantes tournent autour de leurs points d'application ^ qu'on- suppose invariables.

On verra par la suite combien le centre des forces parallèles est important à considérer , surtout dans les questions relatives à l'équilibre et au mouvement des corps pesans. On peut déjà observer que si un corps solide est sollicité par des forces parallèles quelconques y que Ton détermine le centre de ces forces, et qu'on le suppose fixe, l'équilibre aura lieu dans toutes les positions que le corps pourra prendre aotour de ce point , pourvu que les forces données restent toujours parallèles et appliquées aux mêmes points de ce corps; car alors leur résultante passera constamment par le point fixe , ce qui suffit pour qu'elle soit détruite.

Lies coordonnées du centre des forces parallèles, rapportées à trois axes rectangulaires, dépendent, comme on va le voir, des produits de ces forces multipliées par les coordonnées de leurs points d'applica-

g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

lion. A cause que ces produits se présentent dans un grand nombre de cas, on leur a donné un nom partU culîer ; on appelle moment dune force par rapport à un plan, le produit de cette force et de sa distance à ce plan. Ainsi, P étant l'intensité d'une force aj^quée en un point dont les coordonnées sont oc^jyZy les produits Pjs , P^, Pjc , seront ses momens par rapport aux plans des x tXjj des x et z^ àesjr et z. Les momens de cette espèce n'ont rien de comnaun , en général, avec les momens par rapport à un point quW a définis dans le n"" 4^« Ceux-ci dépendent de la direction de la force , et sont indépendans de son point d'application; les momens par rapport à un plan dépendent, au contraire, de la position du point d'application de la force , et sont indépendans de sa direction. On ne fait usage des derniers que dans le cas des forces parallèles; eu sorte qùlls peu* yent être des quantités positives ou négatives, à raison du signe de la force et des coordonnées du point où elle est appliquée.

54- Soient M, M\ M% etc. (fig. 2a), les points d'application des forces parallèles P, P^ f, etc., dont il sera inutile d'indiquer les directions. Menons arbitrairement trois axes rectangulaires 0;r, Ojr, Os, qui seront ceux des coordonnées; désignons par x, ^, z, les coordonnées de M; par x', y, z\ celles de M' ; par JC*, j^, z*, celles de M', etc. ; et supposons que toutes ces coordonnées et ces forces sont des quantités données qui peuvent être positives ou né-* gatives. Soient encore Q, Q', Q*, etc., les projections 4es points M, M', M% etc., sur le plan des x et./;

en sorte qu'on ait ^

Mq=zz, M'Q' = z', M'Q•=z^ etc.

Eofia I représentons par a:^, jr^, z, , les trois coordonnées du centre des forces parallèles dont il s'agit de trouver les valeurs.

La résultante P + F des deux forces P et F rencontrera en un point N la droite MM^ ou son prolongement, selon que ces deux forces seront de même signe Ou de signe contraire ; mais dans les deux cas cil aura

F : P + P' :: MFf : MBT.

Soit K la projection de N sur le plan des jr et^. Par le point M, menons la parallèle MGH à la droite QKQ^t qui rencontre les droites NK et M!Q' aux points G et H , de sorte qu on ait

MQ == GK = HQ'; on aura aussi