P H- F)NG = F.M'H
A cette équation , j'ajoute l'équation identique
(P + F)GK = P.MQ + F.HQ';
ce qui donne
(P -f. P')NK = Pz -f- Fz'.
La résultante des deux forces P -|- P' et F rencon-
98 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,
trera en un point N' la droite NM" ou son prolongement , selon que ces deux forces auront le même signe ou des signes contraires; et si K' est la projection de N' sur le plan des x et jr^ on trouyera, comme dans le cas précédent ,
(P4.p'4.p'/jN'K' = (P^.p/3NK + FV';
par conséquent^ on aura
(P 4. P' 4. F') NTK' = Pz + P V + P V.
On continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données P, P', F', etc. ; et si R est leur résultante totale , on aura finalement
Rz. = Pz + PV + P V -f- etc.
La figure 22 suppose que tous les points M, M', M", etc. , N, N', etc., sont situés d'un même côté du plan des x et jr, ou que leurs ordonnées parallèles k l'axe des z sont toutes de même signe ; mais il est aisé de voir que si l'équation précédente est vraie dans ce cas , elle le sera encore lorsque ces ordonnées seront en partie positives et en partie négatives. En effet, transportons le plan des a: et^, parallèlement k lui-même , h une distance quelconque h de sa position primitive. Par rapport à ce nouveau plan, soient Z, Z', Z", etc., les coordonnées de M, M'', M", etc., et Z, celle du centre des forces parallèles, de sorte qu'on ait
Z,=z,— A, Zz=2Z—h, Z'=z'—h, Z"=z"— A, etc.;
si l'on retranche de l'équation précédente l'équation
identique
Rh =zFh + rh -f- V'h + etc. ,
il en résultera
RZ, = PZ -f- P'Z' + P"Z" + etc. ;
équation dans laquelle les ordonnées Z, Z% Z", etc., peuvent être positives ou négatives.
On voit donc que, dans tous les cas, le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles par rapport à un plan choisi arbitraire* ment , est égal à la somme des momens de ces forces par rapport au même plan.
55. En prenant successivement les momens par rapport aux trois plans des coordonnées , on aura , d après les notations précédentes ,
Ra:.=Pa: + P'^' + P''^' + etc., y
Rr. = Pr + Py + Py + etc. , I (i>
Rs. = Pz + Fz' + P V 4- etc. j )
et à cause de
R = P + F + P" + etc. , (2)
les trois cooixlonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En menant par ce point une droite parallèle aux forces données, dans* le sens indiqué par le signe de R; on aura la direc-' tien de la résultante. Ces quatre équations renfermeront, de la manière la plus générale, la théorie des forces parallèles.
La somme dés momens des forces P, P', P",etc., est égale à zéro , par rapport à tout plan passant par le *
lao TRAITÉ DE MÉCANIQUE-
ceatre des forces parallèles; car, en prenant ce plan pour celui des xetjr^îl faudi'a qu'on ^t jz, = o , et, conséquemment ,
P2 + PV + PV + etc.
Dans le cas particulier où P , P', V, etc. , 3e réduisent à deinc forces égales , agissant en sens opposé, leur somme R est égale à zéro ; ce qui rend infinies les valeurs de x^^y^y 2,. Le centre des forces parallèles est donc alors situé & Finfini , ou plutôt ce centre n'existe pas, non plus que la résultante.
56. Lorsque tous les points d'application M, VS^ M", etc. , des forces données sont situés dans un même plan , il est évident , par la nature du centre des forces parallèles (n* 5^), que ce point, s'il existe, devra aussi se trouver dans ce plan; c'est aussi ce que l'on peut conclure des équations (1) et (a).
En désignant par a, b, c, trois constantes données, on aura, dans ce cas.
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