CHAPITRE IV

PASSCIPB SES VlT£8fi£S VIBTDELLB8.

329. Dans les cas les plus simples de l'équilibre des machines^ la puissance et la résistance sont réciproquement proportionnelles aux espaces que leurs poinb d'application décriraient simultanément^ si l'équilibre venait à se rompre. Pour que ce rapport ait toujours lieu, il faut prendre les espaces infiniment petits qui seraient décrits dans le premier instant , et les remplacer par leurs projections sur les directions des forces. Il a été remarqué depuis long-temps dans les machines simples; Jean Bemouilli Ta ensuite étendo, par induction, à un système quelconque de points matériels sollicité par des forces données ; et^ sous la dénomination de principe des vitesses virtuelles, il est ainsi devenu le principe général de l'équilibre. Nous le démontrerons dans toute sa généralité, après 1 avoir vérifié sur les exemples suivans.

i*. Soient (lig. 79) A, A', A",... une suite de poulies contenues dans une même chape, et formant une moufle fixe, et B, B', B'', . . . une autre suite de poulies aussi contenues dans une même chape, et formant une moufle mobile. Supposons qu'un fil soit attaché à la poulie inférieure de la moufle fixe, et s'enroule successivement sur toutes les poulies, en passant alternativement d'une moufle à l'autre. A l'ex-

tremité libre de ce fil, suspendons un poids P qui fasse équilibre à un poids R suspendu à la poulie inférieure de la moufle mobile. La tension du fil sera la même dans toute sa longueur^ et égale au poids P; de plus^ si les diamètres des poulies sont très petits, eu égard à la distance qui sépare les deux moufles , les cordons qui vont de l'une à l'autre seront sensiblement parallèles et verticaux : la force qui soutient le poids R sera donc égale à la somme de leurs tensions ^ ou à 72 fois le poids P^ en appelant n le nombre de ces cordons; par conséquent, dans Tétat d'équilibre , on aura

R = wP.

Or, si l'équilibre se rompt , et que le poids R monte ou descende d'une quantité a^ tous les cordons qui aboutissent à la moufle mobile se raccourciront ou s'allongeront de cette même quantité. La longueur totale du fll devant rester la même, la partie à laquelle est attaché le poids P s'allongera ou se raccourcira de n fois cette quantité a; donc, en désignant par & la quantité dont le poids P s'élèvera ou s'abaissera , on aura €=:ncLf et, conséquemment,

Ra = Pg ;

ce qui renferme le principe qu'on vient d'énoncer.

2^. ABC ( fig. 8o ) représente la roue d'un treuil^ et A'B'C l'intersection du plan vertical de cette roue et de la surface du cylindre; 0 est le centre commun de ces deux circonférences, et AOC et A'OC sont leurs diamètres horizontaux. Un fil s'enroule sur la roue ,

656 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

et s'attache à l'un de ses points; un autre fil, attadiëa l'un des points du cylindre ^ s*enroule de même sur a surface. On suspend un poids P au premier fil, et on poids R au second ; ces deux poids tendent k fiure tourner le treuil en sens contraire , et sont supposés en équilibre. Cela pose, si l'on applique an point C deux forces R' et R'^, verticales, égales et contraires, l'équilibre ne sera pas troublé; si, de plus, ces forces sont égales à R , la force R'' et le poids R se feront équilibre , puisqu'il n'y aurait pas de^ raison pour que leur action simultanée fit tduimer le treuil plutôt dans un sens que dans le sens opposé ; il faïudra donc qu'il y ait aussi équilibre entre le poids P et la force R^ perpendiculaires à AOC, et qui agissent aux extrémités de ce levier, dont 0 est le point d'appui. Donc, en appelant r le ray ou AO de la roue , et r^ le njtm OC du cylindre, l'équation d'équilibre sera

Pr = Rr',

à cause de R'=:R. Maintenant, si l'équilibre se rompt, et que le poids R monte on descende d'une quantité «, tandis que le poids P descendra ou montera d'une quantité Ç, il est évident, par la nature de la machioe, qu'on aura €r^ z=:ar; d'où l'on conclut

Pg = R« ,

conformément à 1 énoncé du principe qu'il s'agissait de vérifier.

5^. Supposons qu'une vis verticale soit chargée d'un poids R à son extrémité supérieure; qu'une roue borisontale, ayant son centre dans l'axe de

cette yis^ soit adaptée à son extrémité inférieure; f[u'un fil soit enroulé sur cette roue et attaché par un bout à sa circonférence , et qu'on applique à son autre bout une force horizontale F qui agisse sui^ vaut une tangente à la roue» et fasse équilibre au poids R. On pourra , si l'on veut , placer sur la direction de cette tangente une poulie fixe et verticale, plier le fil sur cette partie, et remplacer F par un poids P égal à cette force et attaché à Textré* mité libre de la partie verticale du fil. En appelant h la hauteur du pas de la vis , et c la circonférence de la roue, on aura

Pc = RA,

d'après la condition connue de l'équilibre dans cette machine. Les deux poids R et P tendront à faire tourner la vis en sens contraire; si l'équilibre vient à se rompre, l'un de ces poids montera, et l'autre descendra; et si le poids R s'abaisse ou s'élève d'un pas A de la vis, le poids P s'élèvera ou s'abaissera d'une hauteur égale à la circonférence c de la foiie; d'où il résuite qu'en appelant, en générai, a et € les espaces parcourus simultanément par les deux poids R et P, on aura (tc=iChj et, par conséquent,

PS = Ra,

conformément au principe dont nous nous occupons. 40. Considérons encore deux poids P et R posés sur deux plans inclinés, et attachés l'un à l'autre par un fil passant sur une poulie fixe , située en haut des deux plans qui sont adossés l'un à l'autre. La fi-

658 TRAITÉ DE MËCAMIQUE.

gure 8i représente une section yerticale de œ système; AC est la longueur du plan sur lequel est posé le poids R^ BC œlle du plan qui supporte le poids P, AB une droite horizontale , et CD une verticale qui représente la hauteur commune des deux plans. Faisons

AC = a, BC = ô, CD = A; la composante de R suivant CA sera R - , et celle de

P suivant CB aura P r pour valeur. Pour rëc^ni-

libre, il faudra que ces deux composantes soient égales; en sorte que l'on aura

Ta ^Rb.

Si Téquilibre se rompt , et que le poids R glisse d'une quantité y sur le plan CB , le poids P glissera de la même quantité , mais en sens cpntraire » sur le plan AC; et eh appelant a la hauteur verticale dont le poids R sç sera élevé ou abaissé , et C celle dont le poids Pse sera abaissé ou élevé, il est aisé de voir que l'on aura

d'où il résulte

Pg = Ra ,

comfne dans les exemples précédens : mais ici a et f sont les projections verticales des espaces décrits simultanément par Les poids R et P^ tandis que, dans le cas précédent^ « et ^ étaient ces espaces mêmes.

53o. D'après ce qu'on a vu dans le n^ 49 > <leux forces qui se font équilibre par l'intermédiaire d'un levier quelconque > sont en raison inverse des espaces infiniment petits, projeta sur leurs directions ^res<^ pectiyes, et que peuvent décrire en même temps leurs points d'application. Cet énoncé est celui qui convient à tous )es cas. Ainsi , en appelant P et R la puissance et la résistance en équilibre par Tintermé-* diaire d'une machine quelconque, supposant' qu'on imprime un mouvement infiniment petit à cette machine, et désignait par Cela les projections sur les directions dç ces forces, des espaces qui seront décrits en même temps par leurs points d'application , on aura toujours

à quoi il faut d'ailleurs ajouter que l'une des projec-» tions devra tomber sur la direction même de la force correspondante, et l'autre sur son prolongement, ainsi que cela a lieu dans le levier.

Dans la pratique, il suffira que le mouvement im*^ primé à la machine soit seulement très petit. En mesurant les longueurs des projections € et a, on en con* dura immédiatement le rapport de la puissance à la résistance, sans rien connaître de la composition particulière de la machine.

53 1. Non seulement cet énoncé convient aune machine quelconque, mais il s'étend aussi à un nombre quelconque de forces en équilibre. Soient donc, en général , M , M', M'', etc.* (fig. 812) , un système de points matériels liés entre eux de telle manière qu'on

66o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

youdra; supposons que des forces P, P', P^, etc., agissent sur ces points, suivant les directions MA, M'A% M"A'', etc.; faisons subir à ces points des dé* plaqemens infiniment petits et compatibles ayec les conditions du système, de sorte qu'ils soient transportés en N, N', N", etc.; projetons N, N', N", etc., sur les droites MA, M'A', M"A", etc, en a, a', a", etc., et posons

Ma=z p, MV = />', MV = p\ etc.

En considérant ces projections p, //, p% etc., comme des quantités positives ou négatives, selon qu'elles tombent sur les directions des forces correspondantes, ou sur leurs prolongemens , nous aurons

?p + Py + Py + e!c. = o,

lofsque l'équilibre aura lieu ; et réciproquement il y aura équilibre , quand cette, équation subsistera pour tous les déplacemens compatibles avec les conditions du système.

Les droites infiniment petitesMN, MT>î', M"JN'', etc., sont ce qu'on appelle les vitesses virtuelles des points M, M', M", etc.; dénomination qui provient de ce qu'elles sont considérées comme les espaces qui seraient parcourus simultanément par les points du système , dans le premier instant où l'équilibre viendrait à se rompre.

On doit observer que le principe des vitesses virtuelles , contenu dans la formule qu'on vient d'écrire , donne seulement les conditions d'équilibre qui peuvent être exprimées par des équations.

STATIQUE, SECONDE PAJVTIE. 661

mais non pas celles qui sont relatives à la direction de certaines forces , et à l'étendue dans laquelle elles doivent rencontrer un plan fixe (n* a66). Les mouy emens compatibles avec les conditions du système , qui donnent lieu à des équations d'équilibre, sont ceux dont les mouvemens directement contraires sont également possibles. Mais, par exemple , si xSa point matériel est posé sur un plan fixe, le mouvement sera possible dans ce plan , suivant chaque direction et suivant la direction contraire ; et perpendiculairement à ce plan, il ne pourra avoir Heu que (lans une seule direction. Or, la considération des mouvemens dans le plan, donnera lieu aux conditions d'é^quilibre qui s'expriment par des équations, et la considération du mouvement perpendiculaire détermi*nera seulement la direction de la force normale , qui doit être contraire à celle du mouvement possible. Dans l'énoncé du principe des vitesses virtuelles, on suppose implicitement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du système , et le mouvement directement contraire , sont également possibles; en appliquant successivement l'équation précédente à ces deux mouvemens, les quantités p^ p'j p"f etc., changeront toutes de signe, et il n'en résultera qu'une seule équation d'équilibfe.

Si la force P, est la résultante de plusieurs forces données Q, Q', Q", etc. , et qu'on représente par ç, q\ q'', etc. , les projections de MN sur leurs directions, on aura (n® 34)

Pp = Qç 4. qq' + Q'V' + etc. ;

662 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

eâ sorte qu'on pourra remplacer dans rëqoalion pré^ cédente, le terme P/i relatif à la force P, par celte somme de termes de la même natnre, qui répondent à ses composantes; et de même, par rapport ani forces Py f, V, etc.^ si elles sont aussi les résnltanta de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesse^ virtuelles , dans le cas d'un point isolé en équilibre ^ est, comme on Ta vu dans le n° Sg^ une conséquence de cette dernière équa* tion , soit qu'il s'agisse d'un point entièrement libre , ou qu'il soit assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée. Il s'agit actuellement de démontrer ce principe général , dans le cas d'un système quelconque de points matéridsM, M', M", etc.

332. Supposons ces points liés entre eux par des verges inflexibles ou par des fils flexibles^ dont les uns soient fixement attachés à ces points, tandis que ci autres les traversent comme des anneaux mobiles. Dans ce dernier cas, ces points ou anneaux ont la liberté de glisser le long des fils qui les traversent, et que Ion suppose, pour cela , parfaitement flexibles.

Après qu'on a appliqué les forces données P, F, P^ etc. , aux points M , M', M'', etc. , et que l'équilibre s^est établi, il est clair que les fils qui joignent ces points deux à deux , éprouveront chacun une tension particulière, c^est-à-dire, que chacun de ces fils sera tiré à ses deux extrémités par des forces égales et contraires, dirigées suivant ses prolongemens , ainsi qu'on l'a déjà dit dans le cas du polygone funiculaire (n*" 285). L'intensité de cette force sera la me-

sure de la tension inconnue que ce fil éprouve^ Un fil qui ne serait pas tendu , ne contribuerait pas à l'équilibre, et l'on pourrait en faire abstraction,

lia tension peut varier d'un fil à un autre ; mais s'il s'agit de deux fils qui sont le prolongement l'un de lautre à travers un anneau , la tension est la même dans ces deux parties d'un même fil qui doit nécessairement éprouver une égale tension dans toute sa longueur (:k89). Ainsi, par exemple, si M est un anneau traversé par le fil M'MM'', la tension de MM^ sera égale à celle de MM'.

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un même anneau , la tension est la même dans les deux parties de chaque fil , et peut varier d'un fil à l'autre. Si donc, outre le fil M'MM'^, il passe encore un fil M'^'MM'^ dans l'anneau M, la tension sera la même dans les deux parties MM'^^ et MM'^ de ce dernier fil^ et, en général, elle sera différente de celle des deux parties MM' etMM'^, du premier fil. Et si un autre fil, tel que MM% vient s^utir au même anneau M auquel il soit fixement attaché, ce fil aura sa tension particulière, généralement dijBTérente de toutes celles des autres fils qui aboutissent au même point M.

Observons encore que si M' est un anneaii ainsi que M, et que le fil M'^MM', après avoir traversé l'anneau M , passe encore par l'anneau M' pour aller aboutir au point M^'^, la tension sera la même dans les trois fils M"M, MM', M'M'^; car alors ces trois fils n'en font qu'un seul M^'MM'M'^'. En général , lorsqu'un fil est partagé en plusieurs parties, par des an*-

664 TRAITÉ D£ MÉGANIQUE.

neaux mobiles , la teosîoTi est la même dans toutes

ces parties.

A regard des vergés inflexibles , quand l'équilibre existe, elles sont tirées ou poussées dans le sens de leur longueur, par des forces égales et contraires , agissant à leurs extrémités. L'intensité conraïune de ces deux forces, pour chaque yerge, est la mesure de la tension ou contraction qu'elle éprouve. *S'il en existe une ou plusieui*s dans lé système , qui ne soit ni tendues , ni contractées, elles sont inutiles à l'équilibre , et Ton peut les supprimer. Ainsi , dans ce qui .va suivre, nous supposerons tous les liens physiques qui existent dans le système , tendus ou contractés suivant leurs longueurs par des forces inconnues.

L'avantage du principe des vitesses virtuelles est de donner l'équation d'équilibœ dans chaque cas particulier, sans qu'on ait besoin de calculer ces forces in-* térieures ; mais comme la démonstration que nous allons donner est fondée sur la considération de ces forces, de grandeur inconnue, voici la notation dont nous ferons usage pour les représenter.

Nous désignerons par [m y m''], la tension ou la contraction du fil flexible ou inflexible qui joint deux points quelconques M et M' du système. De cette manière [w, m"], [m\ t/ï"], etc., représenteront les tensions ou contractions des fils qui joignent M et M", M' et M", etc.

353. Nous aurons aussi à considérer les variations infiniment petitesqu éprouvent les distances des points M, M', M", etc., pris deux à deux, soit quand l'un de ces points change seul de position, soit quand ils

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. e65

sont déplacés simultanément. Alors , nous désignerons par (m, m') la distance de deux points quelconques M et M'; en sorte que (m, m"), (m! , m"), etc.f soient de même les distances de M et M% M' et M'', etc. Nous emploierons la caractéristique J^^ y pour indiquer les variations de ces distances , relatives au dé-* placement du point M; la caractéristique cT/^ pour indiquer celles qui ont lieu quand c'est le point M' qui se déplace ; la caractéristique cT/^, pour indiquer les variations provenant du déplacement de M'^ ; et ainsi de suite. Enfin , nous réserverons la caractéristique S'y sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance de deux points y résultant de leurs déplacemens simultanés.

Puisqu'on suppose , par exemple y que M a été transporté de M en N et M', de M' en N', nous aurons

J^ (m, m7= MM' — NN',

S^ {rriy m') — MM' — NM',

S!(mym') = MM' — MN';

n est important d'observer que la variation totale, indiquée par cT, est égale à la somme des variations partielles , indiquées par S", et cT/ j de manière qu'on a y pour deux points quelconques^

/(m, m') = S^{my m!) + S;{my mT);

équation qui résulte de ce que les déplacemens de M et M' sont infiniment petits y et qui n a lieu que dans cette hypothèse. En effet (m y m!) est une fonction des coordonnées de ces deux points; ces variables pren-

«66 TRAITÉ I^ MËCINIQUE.

Beot des accroissemens iafiniiiieDt petits , posllils ou négatifs, quand M et M' sout transporta eo N et N'; or, en rejetant les puissances de ces accroissemens supérieures à la première, il est évident que raccroîssèment total d'une fonction quelconque de ces coordonnées, est égal à la somme des aocroisseme» partiels qui seraient dus à la variation de chaque /Coordonnée isolément; par conséquent, la variation totale de (m, m'), indiquée par la caractéristique «T doit être égale à la somme de ses variations partielles qui répondent à S'^ et J^/.

534- Tout ce qui précède étant admis, considérons le point quelconque M , auquel est appliquée k force donnée P. Ce point est lié aux autres par les filsMM'y MM% etc. ; il est donc tiré ou poussé , dans le sens de chacun de ces fils , par une force égale à la contraction ou à la tension que ce fil éprouve ; eu sorte qu'outre la force donnée P, le point M est encore soumis à Faction d'autant d'autres forces qu'il j a de fils aboutissant à ce point. Après qu'on a eu égard à ces forces intérieures^ il faut faire abstraction des iiis qui lient M aux autres points du système , et le considérer comme un point isolé, autour duquel les forces [m, m'], [m, i?/], etc., et la force P, doivent se faire équilibre. Si M est un point fixe, il n'en résultera aucune équation de condition; mais s'il est entière* ment libre , ou s'il est seulement assujetti à rester sur une surface ou sur un courbe donnée , on aura entre ces forces l'équation des vitesses virtuelles , déjà dé* montrée pour l'équilibre d'un point matériel isolé.

Pour former cette équation , prenons un point N

infiniment voisin de M, et appartenant à la surface ou à la courbe sur laquelle ce point iVl est astreint à demeurer, s'il n'est pas entièrement libre* Soient /i, t, t'f i", etc. , les projections de MN sur les directions des forces P , [m, înf] , [m , m''] , [m , m'"] , etc. j nous aurons (n? Sg) ,

Vp J^[m,m'].t+ [m, m"] . f+ [m, m'"] . t''+ etc.= o.

Mais, à cause que la ligne MN est infiniment petite , il est aisé de voir que sa projection sur la ligne MM' n'est autre chose que la différence des deux distances MM' et NM'; car si Ton abaisse du point N (fig. 85) la perpendiculaire NR sur MM', la droite MH sera cette projection , et Ton aura

MH = MM' — HM'.

Or, on a aussi

HM' = n/(NM')' — (NH/ = NM',

en négligeant les infiniment petits du second ordre ; on aura donc

MH = MM' — NM.

D'après les notations convenues, cette équation est

et Ton aura de même

t'zz^J'^im, m'O , <" =:zj'^(m, m'") , etc. ;

par conséquent, l'équation d'équilibre deviendra

Pp + [//i, m^.iTXiii, m')-4-[/», m"].^^/^, m") + [m , m'"] . cT, (m , m"') + etc. = o .

66B TRAITÉ DE MÉGAinQUE.

En cDosidérant les autres points M^, W, W^, etc., du système, oo aura pour chacun d'eux une équation pareille à <xUe-ci{ ces éqnalioos seront

H- \m% mr''].S'l {m\ mT") H-etc. =o,

Fy'+ [m", m] . cT/K, m) + [m", mT] . cT/Xm", m')

+ [m'', m"^.^;\m\ m"') + elc.==o,

+ [m"', m"] .<r/^(m^ m") + etc. = o;

p', p", p'"^ etc., étant les vitesses virtuelles de M', M", M'", etc., projetées sur les directions des forces données P', F^, V"', etc., qui agissent sur ces points matériels. Ajoutons toutes ces équations : en observant que [m, nf] et (m, m!) sont la même chose que [m', m] et {m\ m), et de même pour toutes les notations semblables ; et en substituant la variation totale de chaque distance à la somme de ses variations partielles, noos aurons

Pp ^ py 4. ?y+ Vp^+etc.

+[m,7?i']./^(m,m')+[m,m^.ir(m,7?i')+[m,7n^V(m,in')+ctc. +[m', m'^.l(m\ m')+ [m\ m''].t{m\ m') + ctc. }W

+[m\ m*] .^(th*, m") + etc.

-|-etc. = 0

355. Jusqu'ici les déplacemens MN, M^N', M'W',etc. (Eig.82)p sont indépendans entre eux; et l'équation {a) suppose seulement que ces poiats n'ont pas quitté les surfaces ou les courbes données, sur lesquelles ils sont obligés de rester; mais si nous supposons, en outrCi qu'en vertu die ce^ déplacemens, les points du sy stèmt

qui sont joints par une verge ou un fil tendu, ont conservé les mêmes distances respectives, nous aurons

cT (m, m!) = o, cT (m, w!') = o, / (jn\ m") =0, etc.,

et réquation (a) se réduira à celle-ci :

p^+py+py + p/y^+eicsno, (Jb)

qui est précisément celle du principe des vitesses vir^ tuelles(n® 53 1).

Si dans les déplacemens des points M, M', M'', etc., ceux qui sont des anneaux ont glissé le long des fils qui les traversent, 1 équation {b) aura encore lieu, pourvu que les longueurs totales de ces fils niaient pas varié. Supposons, par exemple, que M est un anneau qui a glissé le long du fil M'MM''; alors on n'a plus séparément /(m, m')sz=o et «^(m, 77i") = o, mais on a toujours

cTCin, ni) -t- cr(m, ni') = o,

puisque la longueur totale du fil reste constante. Mais, dans ce cas, les tensions [m, 771Q et [m, m^Q des deux parties de ce fil sont égales; les termes qui renferment ces tensions dans Téquatibn (a) peuvent donc s^écrire ainsi :

[m, m'].[cr(m, ni) + /(w, m")],

et, par conséquent, ils se détruisent.

En général , on conçoit que si un fil flexible passe à travers un nombre quelconque d'anneaux , les tensions égales de ses différentes parties disparaîtront de

6^0 TRAITÉ DE MËCANtQtJÈ.

l'équation (a) toutes les fois que la longueur totale,/de ce fil ne variera pas.

Concluons donc , enfin ,

i^. Que lequatîon résultante du principe des vitesses virtuelles a lieu pour tous les mouvemens iofiniment petits qu'on peut donner à un corps solide, libre ou gêné par des obstacles fixes ; car dans tons ces mouvemens les distances respectives des points de ce corps sont invariables.

2*. Que cette équation a aussi lieu pour tous les mouvemens infiniment petits que peut prendre on système de points ou d'anneaux liés par des fib flexibles^ pourvu que ces fils restent droits ou tendus. Quand cette condition n'est pas remédie , les tensions ne disparaissent pas toutes dans Téqoation {a)f et, conséquçmment, l'équation (b) n'a plus lieu.

356. Il faut encore démontrer que, recîproqnement, quand l'équation (b) a lieu pour tous les mou* vemens infiniment petits qu'on peut faire prendre au système des points M, M', M'', etc. , les forces données P, P'i P'', etc. , sont en équilibre , ainsi que nous lavons énoncé précédemment (n* 53 1).

Supposons pour un moment que l'équilibre n'ait pas lieu. Les points M, M', M'', etc. , ou une partie d'entre eux, se mettront en mouvernept, et, dans le premier moment, ils décriront simultanément des droites telles que MN, M'N', M"N", etc.; on pourra donc réduire tous ces points au repos, en leur appliquant des forces convenables, dirigées suivant les prolongemens de ces droites, eu

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 671

sens contraire des mouvemens produits; par conséquent, si nous désignons ces forces inconnues par R, R', R", etc. , l'équilibre aura lieu entre les forces P, P', F', etc., R, R', R", etc.; en sorte que r, r', i^'p etc. y désignant les vitesses Tirtuelles^projetées sur les directions de ces nouvelles forces R, RV R'^ etc«> on aura, d'après le principe des vitesses virtuelles qui vient d'être démontré ,

p^ + P'^'+py 4. etc.+ Rr + RV 4.R V+ etc.=o^

ou simplement

Rr 4. RV H- R V + etc. = o , {c)

en vertu de l'équation {b), qui a lieu par hypothèse.

Cette équation (c) existant pour tous les mouvemens infiniment petits compatibles avec les conditions du système des points M, M', M'', etc. ^ nous pouvons choisir pour leurs vitesses virtuelles les espaces réellement décrits MN, M'JN', M'W, etc., dans un même instant ; mais comme ces lignes sont comptées sur les prolongemens des directions de R , R', R", etc., il s'ensuit que toutes les projections r, r^, î^\ etc. , seront négatives Cn* 55i), et égales, abstraction faite du signe, à ces mêmes lignes MN, M'N', M'W', etc. Alors, tous les termes de l'équation {c) étant de même signe, leur somme ne peut être nulle, à moins que chaque terme ne soit séparément égal à zéro ; on aura donc

R.MN = o, R'.MW=o, R^M'W=o, etc. Or, pour que le produit R.MN soit nul, il faut

67a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

qu'on ait, ou Rso, ou MN = o; ce qui signifie, dans l'un et l'autre cas, que le point M ne peut prendre aucun mouvement : il en est de même à l'é* gard de tous les autres points; par conséquent, le système entiv est en équilibre; et c'est ce que nous nous proposions de démontrer.

357. Lorsqu'il sera question jdes fluides, nous ferons voir, en partant de leur propriété fondameolalei que le principe des vitesses virtuelle a aussi lieu dans l'équilibre d'un système de forces dont les actions se transmettent par l'intermédiaire d'un fluide conteDu dans un canal ou dans un vase de forme quelconque. De cette manière , la démonstration du principe général de l'équilibre aura toute l'étendue que l'on peat désirer; car les verges inflexibles, les fils tendus, les fluides contenus dans des canaux, sont les difierentes sortes d'intermédiaires qu'on peut éfablir entre des points matériels, séparés les uns des autres, pour transmettre l'action des forces de l'un de ces points à un autre; et si d'ailleurs » parmi ces points, il j en a qui soient immobiles , d autres parfaitement libres, et d'autres assujettis à rester sur des surfaces ou sur des courbes données, on aura le système de points matériels le plus général qu'on puisse avoir besoin de considérer. Toutefois, je vais donner une autre démonstration du même principe , que l'on doit à Lagrange, et qui repose sur des notions plus élémentaires que la précédente ; elle est fondée sur la possibilité de remplacer toutes les forces appliquées à un système quelconque de points matériels, par un seul poids agissant comme on va d'abord l'expliquer.

338. Si un point M (fig. 84) est sollicité par Une foix:e P dirigée suivant la droite MA , on peut d'abord supposer que cette force soit appliquée au point A , et agisse au moyen d'un cordon MA attaché à ce point M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un'fil qui s'enroule alternativement sur une moufle fixe et sur une moufle mobile, et soit attaché par l'un de ses deux bouts à l'une ou à l'autre de ces deux moufles ; celle qui est fixe répondant au point A, et celle qui est mobile au point M. En suspendant verticalement un poids K à l'extrémité libre du fil, la tension sera égale à K dans toute sa longueur. Si les dimensions des poulies sont regardées comme infiniment petites, les tensions de toutes les parties de ce fil , qui aboutissent à la moufle mobile , auront la même direction ; en appelant / leur nombre, leur résultante sera égale a îK , et agira sur le point M suivant la direction MA; par conséquent, si l'on a fK = F, on pourra remplacer l'action de la force P par celle dn poids K.

Il en sera de même à l'égard des autres forces P^, P", etc., appliquées à des points M', M", etc. , suivant des directions M'A', M"A", etc.; chacune d'elles pourra être remplacée par un poids égal à un sous-multiple de son intensité, agissant comme on vient de l'expliquer pour la force P. De plus, il est aisé de voir qu'on pourra toujours faire passer successivement, comme le représente la figure 85, un seul et même fil ^nr toutes les moufles fixes en A, A', A'', etc. , et sur toutes les moufles mobiles attachées aux points M, M', M", etc. Supposons donc que 1, i', i'', etc., sont I. 43

des nombres entiers , et qu'on ait

iK = P, rKnzF, rTl = F', etc. \d)

En suspendant verticalement le poids K à lextrémité libre de ce fil y le système des forces données P, P', F", etc., se trouvera remplacé par ce seul poids» dont l'action sera transmise aux points H, M' , M'^, etc. f par l'intermédiaire de ce fil , et des moufles fixes et mobiles. A la vérité, les équations {d) supposent les forces P , F, F^, etc. , commensurables ; mais cette hypothèse est toujoui*s admissible, puisque leur commune «nesure K peut être un poids aussi petit qu'on voudra, et même infiniment petit, %\ cela est nécessaire.

339. Concevons actuellement qu'on imprime aux points M, M', M'', etc., un mouvement qui soîl compatible avec les conditions du système , ainsi que le mouvement directement contraire ; soient N, N^ N'^, etc. , leurs positions après un temps infiniment petit; et appelons, comme précédemment,/^, p\ fy etc., les projections de MN, M'N', M'W, etc., sur les directions de P , P', P'^, etc. , ou sur leurs prolongemens.

Le point N étant projeté en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A à M sera rao courci d'une quantité AM — AN, pour laquée ou pourra prendre M^., en négligeant les infiniment petits du second ordre ; ce cordon serait , au contraire , allongé de Ma , si le point a tombait sur le prolongement de AM; d'où Ton conclut qu'à raison du déplacement de M, le poids K descendra

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 675

dans le premier cas, et montera dans le second, dune quantité égale au produit de Ma et de î; ce qui revient à dire, d'après le signe de p (n* 33i), que la variation positive ou négative de sa hauteur verti* cale sera exprimée par ip , à i*aison de ce seul dépla-* cément. U en sera de même par rapport à tous les autres points M', Wy etc.; par conséquent, si Ton désigne par 2f une quantité infiniment petite, qui représente, selon qu'elle sera positive ou négative, la quantité totale dont le poids K descendra ou montera , par suite des déplacemens simultanés de tous les points du sys^ tème, nous aurons

ir — ip + i'p' + ry + etc.

Or, le poids K tendant à descendre, et étant la seule force qui agisse sur le système, il est évident que rien ne Tempêchera de produire le mouvement que nous considérons, si cette valeur de ^ est positive; et que, si elle est négative, rien n'empêchera le poids K de produire le mouvement directement contraire, qu'on suppose également possible, et pour lequel ^ changera de signe. Pour que l'équilibre ait lieu , il est donc nécessaire que ^ soit zéro. Réciproquement, le poids K ne pouvant produire aucun mouvement quelconque, sans descendre d'une quan-<> tité infiniment petite dans le premier instant, il s'en** suit qu'il n'en produira aucun , et que l'équilibre aura lieu, si l'on a ^=^0, pour tous les déplacemens des points M, M', M", etc., infiniment petits et compa^ tibles avec les conditions du système.

Maintenant, si l'on multiplie par K l'équation

ip + fp' + ly + etc. = o ,

nécessaire et suffisante pour l'équilibre, et qu'on ait égard aux équations {d) , elle se changera dans l'équation (6) du principe des vitesses virtuelles , qu'il s'agissait d'obtenir.

540. Cette démonstration ne suppose pas le principe préalablement démontré pour un point matériel isolé. Si le système se réduit k un seul point M auquel sont appliquées les forces P, P', P\ etc. , données en grandeur et en direction , on substituera à leur action simultanée celle d'un seul poids K, comme dans le n* 358; et, dans le cas de l'équilibre de ces forces, le principe des vitesses virtuelles se déduira de cette substitution par le raisonnement qu'on vient de faire : or, ce principe fournira immédiatement les équations d'équilibre du point M, assojetli k rester sur une surface ou sur une courbe , ou entièrement libre (n* 39). Dans ce dernier cas, en considérant l'une des forces données comme étant égale et contraire à la résultante de toutes les autres , on en déduira les règles de leur composition et de leur décomposition, et le théorème du parallélogramme des forces. En appliquant ce principe à l'équilibre de trois forces parallèles, dont Tune est, par conséquent, égale et contraire à la résultante des deux autres , on en conclura également les règles de la composition et de la décomposition des forces parallèles.

On déduit aussi , sans difficulté, du prindpe général des vitesses virtuelles, les équations d'équilibre

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 677

dun corps solide entièrement libre 1 que nous avons trouvées d'une autre manière dans le n* 260.

En effet , nous pouvons d abord supposer que tous les points de ce corps décrivent des droites égales entre elles et parallèles à l'un des axes des coordonnées. En appelant h la longueur de ces droites 1 et & ^ a', a", etc. , les angles que leur direction commune fait avec celles des forces données, nous aurons

pzmhcoscif p'=zhcosa\ /?'' = Acosa", etc.,

pour les vitesses virtuelles des points M, M', M'^, etc*, du corps solide , projetées sur les directions des forces P, P', V", etc., appliquées à ces points; donc, en substituant ces valeurs dans 1 équation (b), et supprimant le facteur h , comme k tous les termes , on aura Téqnation d'équilibre

P cos a + T! cos a' + F' cos a" + etc. = o.

En considérant successivement les mouvemens du corps parallèlement aux deux autres axes des coordonnées, on obtiendra de même les deux autres équations d'équilibre semblables à celle-là.

Nous pouvons aussi faire tourner le corps autour de l'un des axes des coordonnées. Pour former l'équation qui correspondra à ce mouvement , je représenterai les coordonnées des points M, M', M', etc., et les angles que font les directions des forces P , P', P*, etc., avec celles de ces coordonnées, par les mêmes lettres que dans le n^ 260. En supposant que la rotation ait lieu autour de Taxe des z, chacun de ces points décrira un arc de cercle parallèle au plan des

67S TRAITÉ DE IfÊCANIQUË.

X éijTf qui aura pour rayon la perpendiculaire abaû* sëe de ee poinl sur cet axe. De plus, par la nature dn corps solide , Tangle décrit par cette perpendiculaire sera le même pour tous ses points. Si donc on le suppose intinimenft petit, qu'on le désigne par o», et par r, t'y r^', etc. , les distances des points M, M', M'^, etc., à Taxe des z, on aura rco, r^û», r^'c», etc. , pour leurs vitesses virtuelles ; et en appelant aussi J^ J^9 J^'f ^tc, les angles aigus ou obtus que font les directions de ces vitesses avec celles des forces P , r', V", etc. , il en résultera

ptszT^cosJ", p' sss/m cos J"', />*== r^« cos J^*, etc.,

pour les projections de ces mêmes vitesses sur les di* rections de ces forces ou sur leurs prolongemens.

Soient, en outre, a, b^c, les angles compris entre la direction de la vitesse ro» et des parallèles aux axes des ûo ,jr ^ z, menées par le point M ; les mômes angles relatif à la direction de la force P étant a^C^y^ on aura

cos<r=cosacosa-f-cos 5 cos ^+cosccos y ;

mais à cause que la vitesst roo est tangente en M , aa cercle du rayon r qui a son centre dans Taxe des £, il est aisé de voir qu'on a

cos 6=3:-, cos a = 31 - , cos c = o »

et , par conséquent,

p = râ^coscT = =t(xcosff — ^'COSflt)a.

Ou aura de même

p' =: dz (x' cos S' — jr cos a')», p' z=z db {af cos S' — y cos a!') c$, etc.

Les signes dépendront du sens de la rotation ; et 1 on devra prendre, à la fois , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs ; en les substituant donc dans l'équation (1) et supprimant le hc" leur zha>, coaimun à tous les termes, nous aurons

/?(:rcos^-— ^cos (t)+p'(a:cos€' — -y cos a')-4-etc.ç=o.

Cette équation d'équilibre est celle des . moroens par rapport à Taxe des z, autour duquel le mouvement a eu lieu ; on obtiendra de la même manière les équations des momens par rapport aux axes des jo et des^, en faisant tourner successivement le corps solide autour de ces deux droites.

341 . On peut donner à l'équation (b) , une forme différente qui en rendra les applications plus faciles.

Pour cela , soient a:,jr, z, les coordonnées du point M dans sa position d'équilibre ; 0*+ J'jc, y + jy , z + J^z, ce qu'elles deviennent quand on transporte ce point matériel dans une position N infiniment voi* sine ; X , Y, Z , les composantes de la force P suivant les prolongemens des :v, jr, z, dans le sens positif; ces quantités infiniment petites eTx, jy, cfz, seront les projections de la vitesse virtuelle MN sur les directions de X , Y, Z ; et /? étant toujours sa projection sur là direction de P, on aura (n* 33 1)

Fp = XcTo: + YJ^r + Z/^^

68o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En désignant par les mêmes lettres avec des accens, les quantités analogues qui répondent aux points M', M'^^ etc. , on aura aussi

etc. ;

et si Ton ajoute ces équations et la précédente, on pourra écrire

Pp4.py + py + etc.= I(X;ir+Yitr+Z/i);

la somme 2 s'étendant à tous les points M, M\ Ml'p etc. f du système , et se composant , par conséquent, d'un nombre de parties semblables, égal à celui de ces points. De cette manière , Téquation (b) prendra la forme :

2(Xerar + YJjr 4. ZcTz) = o, (e)

qu'il s'agissait de lui donner.

Or, quelle que soit la liaison des points du système, on pejit toujours l'exprimer par une ou plusieurs équations entre leurs coordonnées. Soient donc L , L', L", etc., des fonctions données de a:, ^, z, j/, y, etc. , ou d'une partie de ces coordonnées; et supposons que ces équations soient

L = o, L' s= o, L" = o, etc. (/)

Les déplacemens simultanés de tous les points do système devant être compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti, il faudra que les coordonnées a:,jr,z, x'y y, etc. , de M , M', WT', etc. , et les coordonnées jc-f-cf jc, J-^r^ïf sj-f-cTz, x'-\'S^x\ etc..

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 68i

de N , N', W, etc. , satisfassent successivement à ces équations; par conséquent , en négligeant les infiniment petits du second ordre , nous aurons

f J^^ + f è-+ f J^z+Scrx'+etc.=o,

etc.

Si l'on change en même temps le sens des déplacemens de tous les points du système , les signes de cTj:, jy, J'z, J^x', etc., changeront tous à la fois, et ces équations seront encore satisfaites; en sorte que le mouvement infiniment petit auquel elles répondront, et le mouvement directement coiitraîre, sont également compatibles avec les conditions données, comme le suppose implicitement Ténoncé du principe des vitesses virtuelles (n** 35i).

Cela posé , au moyen de ces équations (g) , on éliminera, dans chaque cas, de l'équation (e), un nombre des quantités J'jCj S^y^ cfz, J^jcr', etc., égal à celui des équations (y) j celles de ces quantités qui resteront ensuite dans le premier membre de Téquation (e), seront indépendantes entre elles; on devra donc égaler séparément leurs coefficiens à zéro ; ce qui fournira toutes les équations d'équilibre du système , dont le nombre sera égal à trois fois celui des points matériels M, M', M'', etc., moins le nombre des équations (y). Lorsque les positions de ces points, c'est-à-dire, les valeurs de leurs coordonnées x^j^Zy x\ etc.,

tion de condition L= o , par cette force inconnue. De même, on pourra remplacer L'=z=o par une force f6| normale à la surface qui répond à cette équation ; L'' = o par une force /t«« normale à la surface correspondante; et ainsi de suite. Donc, en joignant à la force donnée P , ou à ses composantes X, Y, Z, ces forces normales f&, ft, , jEt», etc. , on pourra ensuite considérer le point M comme entièrement libre et isolé. Par conséquent, si Ton désigne par â, byC^ les angles que fait la direction de la force /u avec des parallèles aux axes des x^y^Zj menées par le point M; par a, , b^^ c^, les mêmes angles relatifs à ^ la forte |i, ; et ainsi de suite , nous aurons

H-jrfA cos a'\'fÂ^ cos a, +ft. cos a,+etc.=o, Y +A^co6 6+A^i cos 6, + /BAt cos 6«-|^etc.=o, Z +A* cos c +11, cos c,+jte» cos c» H-etc. = o,

pour les trois équations d'équilibre du point M. De plus, si Ion fait, pour abréger,

>.-v/(0+(l)+(sy-

etc. , on aura aussi , par les formules connues (n* a i).

i dL , i dL i dh

ces /ï = - j - , COS O = - -j- , COS C = - -r- ,

9 dx ¥ dj f dz ^

idV , I aL' I JL'

cosa,==— j— , cosa,= - 7—, cosc,=--T- • i ,, f»,dx' f.djr* ' f , Jz ' \ (A

COS a,= - -j- , COS ^,= - -=— , COS c,=- -3- ,

^x dx^ ■ v> dj' ■ », rfs '

etc. ;

ce qui changera les trois équations d'équilibre en celles-ci :

Y 4.^^ + ^^ + i!^^ + elc. = 0,

f dz * fi dz ' f^ dz *

Or^ en les cooiparant aux trois équations (g) avec lesquelles elles doivent être identiques , on en conclut

jtA = fA, a^, = v.X', fe, = v.A''. etc.

Ainsi , par rapport au point M , les forces provenant de sa liaison avec d'autres points du système, sont exprimées par les produits vÀ, , v.A', v^\", etc. ; ces forces devant être des quantités positives , on donnera aux radicaux V, v^, v^^ etc., les mêmes signes qu'aux quantités A , A', A'', etc. , et leurs directions seront complètement déterminées par les équations (e) .

Si Ton appelle de même fc^jw,', fCg', etc., les forces provenant de la. liaison du système, qui agissent sur le point M' et sont normales aux différentes surfaces

sur lesquelles il est obligé de se mouvoir, quand tous les autres points M, M'', M^'', etc., sont rendus fixes, on trouvera pareillement

,i! = /A, /^/ = l'/A', fi: = f/X", etc. ,

en faisant pour abréger,

etc.

* On obtiendra de même les expressions des forces relatives aux points M", M'", etc.

344* £>^ comparant les valeurs de fe et /jl', on a

/JLV^ =i fi'v ;

de sorte qu'elles sont entre elles comme les quantité V et /. Lors donc que deux points matériels M et M' sont liés entre eux, et, si l'on veut, a d'autres points en nombre quelconque , par une équation L = 0 , il en résulte, dans l'état d*équilibre, des forces /4 et /â! appliquées à M et M', dont les grandeurs sont entre elles comme v et v', et qui font avec les axes des coordonnées , des angles dont les cosinus sont

I dlj i dL i dL 7 dx' 7 ^ » 7 S '

pour la force ;<t, et

1 dL i dh i dL

?dP' »"^'' /5?'

pour la force /â!. Le sens et la grandeur de ces forces dépend du signe et de la grandeur d'une quantité A qui se déduit y dans chaque cas^ des équations d^équilibre.

La considération des surfaces sur lesquelles chacun des points d'un système conserve la liberté de se mouvoir, lorsque tous les autres sont supposés fixes, détermine les directions normales des forces provenant de la liaison de ces mobiles, pour chacune des équations par lesquelles cette liaison est exprimée (n* 2go); mais on n'en peut conclure aucun rapport entre les forces relatives à deux points matériels liés par une même équation ; et c'est le principe des vitesses virtuelles, ou les équations {h), {K)^ etc. , qu'on en a déduites , qui fait connaître ce rappoit à priori^ dans le cas de l'équilibre.

345. Pour donner une application de ces formules, reprenons l'exemple du polygone funiculaire que nous avons déjà considéré dans le § r*" du chapitre précédent ; et supposons que les points matériels M, M', M", etc. , soient les sommets successif de ce polygone.

Si Ton appelle /, /', T, etc. , les longueurs données des côtés MM', M'M", M"M^ etc., les équations (/), seront , dans ce cas,

L'= y/^x'^x'^)^My—ir+{^-^y—i=Of

etc. j

d où il résultera

dl dL X — x' dV^ dU jt' — x'

di~'^d7-^ '~ir'' dx"~'^d^'^~T~' ^^'' dh dL jr^y dV ., , dL' y— y .

^— ~^— / rdf- ^— r ' ^'^•'

dL àL z —z' dl^ dV z' — z"

di~~d/~ l * d£ ~ dz" — r ^ ^^^^

et toutes les autres différences partielles de L, L', L"y etc., qui entrent dans les formules précédentes, seront égales à zéro.

En considérant les deux points M et M', on aura

où Ton prendra les signes supérieurs ou inférieurs , selon que la valeur de A sera positive ou négative. On conclut de là et des équations précédentes, que lei; points M et M' seront sollicités par des forces égales et contraires, dirigées suivant la droite MM^ ou suivant ses prolongcmens , et dont la quantité A, abstractioQ faite du signe, sera la grandeur commune. Il en sera de même à l'égard des points M' et M", M"et M'^ etc.; en sorte que dans Tétat d'équilibre , les quantités A, A', a", etc., exprimeront les contractions ou les tensions des côtés successifs MM', MW, M"M*, elc Comme on aura , d'après les équations (i) ,

cosa==t — j — , cos6=±'^-j^, cosc==t — ~,

et qu'on devra prendre les signes supérieurs ou inférieurs, selon que la valeur de A sera positive ou né^ gative, on en conclut, par exemple, que la force ap-

pliquée au point M sera dirigée de M vers M', et ex* primera une contraction du côté MM', quand cette valeur sera négative ^ et que cette force agira dans le sens opposé et exprimera une tension , lorsque la valeur de X sera positive. L'un ou l'autre de ces deux cas sera possible , si les côtés du polygone sont des verges inflexibles, jointes par des charnières; et le second cas pourra seul avoir lieu , si les côtés sont des fils flexibles.

Les équations (h) , (hf), {h''), etc., pourront s'écrire

ainsi

Y — ^Cr^->r) ^ — j — ,

yi - ^(^^-^) ^l(fl— /) Z. -J j — j ,

Vf/ 1 ^'{y-y) y^'iy—y)

etc.

Les trois premières montrent que la tension A sera la résultante des forces X, Y, Z. En les ajoutant aux

trois suivantes, on aura

ce qui fait voir que la tension A' sera la résultante de X', Y', Z', et des forces X, Y, Z, transportées au point M', parallèlement à elles-mêmes. En continuant de même, on aura pour la tension d'un côte quelconque la même valeur que dans le n"* 28J.

Le nombre des sommets M , M', M!', etc. , étant désigné par n, celui des équations précédentes sera 3n, et celui des tensions A, A', A", etc., égal a n — I. En éliminant ces quantités, on aura donc 272 -|<- I équations d'équilibre, lesquelles, jointes aux 71—1 longueurs données /, /', Z", etc. , des côtés du polygone, suffiront pour déterminer les 372 coordonnées de ses sommets, et, par conséquent, sa figure d'équilibre. Mais ce calcul n'aurait aucune utilité; et il yaut mieux, comme nous l'ayons fait dans le n^ :286, tracer successivement les côtés du polygone funiculaire , d'après les grandeurs et les directions données qui agissent à ses differens sommets.

346. Dans le cas d'un système quelconque de points matériels M , M', M", etc. , si les forces données, qui sont appliquées à ces points, proviennent de leurs attractions ou répulsions mutuelles, et de forces semblables qui émanent d'un ou plusieurs centres 1

on aura

:L(S.da:+Ydjr'{'Zdz)=^dç{x,jr, z, x'^f^ z', etc.);

(p désignant une fonction donnée des coordonnées de M y Wy M''y etc. y dépendante de la loi de ces forces par rapport aux distances.

En effet , à Fégard des forces provenant des centres fixes, cela résulte de ce qu'on a vu dans le n"* i58. Supposons, en outre, que U exprime Faction mutuelle de M et M\ qui sera attractive, pour fixer les idées. Soit aussi u leur distance mutuelle , de sorte que U soit une fonction donnée de 1^, et qu'on ait

u^ = {af — xY + (/ —ff + {7! — zy.

Les cosinus des angles que fait la droite MM' avec des droites menées par le point M, suivant les directions des x,jr^ z, positives, seront

en*les multipliant par U, on aura les composantes de cette force appliquée au point M et dirigée suivant MW. Celles de la même force U, appliquée au point M' suivant la direction M'M, seront égales et contraires; et de là on conclut

^[(a:^-x) {dx^dx') + {jr'—jr) (dr—dy) + (z'^z) {dz^d2f)l

pour la partie de la somme 2 qui provient de l'action et de la réaction de M et M'. Or, en différentiant la valeur de u*, on a

ce qui réduit la quantité précédente à — IJduy c'està-dire, à la différentielle d'une fonction de u. Il en sera de même pour les parties de la somme Z proYenant des actions mutuelles des autres points du système; par conséquent, sa valeur entière se composera de tei^mes qui seront tous des différentielles exactes , et cette valeur sera aussi la différentielle d'une fonction donnée des coordonnées de tous ces points.

En vertu de l'équation (é), cette fonction, que nous représentons par ^, sera un maximum ou ua minimum, relativement aux valeurs des coordonnées qui répondent à une position d'équilibre du système; et, réciproquement, si Ton détermine le maximian ou le minimum de la fonction ^ , en ayant égard aux équations {f) qui peuvent être données entre les coordonnées, les valeurs qu'on obtiendra pour ces variables répondront à des positions d'équilibre.

On conclut de là que quand le système des points M, M', M", etc., est en mouvement, de sorte que leurs coordonnées , et, par suite, la quantité ^, soient des fonctions du temps, cette fonction (p atteindra son maoci" mum ou son minimum, toutes les fois que le système passera dans une position où il resterait en équilibres si les points qui le composent n'avaient pas de vitesses acquises.

347* n y aura entre le maximum et le minimum de la quantité ^ une différence essentielle, à laquelle ii importe d'avoir égard, et que nous allons expliquer.

On dit que Tétatd équilibre d'un corps on d'un sys-

tème de corps est ^/a&/e^lorsqu*en écartant un tant soit peu ces mobiles de leurs positions, ils tendent à y revenir, en faisant de petites oscillations que les frottemens et les résistances des milieux finissent toujours par éteindre ou rendre insensibles. L'équilibre est non stable ou instantané, lorsque le corps ou le système de corps qui est dans cet état, tend de plus en plus à s'en éloigner , et finit par chas^irer, dès K{\xovl l'en a un peu écarté. En ne supposant aucun frottement qui puisse, jusqu'à un certain point, retenir les corps dans leurs positions, ce second état d'équilibre est un cas purement mathématique, qu'on ne saurait jamais observer, puisque la moindre force perturbatrice suffirait pour le détruire.

Cela posé, les équations fournies par le principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la même chose, par la condition du maximum ou du minimum de la fonction ^, sont communes à ces deux états; mais le maximum, convient à la stabilité, et le minimum à l'équilibre instantané; et c'est, en effet, ce que nous ferons voir dans un autre chapitre , où nous considérerons la nature du mouvement qui a lieu lorsqu'un système de points matériels a été très peu écarté d'un état d'équilibre quelconque. En attendant , nous allons donner des exemples de ces deux états d'équilibre dans le cas d'un système de corps pesans, et faire connaître d'abord une propriété de son centre de gravité.

348. Supposons donc que la pesanteur soit la seule force appliquée aux points M, M', M'^, etc., lesquels seront les centres de gravité de corps dont nous

représenterons les poids par ^29-, ^, ^\ etc. En prenant la pesanteur yerticale et dirigée dans le sens de cette force, nous aurons

Z = ^, Z' = m^\ 71' = «•", etc.;

les autres composantes seront toutes nuUes, et il eo résultera

d^ = rtsrdz + ^'(b! + ns^dJ -|- etc.

Mais en appelant n la somme des poids «o*, ^^ 4/, etc., et z, lordonnée de leur centre de gravité, verticale et dirigée dans le sens de la pesanteur, on a aussi (n^ 64)

riz, = nstz 4- 'S'V + ^V + etc.;

on aura donc

rflp =s ricfe, , ç = c -f- riz, ;

c étant une constante arbitraire.

Or, on conclut de là, i"*. que l'ordonnée z, est la quantité qui devra être un maximum ou un miminum, lorsque le système sera en équilibre , et réciproquement ; 2''. que le maximum de z, répondra au cas de réquilibre stable, et son minimum au cas de l'équilibre instantané.

Ainsi , la condition d'équilibre d'un système quelconque de corps pesans , consiste en ce que le centre de gravité du système entier soit le plus bas ou le plus haut possible ; le plus bas quand l'équilibre est staUe, et le plus haut quand il n'est qu'instantané.

349. D'après ce théorème, si une chaîne pesante , attachée par ses deux bouts à des points fixes, est en

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 695

équilibre, son centre de gravité sera le plus bas possible; ce qui s'accorde ayec le résultat du n*" 296.

Si un point matériel pesant est posé sur une courbe, et qu'en plusieurs points la tangente soit horizontale, rordonnée verticale du mobile , comptée dans le sens de la pesanteur, sera un maximum dans ceux de ces points où la courbe est concave par en haut, et un minimum dans ceux où elle tourne sa concavité par en bas; par conséquent, les premiers seront des positions d'équilibre stable , et les derniers des pasitions d'équilibre instantané.

Si Ion pose un ellipsoïde homogène et pesant, sur un plan fixe horizontal , son centre de gravité, ou de figure, sera le plus bas possible lorsque l'ellipsoïde touchera le plan fixe par l'une des deux extrémités du plus petit de ses trois axes ; et alors l'équilibre sera stable. Quand il le touchera par l'une des extrémités du plus grand de ses trois axes, son centre de gravité sera le plus haut possible ; et l'équilibre ne sera qu'instantané. Enfin , si le point de contact est une extrémité de l'axe moyen , l'élévation du centre de gravité sera un minimum pour une partie des sections du corps , et un maximum pour les autres sections ; par conséquent , l'équilibre sera stable ou non stable , selon que les déplacemens auront lieu dans le sens des premières sections ou dans le sens des dernières* Tout cela étant évident, à priori, peut servir de vérification au théorème du numéro précédent.

Supposons encore quW ait versé dans un vase deux liquides homogènes et pesans. Si la surface de séparation et celle qui termine le liquide supé-

6g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

rieur sont toutes deux horizontales, et que ce li*ij quide soit celui qui a la moindre densité , le centre' de gravité de ces deux liquides sera le plus bas po»* sible ; car il est aisé de voir qu'en inclinant ou coupbant lune ou Tautre des deux surfaces, on élevert toujours le centre de gravité du système. Ces deux surfaces étant toujours horizontales , si le liquide k moins dense est au-dessous de l'autre , on verra de même que le centre de gravité du système sera W plus haut possible. Par conséquent , pour l'équilibre de deux liquides superposés , il est nécessaire et il suffit que chacun d'eux soit terminé par un plan horizontal; mais, pour la stabilité, il faut, de plus, que ce soit le liquide le plus dense qui occupe la partie inférieure du vase. Quand la différence des deux densités est peu considérable » il est possible, avec beaucoup de précaution , de faire surnager k liquide le plus dense ; mais cet équilibre non stabk ne peut se maintenir assez de temps ^ pour être observé , qu'à raison du frottement des deux liquides contre les parois du vase.

FIN DU PEEMIER YOLUME.

Pu,. 12.

^^..•fe.

/■,y.:i:i. fv->4-

n,.:ia. fïv.'i.v- .

/'if. 64.

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