I -f- aZ^'cos/iO

la somme Z s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier tx, depuis zi = i jusqu'à 12= oo . Quelles que soient la fonction yiB et la constante réelle «, on aoa

644 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

donc aussi

Soit g une quantité positive et infiniment petite; cette équation subsistera encore en y faisant A= i— g, puisqu'elle a lieu pour toute valeur de h moindre que l'unité. Pour toutes les valeurs finies de 71 • on aura

pour des valeurs infinies de cet exposant, A* pourra différer de l'unité , mais en intégrant par partie , on a

'f^nft~~vt)di=iji sin !•(♦-«) - Ij'^ sin h(9— «yj;

en sorte que siy*8 ne devient point infinie, entre les li* mites 8 = o et 8 s'Tr, ni pour ces limites, Tint^pide

f y 6 cos /i (6 — a )rf6 , qui multiplie A', s'évanouira

pour 71 = 00 ; d'où il résulte qu'on pourra toujours remplacer h" par l'unité sous le signe Z. Au numérateur de la fraction comprise sous le signe y*, on aura I — A* = 2g, en négligeant g* par rapport à ag; dans le second terme du dénominateur , on pourra mettre l'unité au lieu de A ou i -— g ; et , de cette manière, nous aurons

Le ooeflgcient de d^ sous cette dernière intégrale jest infiniment petit, excepté pour les valeurs de (

infiniment peu ^ijBféreptesL de a^qw reoflén^ «on Dominateur infiniment petit ; cette intégrale est infiniment petite ou nulle^ tant '(|ue la différence 8 — CL est une quantité finie ; ce qui aura lieu dans toute l'étendue de l'intégration , lorsquVm 6ViFf>pds^^ eL<C o, ou a"^ tt; donc toutes les fois que la constante a tombera en dehors des )imJîtèiB'iéraià| ^^,.on aura Téqnation

Si, a^ contraire, on a. a >.;9:.,çt < ar, ^ y aura des valeurs dé 6 qui différeront infiniment jijBa de et; en faisant donc . , : r ^

^ > . . ■ l J ■ tk S.

rintégrale dont il s'agit s'évanouira encore ;ppur If^ valeurs finies de u, mais xtçn plu3.pouj: Jcif val(ep($ infiniment petites de cette variab}ej,^ppçitiyps^u.nér gatives; à l'égard de celles-ci, on aura

/0«>, «nfC9-i-di.).iàTà;

par consëcpieat^ le second membre âeVéquatioa~(i) devient

lorsque a tombe entre zéro et ^ar. (Jr, cette intégrale étant nulle pour toute valeur de u quii n'est poifai infiniment petite, nous pouvons maintenant l'étendre, sans en altérer la valeur , à des valeurs quelconques de u, positives on négatives, et la prendre, si pous

646 TRAITS DE BfÉGANIQUE.

yonloDS, depuis ii ss — oo jusqu'à i^= oo : on aun

alors

/• gàu

et finalement

\fy^+^J^f^ COS 71 (6 — ct>» = ^. (5)

Ce raisonnement conviendra encore au cas où a coïncide avec une des deux limites zéro ou ^; mais si Ton a a= o, on ne pourra donner à u que des valeurs positives ^ et seulement des valeurs négatives, si Ton 9l (tz=±nCf afin que dans ces deux cas^ la variable 9 qu'on a faite égale à «t-f- u , ne sorte pas des limites de Fintégration. De cette manière, rintégrale relative à i£ se trouvera réduite à la moitié àt sa valeur, où à {tt; et si Ton repr^nte par £ et 7 les valeurs de fa qui répondent à oc = o et « c=7r, il en résultera

Maintenant âiisons et soit aussi

La quantité a: étant positive et moindre que la cous-

tante a, mettons à la place de a, dans l'équation (2) et — dans Téquatiôn (3) ; en observant que les limites relatives à x^ seront zéro et a, nous aurons

— / çx dx + - X I ^x CO8 — ^ dxr r= o ,

— / ^xdx -I S / ÇX COS ^ -dx r=: ^x ;

liaj o a J o a

et en retranchant ces deux équations lune de l'autre, il vient

- 2 f / (px sm dx'y sin = ^x ;

ce qu'il s'agissait de trouver.

326. Cette formule représente les valeurs de la fonction (px, pour toutes les valeurs de la variable X, qui sont positives et moindres que a, et même pour xz=Q et j: = a, lorsque (px sera nulle pour ces valeurs extrêmes^. Il est important d'observer que la série indiquée par S, finira toujours par être convergente; car pour de très grandes valeurs de 71, l'intégrale relative à o:' deviendra une très petite quantité, qui diminuera de plus en plus à mesure que 71 augmentera, et qui sera tout-à^fait nulle pour n = 00 9 comme on l'a vu plus haut au moyen de l'intégration par partie. Cette remarque est nécessaire et suffit pour justifier l'emploi qu'on fera de la formule précédente.

Les difTérentes formules par lesquelles on peut ainsi représenter en séries de quantités périodiques, toujours convergentes, des portions de fonctions arbi-

traires continues ou discontennes^ se dédaisent des équations (5), que nous venons d'établir. Je me contenterai de donner ici deux de ces formules , qui nous seront utiles dans la suite ; pour de plus grands développemens sur cette matière, je renverrai à mes Mémoires sur le Calcul intégral^ qui font partie du Journal de F École Polytechnique, et où l'on trouvera une théorie complète de ce genre de transfor^ mations.

Après avoir ajouté les équations (5) et retranché la première de la seconde, j'y mets al au lieu de /i, puis jc-f-/etj/+/àla place de x et a:% et ensuite ça: et Çx' au lieu de ç(x -j- /) et ?(j/+ Z) ; les limites des intégrales relatives à x^ deviennent db /, et ces équations sont remplacées par celles^i :

Partageons chaque somme 2 en deux autres, dont l'une se rapporte aux nombres n pairs, et l'autre aux nombres n impairs. Pour cela, soit i un nomlnne entier quelconque ; et faisons successivement nsez ai, 71 ss 21 -— I ; nous aurons

C08 ^-^ i=(,)lc08-y-, Sin ^^-!' =(, )%„!,

"^^^ n =(-0'sin-^,siii ^ 4=^.,)W-/

et de même pour les sinus et cosinus compris sous

les signes A par conséquent , on aura

pj:= j 2 ^y ^^^j: 8in -j- £/a: j sm -y-

les sommes 2 s'ëtendant à toutes les valeurs de i, depuis £=1 jusqu'à 1 = 00. Ces équations auront lieu pour toutes les valeurs de jc qui seront comprises entre les limites dz L

Cela posé, si la fonction çx est telle que l'on ait (p (— x) = — ça: , il en résultera

^xdafsso^ I ^xcog-j-dir:=o, / fxcos^ j — aar=s;:o,

et, en outre ,

r' ça/sin "^ e£a/s=: a y yx^sin^^^*"' d!a/;

au moyen de quoi la seconde équation (6) coïncidera avec la formule (a), en y changeant a en Z; et la première se réduira à

^x=f2(/>..'sinfcîlH:^>ia^'l. (7)

Si , au contraire, la fonction çx est telle que l'on ait

(p (— jt) = Çx, on aura

65o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

(px' sm ^ j — alr'== o , / ^fix sin -y-ox = 0;

et les autres intégrales pourront s'étendre seulement depuis X = o jusqu'à x=:l, en doublant les résultats. La seconde équation (6) rentrera dans Téqualion (7), en y mettant / — x an lieu de j?, et Çxï la place àe (p(l — x). La première équation (6) deviendra

(px:=2jf (px'dx'+^^(f ^jc'cos— ^cîr'Jcos^.(8)

Ces formules (7) et (8) représenteront les valeurs de ÇXf depuis a: = o jusqu'à jc = Z ; celles qui s'en déduiront, en les différentiant par rapport à a:, exprimeront, dans le même intervalle, les valeurs

de -j-. La formule (7) suppose ^x = o pour ar=o, et -^zzzzo quand x=^l; la formule (8) exige que

l'on ait ^— = o pour or = o et pour x=L Lorsque

ces conditions ne sont pas remplies, ces formules ou leurs différentielles n'ont pas lieu pour les valeurs extrêmes de X.

327. Réciproquement, les formules de ce genre font connaître les sommes des nombreuses séries périodiques que l'on a obtenues par différens moyens. Ainsi , par exemple^ pour en déduire la somme de la série dont on a fait usage dans le n** 324 » j*^' joute les équations (2) et (5), après avoir mis — 1 à la place de a dans la première; il en résulte

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 65i

f'f^ + a2 {f'jO cos n m) cos n* = wjct. Je prends ensuite yd = â ; on a alors ■

fJ/Bcosnm

COS nw — I

quantité ntdle pour t(ràs les nombres pairs , et égale à — . pojxv n =: ai — i . L'équation précédente devient donc

(2/ -*-!)* ÎT

la somûie" Z s'étendant à toutes l'es valeurs du nombre entier i, depuis / = i jusqu'à f = 00 .

En multipliant pare/a et intégrant, on en déduit

^8in(2i— i)tf «•, .

2r — j—, Tj — — 5 \pr — et) et»

On n'ajoute pas de constante arbitraire, parce que les deux membres de cette équation sont nuls, soit pour a:^o, soit pour a=;7r; en sorte que cett^ équation a lieu pour toutes les valeurs de a, depuis ct=:o jusqu'à tt = ^ inclusivement. Si l'on ^ fait asrs-r'Tr + â>, on aura

sin (^i — i) a 2= — (— ^ i)'cos fi/'-^ 1) û? ,

ety par conséquent,

(— 0' cos (at— !)«> __'/„.> .\

depuis o) = — i^ jusqu'à « = 7^. Je multiplie par dm et j^atègre de nouveaa; il en résulte

ce qu'il s'agissait d'obtenir.

328. Si l'on met 2a au lieu de a , et ensuite a/+^ et or + a à la place de x et x\ dans la seconde équation (5), et qu'on fesse ^ (a -f- jc) =s Fx , on aura

pour toutes les valeurs, de X comprises entre db a. En faisant

. w. __^ nsr

cette équation pourra s'écrire ainsi :

fx = -±.J^2j^a:'dx'+ '^l,]^f2jx'cosu(x'—x)y

u étant un multiple de €, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de u , depuis u z^ i jusqu'à 2^ = 00. Or, si la constante a devient infinie , la différence € des valeurs consécutives de u deviendra infiniment petite , et la somme 2 se changera en une intégrale prise depuis !<=€, ou ii:=o, jusqu'à uz=zço. En feisant donc a =00 et e^zdu^ mettant le signe f au lieu de 2 , et supprimant le premier ternie de la formule précédente^ nous au-

rons

Fourier a donné le premier cette formule importante , qui s'étend à toutes les valeurs réelles , positives ou négatives, de la variable x, e\ convient, comme les précédentes , dont elle se déduit , à une fonction quelconque Fx, continue ou discontinue.