V. = ^* — ^^k cos cT + a» ; d'où il résulte

i 2m(A:* — k;) = a Imk cos / — f a»2m , 7 2m(i^* — i^/) = a 2m<^ cos £ — \a^lm ;

ce qui change l'équation (n) en celles:! ,

HmkcosS' — 2mf cos e + n^cos « = /Qcfc, (o)

après qu'on a supprimé le facteur a comipun à tous ses termes*

Les sommes Hmk cos cT et 2m(>cos € expriment, au commencement et à la fin du temps t, les quantités de mouvement de tous^les points du système , dans le sens perpendiculaire au plan donné; le produit n^ cos a est la quantité de mouvement produite suivant la même direction par le poids II du système , pendant la durée du temps ^ ; et l'intégrale fQdt est la quantité de mouvement détruite pendant ce temps par la résistance du plan donné. Or, il est évident que cette dernière quantité doit être égale à l'excès de la première somme sur la seconde, aug-* mente de la quantité 11^ cos et ; en sorte que l'équation précédente, qui exprime cette égalité, peut être regardée comme une vérificatipn de notre analyse.

695. Lorsque la vitesse k de chaque point du système se changera brusquement dans la vitesse (^, l'action du système sur le plan Ékmé sera une percussion ; pendant sa durée très TOurte , on pourra

négliger l'efTetn^ coset de la pesanteur; et la quantité de mouvement détruit^ par le plan sera Texcès de 2mAcosJ^6ur2mi.co^€.

Si le système est un corps solide situé au-dessus du plan , et qui demeure juxta-po^ à sa surface après le choc y la composante (^cos£.de la vitesse inséra la mème^ à cet instant^ pour tous les points du corps ^ et égale à la constante a; en différentiànt Téquation (o) par rapport à ^^ on aura donc

n cos a ^= Q ;

et y en effet ^ la Vitesse du plan étant invariable ^ par hypothèse , il faut que sa résistance détruise incessamment les accélérations de la gravité , qui auraient lieu perpendiculairement à sa surface ; il faut donc que cette force soit égale et contraire à la composante du poids n suivant cette direction ^ et que la pression Q soit égale à cette composante.

.On peut remarquer que, quand 1 angle ot est obtus, la valeur précédente de Q a le signe — • Mais on a supposé plus haut que la pression exercée sur ce plan était dirigée dans le sens de la vitesse a; et, si le contraire avait lieu, il faudrait changer le signe de Q dans toutes les équations précédentes. Or, la pression Q s'exerce effectivement en sens contraire de la vitesse a, lorsque langle a est obtus; la valeur de Q est donc alors — n cos a , ou, autrement dit , cette valeur est toujours II cos et, abstraction faite du signe.

6y6. L*équation (o),. évidente en elle-même, peut

servir à déterminer la pression d'une veine flaidc en mouTeneot sur un plan ÂQ ( fig. 57), animé de li vitesse (9 perpendiculaire à ce plan, et dont la direction fait, arec celle de la pesanteur^ un angle a.

Pour fixer les idées , supposons que le liquidé sorte d'un vase par un orifice horizontal , et qu'il forme , au-dessous de la contraction de la veine (n* 676) , un cylindre vertical dont tous les points ont une vitesse commune et verticale, que nous désignerons par y. Supposons aussi que le niveau du liquide soit entretenu à une hauteur constante dans le vase; ce qui rendra la vitesse y indépendante du temps.

Jusqu'à une section horizontale CD^ faite à use petite distance au-dessus du plan AB , la veine coaservera sa forme cylindrique et sa vitesse y \ elle s'étendra ensuite sur ce plan , et finira par le deltorder. Au bout d'un certain temps, le fluide parviendra à un état permanent , dans lequel la vitesse de chaque molécule ne dépendra plus que du lieu . qu'elle occupe, et où la pression en un point quelconque du plan AB sera aussi indépendante da temps. C'est dans cet état qu'il s'agira de déterminer la pression totale Q, exercée'sur la sur&ce entière du plan.

La partie de cette pression due au poids da liquide, sera la composante de ce poids , perpeadlcolaire au plan AB , défalcation faite de la partie de ce même poids, qui est soutenue par les parois du vase d'où le liquide s'écoule. Comme il sera toujours facile d'y avoir égard, dans chaque cas particolier,

nous en ferons abstraction ^ et nous ferons , en con<séquence, IIsso^ dans Fëquation (o). Il est évident qu'on pourra aussi p dans les sommes 2mk cos S" et Xnw cos 6 j ne pas tenir compte des molécules du li-. quide situées au-dessus de CD, puisqu'elles conservent toujours la même vitesse, ce qui fait disparaître la différence de ces deax sommes. Enfin , si le diamètre de la veine fluide est très petit, l'épaisseur de la couche liquide sera aussi très petite, à une petite distance autour de l'axe de la veine. A cette distance ; les vitesses relatives des points de la couche seront sensiblement parallèles au plan AB, dans toute l'épaisseur de la couche, ou, ce ^ui est la même chose , leurs composantes perpendiculaires à ce plan seront égales à a. De plus, cette partie du fluide comprise entre AB et CD sera beaucoup plus considérable que la partie voisine de l'axe de la veine, si la surface du pkn AB est très grande par rapport à la section CD ; on pourra donc alors prendre a, sans erreur sensible, pour la composante i^ cos € de la vitesse i^ de chaque point du fluide contenu entre AB et CD.

Cela, posé , soit C^D' une autre section de la veine fluide, faite au-dessus de CD, et telle que le volume compris entre CD et C^D' soit équivalent au volume de fluide compris entre AB et CD. Appelons 0 le temps que le premier volume du liquide emploie à traverser la section CD et à se changer dans le secobd volume. Supposons que lés sonmies 2mk cos S" et Zmt^cos €, de 1 équation (o), étendues à tous les points du second volume, se rapportent au commencement et à la fin

du temps ô. Au 1

étaient situes au-dessu)

qaemment , une vitesse^

la vitesse a ; pour ud

donc

A la fÎQ du temps ( dire.

on a, comme 1

pour un -point quelconque m du liquide contenu entre AB et CD. Si donc on appelle jti la niasse de ce liquide^ il en résultera

"S-mk cos ^ — SiRL* cos £ = /* (5^ cos a. — a).

D'ailleurs , la pression Q étant constante , l'intégrale ff^dt est égale au produit Qô , pour la durée du temps 9 ; d'après l'équation (o) , nous aurons donc ^^B

f*.{y cos a. — a) = Q9. ^^I

Soit n le nombre de fois que le temps fl est contenu clans un temps t quelconque ; ïift sera la masse du liquide qui traversera la section CD pendant le temps t. Mais cette masse sera aussi '/:cj(, en appelant p la densité du liquide , c l'aire de la section CD , et observant que y est la vitesse constante de l'écoulement à travers celte seclion; ou aura»

par conséquent ,

Tifi, = fcyt ;

si l'on multiplie 1 équation précédente par n, que Ton y sulwtitue cette valeur de rifA , et qu'on supprime ensuite le facteur/, commun à tous ses termes^ on a tioalemeut

Q ^ fcy ( y cos a — a) ,

pour la valeur de la pression qu'on se proposait de déterminer.

On devra se rappeler que celte formule suppose l'angle a aigu ; quand il sera obtus , il faudra , comme on l'a dît plus haut , changer le signe de Q; en sorte

que

l'on aura alors

Q == fcy{y cos a -f- a).

Ces deux expressions de Q supposent aussi que le plan AB est entièrement recouvert par la veine fluide épanouie sur sa surface; ce qui exige que a ne soit pa^ un angle droit, et, qu'en général, il s'écarle sensiblement de 90°. Quand le mouvement du plan est vertical, on a a=o, ou *= 180°, et, conséquemment ,

Q = fo(> =F «);

le signe supérieur ayant lieu lorsque le plan se meut dans le sens de la pesanteur, et le signe inférieur dans le cas contraire. Si l'on a rt=:o, ,et que y soil

la vitesse due à la hauteur h, et g la graTÎté, on * aura

Q == 3gfch ;

en sorte que la pression Q sera ^ dans ce cas, lé poids d'une portion de la veine cylindrique égale en longueur k h.