Prenons actuellement

de manière que les déplacemens des points du sy8<* tème que suppose 1 équation (A), soient leurs déplacemens relatifs. Désignons par d^p^ dju,^ djs^ les projections des ^déplacemens relatifs des points où sont appliquées les forces P, U, F, sur leurs directions. Les valeurs âasi S'pf iïif ds^ qui répondent à celles de cTx ^ Jy, S'T^ , que nous employons ^ seront dj^ , djbi^dfi. De plus, les autres parties dx^ dfjr, dz^ des diiférentielles totales dx,dj, dz, n'influant pas, par hypothèse, sur les distances mutuelles des points du système, cTrse changera dans la différentielle dr, comme dans le numéro précédent. L'équation (h) deviendra donc

= XPd^p ± 2lWr + ^a>\]d/i — 2û)Frf^^. )

Si Ton appelle i^^ la vitesse relative du point m,, dont

• ' dx djy d z

les composantes sont -^ > "jf > "^ > ^" ^^^^

et, en différentiant ,

En vertu des équations (/) , on aura donc

D ailleurs y si Fon metrf/c, d^y^d^z^ dans l'exprèssioQ de ^u du n® 690 , pour avoir celle de dju, , on aura

quantité nulle , en vertu de l'équation (g). Au moyen de ces valeurs , l'équation (A:) prendra la forme

= SSdiP de 2lWr — lotEd^s ; et t en intégrant , il en résaltera

A:^ «étant la valeur initiale de v^^ et les intégrales corn* mençant à l'origine du mouvement.

693. Cette équation (/) fera connaître l'accroisse-* ment , pendant le temps t, de la demi-somme des forces vives • dues aux vitesses relatives de tous les points du système. ^

En faisant directeifaent dans la formule générale du n* 55i y l'hypothèse qui nous a conduits à lequatioh (Z) . c'est-à-dire , en y mettant d/jc , d^ jr^ d^z ^ au lieu ue S'Xp S^y^ iz^ on aura

ou bien , d'après ce qui précède, 7 d. mv*

la somme Z du second membre s'ëtendant à toutes les forces qui agissent sur les points du système, excepté les forces provenant des résistances normales des surfkces fixes ou mobiles, que les valeurs prises pour S'œ, jy, cT^i ont la propriété de faire disparaître. Or, si l'on appelle H la force dont les trois ccyciposantes sont

et d^h la projection du déplacement relatif de son point d'application sur sa direction , on aura

^m(Z — ^)d,z^±:Edfi,

selon que cette projection d^h tombera sur la direc* tion même de la force H , ou sur son prolongement. Donc, en conservant H et d/i dans le premier cas, et employant L et d^l dans le second, on en conclura

la somme lUdfi s'ëtendant à toutes les forceb mou-

Tantes da système , et la somme 2Lt// à toutes les forces résistantes.

Cette dernière éqaation n'est autre chose que l'équation (/) présentée sous une forme différente. En la comparant à l'équation (d), on voit que le principe des forces vives a encore lieu à l'égard des vitesses relatives des points du système , telles qu'elles ont «té définies dans le n® 689 , pourvu que l'on remplace les forces données P et Q » par d'autres forces'H et L y qui dépendent des premières et du mouvement commun du système.

Ce théorème est dû à M. Corîolis. Il peut être employé utilement dans beaucoup de questions étrangères à ce traité de Mécanique rationnelle^ et pour lesquelles nous renverrons au mémoire de l'auteur sur le principe des forces visses dans les mous^emens relatifs des machines (*).*

694* Le terme flKdr, qui provient des forces moléculaires , est le même dans les deux équations (/) et (/); le plus souvent , le terme qui répond aux frottemens est aussi le même dans le mouvement absolu et dans le mouvement relatif du système ^ et ne change pas^ par conséquent , en passant d'une équation à l'autre; alors, en retranchant la seconde de ces équations de la première, on aura -

O Journal de V École Polytechnique, ai* cahier.

Si les forces P se réduisent aux poids des différentes parties du système ; que Ton appelle fl le poids total , et Ç' la hauteur verticale que décrit son centre de gravité pendant le temps t, dans le mouvement commun à tous ses points, U est aisé de voir que l'on aura aussi

f:EV(dp - djp) = nç'.

De plus, s'il n'y a qu'une seule sur&ce résistante, «t qiie ce soit, par exemple, un plan qui se meut parallèlement à lui-même , on pourra prendre , pour le mouvement commun du système, le mouvement donné de ce plan , car il satisfait aux deux conditions du n'^ôSg : il ne changera pas les distances mutuelles des points du système , et il n'empêchera paa les points qui sont en contact avec ce plan mobile, de demeurer à sa surface. D'ailleurs, il ^st.évident que ce mouvement étant perpendiculaire au plan mobile , il n'influera aucunement sur les vitesses relatives des points qui glissent sur ce plan , non plus que sur Içs trajectoires qu'ils y décrivent; d'où il résulte que le travail résistant du au frottement contre ce plan, sera la même dans le mouvement absolu et dans le mouvement relatif, comme le suppose l'équation (m).

Pour simplifier encore cette équation , je suppose que le mouvement du plan résistant soit uniforme ; en sorte que tous ses points décrivent des perpendiculaires à sa position initiale, avec une vitesse commune, qui sera rendue, par un moyen quelconque, invariable et indépendante de l'action du système sur ce plan. Ses composantes m', t/, u^, seront con^-

tantes, et Ton aura

En désignant cette vitesse par Uy et par ot Tangle que sa direction fait avec celle de la pesanteur, on aura aussi

Ç' = atcosa.

Soit, en outre, Qla pression exercée, au bout du temps t , sur la surface entière du pian donné,' et dans le sens de la vitesse a. Le travail résistant qui répond à cette force prise en sens contraire de sa direc* tion, c'est-à-dire, à la résistance du plan, sera — Jl^adê, pendant la durée du temps t , en supposant que l'intégrale s'évanouisse avec cette variable. En faisant passer le facteur a enMehors du signe /y nous aurons donc

JlœMdu = — o/Qrf/,

pour la valeur du dernier terme de l'équation (m) , laquelle deviendra

La vitesse 9^ est la résultante de m et de la vitesse a prise en sens contraire de sa direction; si donc, on représente par €, l'angle que fait la direction de la vitesse \^ avec celle de ^i, on aura

et si Ton désigne par «T la valeur initiale de é, on

aura de même