TRAITÉ

1. La matière est tout ce qui peut affecter nos sens dune manière quelconque.

Les corps sont des portions de matière limitées en tous sens, et qui ont, par conséquent, une forme et nu volume déterminés. On appelle masse d'un corps, la (jnantité de matière dont il est composé.

Un point matériel est un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions ; en sorte que la longueur de toute ligne comprise dans son intérieur, est infiniment petite, c'est-à-dire, moindre que toute longueur qu'on puisse assigner. On peut regarder un corps de dimensions finies, comme un assemblage d'une infinité de points matériels, et sa masse comme * la somme de toutes leurs masses infiniment petites.

2. Un corps est en mouvement, lorsque ce corps ou ses parties occupent successivement différens lieux dans l'espace* Mais Yespace étant infini et partout identique, nous ne pouvons juger de l'état de mouvement ou de repos d'un corps, qu'en le comparant à d'autres corps ou à nous-mêmes; et, pour

cette raison, tous les niouyeniens que nous observons sont nécessairement des mouvemens relatifs.

Tous les corps sont mobiles; tnAîs la matière ne se meut jamais spontanément; car il n^y aurait pas de raison pour qu'un point matériel se dirigeât plutôt d'un côté que de l'autre j et, en effets si nous considérons un corps à l'instant où il passe de letat de repos à l'état de mouvement, nous reconnaissons toujours que ce changement est dû à l'action d'une cause étrangère ou sans laquelle nous concevons que ce corps pourrait d'ailleurs exister.

On donne, en général, le nom Aé force à la cause quelconque qui met un corps étl mouvement, ou seulement qui tend à le mouvoir, lorsque son effet est suspendu ou empêché par une autre cause.

3. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à la fois à un mêrtie corps, elles se modifient réciproquement, en vertu de la liaison qui existe entre ses parties, lèt qui les empêche de prendre le mouvement que tend à imprimer à chacune d'elles, la force à latjuelle elle est soumise. Il peut même arriver que ces forces se détruisent complètement, de sorte que le corps ne prenne aucun mouvement : on appelle équilibre cet état particulier d'un knobile, qui reste en repos quoiqu'il soit sollicité par plusieurs forces, ou autrement, on dit que ces forces ^e font équilibre.

La Mécanique est la science qui traite de l'équilibre et du mouvement des corps. La partie dont le but est, en général , de découvrir les conditions de l'équilibre, se nomme Statique. On appdle Dynamique l'autre partie, qui a pour objet de déterminer le mouvement

que prend un mobile ^ quand les forces qui lui sont ^>pliquées ne se font pas équilibre.

Les géomètres étant parvenus» comme cm le yerra dans la suite ^ à réduire toutes les questi<ms de mouvement a de simples problèmes d'équilibre , il serait naturel d'exposer d'abord la Statique entière et ensuite la Dynamique; mais, pour faciliter rijitelligence des matières^ il a paru préférable^ dans l'enseignement, de s'occuper de la partie la plus simple de la Dynamique^ avant de considérer les questions générales de l'équilibre. C'est cet ordre que je suivrai dans cet ouvrage.

4« li y aura trois choses à considérer dans une force agissant sur un point matériel : .la position de ce point, l'intensité de la force et sa direction, c'eslà-dire, l'espace rectiligne qu'elle tend à faire parcourir k son point d'application. Toutefois, on ne doit pas confondre un point matériel avec ce qu'on appelle un point en Géométrie, où ce mot désigne l'extrémifeé d'une ligne , ou l'intersection de deux lignes qui se coupent; l'espace que parcourt un point matériel n'est pas non plus une ligne privée de deux dimensions; mais ce corps étant infîniment petit en tous sens, et la largeur et l'épaisseur de l'espace que la force tend à lui faire décrire, étant aussi infiniment petites, on déterminera sa portion et la direction de cette foixre, de la même manière que l'on détermine la position d'un point et la direction d'une droite en Géométne.

Ainsi^ d'abord, la position dans l'espace, du point d'application d'une force, se déterminera, en général.

au moyen de ses trois coordonnées parallèles aux in^ tersections de trois plans rectangulaires ; ce qni> comme on sait^ ne laissera aucune indécision.^ quand on aura égard , en même temps , au signe et à la gran^ deurde chaque coordonnée. Quelquefois aussi, nous emploierons les coordonnées polaires , savoir : le rayon vecteur du point donné, ou sa distance à leur origine, l'angle que fait ce rayon avec une droite fixe menée par cette 'Origine, et l'angle compris entre le plan de ces deux droites et un plan fixe passant par la seconde.

5. Les forces ne peuvent se mesurer qu'en prenant pour unité une force convenue, et en exprimant par des nombres les rapports des autres forces à cette unité ; ce qui exige que l'on définisse, d'une manière précise, ce que l'on doit entendre par une force égale à une autre, et par une force double, triple, quadruple y... d'une autre , indépendamment de la nature particulière de ces diverses causes de mouvement»

Deux forces sont égales lorsqu'étant appliquées en sens contraire l'une de' l'autre, à un même point matériel ou à deux points liés par une droite qui ne peut changer de longueur, elles se font équilibre.

Si , après avoir reconnu que deux forces sont égales, on les applique dans la même direction à un même point, on aura une force double ; si Ton réunit ainsi trois forces égales, on aura une force triple; si l'on en réunit quatre, on aura une force quadruple; et ainsi de suite.

Lors donc que nous dirons qu'une force, appliquée à un point matériel, est un certain multiple d'une

autre force» il faudra entendre que la première peut être regardée comme formée d'un certain nombre de forces reconnues égales à la seconde, et agissant dans une même direction. Cest de. cette manière que les forces deviennent^ quelle que soit leur nature parti-* culière^ des quantités mesurables que Ton peut exprimer par des nombres^ comme toutes les autres sortes de quantités , en les rapportant à une unité de leur espèce. On .peut aussi représenter leurs intensités par des lignes proportionnelles à ces nombres^que Von porte sur leurs directions.^ à partir du point où elles sont appliquées ; ce qui a layantage de simplifier le-* nonce des théorèmes..

6. Les points d'application des forces et leurs intensités étant ainsi déterminés^ il ne nous reste plus qu'à nous occuper de leurs directions.

Soit M (fig. i"), le point d'application d'une force; représentons sa direction par la droite MD, de manière que cette force tende à faire avancer le point M'^ de M- vers D; par le point M menons trois axes rectangulaires MA ^ MB, MC, qui seront^ en général^ parallèles aux axes des coordonnées^ et dirigés dans le sens des coordonnées positives ; désignons par a, €,,y,\es^ angles aigiis ou obtus que la direction MD-. £ût avec ces axes^ de sorte qu'on ait

AMD = ct, BMD = e/ CMD = >;

je dis que cette direction sera complètement dé(erminée . quand ces trois angles seront donnés .

En effet y en ayant seulement égard aux deux angles a, et €, \\ faudra que la ligne MD se trouve à la

fois sur deux cônes droits^ dont le soinmet commuiir est au point M^ et qui ont pour axes les droites MA et MB. Il &udra donc que a et C soient tels , que ces deux cônes puissent se couper; œ qui aura lieu alors suirant deux arètes situées dans un méiae plan perpendiculaire au plan ÂMB, et qui feront ^ aTec Taxe MC^ deux angles supplémens l'un de l'autre^ La droite MD pourra donc encore avoir deux posi-* ticgis différentes; mais Tangle y étant aussi donné, on saura s'il est aigu ou obtus^ et l'on pourra cfaoiûr entre ees deux positions celle qui convient à la direction de la force.

Cette construction montre ^ en outre , que les angles a, €, y, ne peuvent pas être pris tous les trois au hasard. Il existe effectivement entre les cosinus des angles qu'une même droite MD fait avec trois axes rectangulaires > une équation

cos* a + cos* € + cos* ^ = i , (i)

que l'on démontre en prenant sur la droite MD, à partir du point M, une ligne égale a lunité, et formant un parallélépipède rectangle , dont cette ligne soit la diagonale, et qui ait ses trois côtés adjacens sur les trois axes MA, MB, MC. Ces trois côtés seront les cosinus des angles a, ^, y; et la somme de leurs carrés devant être égale au carré de la diagonale, d'après une théorème connu , il en résultera l'équation qu'on vient d'écrire.

y. On adoptera, dans ce Traité, la division de la circonférence en 36o% du degré en 60 minutes et do la minute en 60 secondes. La lettre tt sera conslam^

IJNTfiODUCTIO». 7

iu0Dt employée à r^préa^atw U âeaii-i:ircaqfépenc«^ dont le raypu est ég^ k YumU } de sorte que l'oo aura

or = 5,i4i5g26...

Le quart de la circonféreuce répoad à l'angle droit ou à Fangle de 524000''; il s'ensuit que la longueur de l'arc correspondant à un angle d'un nombre quelconque n de secondes , sera le quatrième terme d'une proportion , dont les trois premiers seront ^t, n et 324000''. En désignant cette longueur par «»•, il euTésultera

2o6264>8...' Le logarithme ordipaire ^e ce diviseur coDStantest

5^3i44^^i* Dans les calculs numériques, ce sont les arcs ainsi calculés qu'on devra employer à la place des angles qui ne seront pas compris sous les signes trigonomé* triques sin^ coSj tang.

Pour qu'on puisse , au moyen des angles pl, Ç, y , représenter la direction d'une force dans toutes les positions possibles autour de son point d'application, il faudra et il suffira qu'ils s'étendent depuis zéro jusqu'à 180^ inclusivement. Si, par exemple, l'axe MC est au-dessus du plan des deux autres axes MA et MB, l'angle ^ devra être plus petit ou plus grand que 90% selon que la droite MD sera située au-deesus ou audessous de ce plan ; il sera zéro qtiand la direction MD Qoiacîdera avee MC, et égal k iBo* quand MP coïncidera avec le prolcHigemeot MC'de MC Les cosinus de a, é, y, pourront donc être po^Uîfs ou né-

gatife; mais leurs sinus seront toujours positife^ puisque ces angles ne dépasseront jamais i8o^.

En général , si nous considérons le prolongement MP' de la droite quelconque MD , il est évident que les angles qu'il fait avec les trois axes sont supplémens de et, €, y. En faisant donc

AMD' =. a', BMD' = C', CMD' = y\

nous aurons

cos6('= — cos6(, co8C'=— cosé^, C08 ^ = — cosy}

d'où il suit que les directions de deux forces qui agis* sent en sens contraire sur un même point M , Tune suivant MD, l'autre suivant MD', se distingueront Tune de l'autre par les signes des cosinus des angles qui leur correspondent.

8. Au lieu des trois angles a, C,yj liés entre eux par l'équation (i), on pourra n'employer que deux angles iudépendans l'un de l'autre, pour déterminer la direction d'une force.

En effet, soit ME la projection de MD sur le plan AMB ; appelons S" l'angle que fait cette projection avec l'axe MA, de sorte qu'on ait

AME = cT.

Lorsque cet angle J^ sera donné, il fera connaître la position du plan CME, et l'angle y achèvera ensuite de déterminer celle de la droite MD comprise dans ce plan. Il faudra que l'angle J" soit compté, à partir de MA, dans un sens convenu, et qu'il puisse s'étendre depuis zéro jusqu'à 56o^ ; l'angle y ne s'étendra toujours que depuis zéro jusqu a 1 80^.

La projection sur le plan AMB de la diagonale du parallélépipède précédemment indiqué ( n* 6 ) sera le cosinus de l'angle DME , ou égale à sin y. Si Ton projette de nouveau cette projection sur Taxe MA y cette seconde projection se déduira de la première, en la multipliant par cos /; elle coïncidera j d'ailleurs , avec la projection de la diagonale du parallélépipède sur ce même axe MA , et sera , conséqnemment, égale à cos et ;" par conséquent, on aura

cos a s= sin ^ cos cT»

On trouvera de même

cos ^ = sin y sin J*;

et ces deux formules serviront à transformer les équations où Ton aura fait usage des angles ct^ € , y, en d'antres où Ton n'emploiera plus que y et J^. On vérifie immédiatement qu'elles satisfont à l'équation (i).

9. n existe une autre équation qui comprend , comme cas particulier, cette équation (i), et qui nous sera souvent utile.

Pour la former, soient x, jr, z, les coordonnées d'un point quelconque M ( fig. 2 ) rapportées aux trois axes rectangulaires Ox, 0/, Oz. Appelons r son rayon vecteur OM, et a, f , y, les angles aigus ou obtus que fait ce rayon avec les trois axes , dé sorte qu'on ait , par exemple ,

zOM = y.

Si l'on abaisse du point M une perpendiculaire MN

sur Taxe 0%, la droite ON sera rordonnëe z, et

dans le triangle rectangle MON , on aura

z = r CCS y ;

on trouvera de même

j^ c= r cos ff , jtr 0= r cos a.

Soit M' un autre points et désignons par x\ y, z\ r'y a', S', y\ ses coordonnées ^ son rajon vecteur et les angles relatifs à cette droite ; nous aurons aussi

:r' s= r' cos «', ^ =a= r' cos f ', jg' = / cos 3/.

Appelons u la distance MM"; on aura, comme on sait,

et si l'on représente par g l'angle MO M', on aura en même temps

a» = r* + r'* — :irr^ cos € ,

dans le triangle dont r, /, m, sont les trois cotés. A cause de

x^ +j'^ Ji^z^ = T^, x'^ 4- r'* + ^'' = ^^f

la premièi*e valeur de v} est la même chose que

w' = r* + r'* — 2 {pcx^+jrjr' + zz') ;

en la comparant à la seconde, on en conclura

rr' cos € = 0:0:' -f- j-y + zz' ;

et si Ton substitue dans cette équation les valeurs précédentes de or, 7, 2, a:', x\ z% il en résultera

INTRODUCTION. it

cos e = cosa cos ai + cos ^ cos ff'-J-cos^ cos y' \ (a)

ce qu'il s'agissait de trouver.

Lorsque les deux droites OM et OM' coipçideot ^ ks angles ft\ &\ 'y\ sont les mêmes que ^^ €, > ^ et cette formule se réduit à l'équation (i). Quand ce^ deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre » on a é^go"*, et par conséquent

cos a cos a' cos & + cos C( + cos y cos y = o..

En mettant dans les valeurs de a:,^, z, celles de cos OL et cos ^, qu'on a trouvées dans le numéro précédent ^ on aura

ar=rsin7coscr> /*=''sin). siucP, z = rcos}.î

formules dans lesquelles les trois variables r, >, J^ sont les trois coordonnées polaires du point M , telles qu'elles ont été définies dans le n° 4> ^t qui serviront, par conséquent, à transformer les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.

lo. La Considération des projections dont on s^est servi dans le n' 8, sera souvent employée dans cet ouvrage; il convient donc d'exposer ici leurs premiers principes.

La projection d'une droite sur une autre droite est la partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de la droite projetée. Ainsi , les différences x* — x ^y — y^ 3'— z, des coordonnées extrêmes sontles projectionsde la droite MM' sur les axes des a:, ^,2; et, d'après la première valeur de tt*, la somme des carrés des projections d'une même droite sur trois axes rectangulaires

la TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

est égale au carre de cette droite. Si la droite projetée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plaki, la projection est égale et parallèle à la base d'un triangle rectangle , dont la droite projetée est l'hypoténuse; en sorte que si l'on désigne par /' la longueur de cette droite ^ par X celle de sa projec'>> tion , et par i l'angle de ces deux droites, on a

Xss Icosu

La projection d'une surface plane sur un autre plan, est la partie de ce plan terminée par la projection du contour de la surface projetée, c'est-à-dire, par la courbe que forment les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de ce contour. Or, l'équation précédente subsiste encore, si l'on y met à la place de / l'aire de la surface projetée, et au lieu de A l'aire de sa projection ; i étant alors Tinclinaison d'un plan, sur l'autre, pour laquelle on peut aussi prendre l'angle compris entre les perpendiculaires à ces deux plans.

En effet, décomposons l'aire de la surface projetée en élémens d'une largeur infiniment petite et perpendiculaires à l'intersection de son plan et de celui $ur lequel on la projette; la projection de chaque élément sera égale à cet élément multiplié par lecosinus de leur inclinaison mutuelle; par conséquent^ cette inclinaison étant la même et égale à / pour tous les élémens, la somme de leurs projections, ou A, sera égale à leur somme, ou à l'aire totale l multipliée par cos î; ce qu'il s'agissait de prouver. On conclut de là que le carré de l'aîre d'une surface plane

INTRODUCTION. i3

est ^al à la somme des carres de ses projections sur trais plans rectangulaires, en prenant pour l'inclinaison sur chaque plan Fangle que fait la normale à la surface donnée avec les perpendiculaires à ce plan ^ etajant égard à l'équation (i).

II. Lorsque dans une question, ou considérera un sjstème de forces parallèles, on pourra supposer que l'un des trois axes rectangulaires MA, MB, MC, (fig. !"•), leur est aussi parallèle. Alors deux des trois angles a, C^y^les deux derniers, par exemple, seront droits pour toutes ces forces; et l'équation (i) se réduira à

cos* a = I ;

d'où l'on tire «tso ou A=â I8o^

De cette manière, la direction de chaque force serait fixée, en disant qu'elle fait ayec Taxe MA un angle nul ou un angle de i8o°; mais dans ce cas parw ticulier, il sera plus simple de déterminer cette direction par.le signe de la force, en regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens,. et corame négatives celles qui agissent dans le sens opposé.

Au reste, le cas des forces parallèles sera le seul où nous considérerons des forces positives et des forces négatives ; dans tous les autres cas, les quantités qui représenteront les grandeurs des forces, dans le calcul, seront positives, et la variation de signe ne tombera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.