Ce qui précède renferme les définitions préli

i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

minaires , et des détails suffisans sur la détermina^ tioa des grandeurs et des directions des forces ; mais, dans cet ouvrage ^ j'emploierai exclusivement la méthode des infiniment petits ; c'est pourquoi il est nécessaire de rappeler^ dans cette introduction , les principes de l'Analyse infinitésimale , et parmi les formules qui s'en déduisent le plus immédiatement, celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.

Un ii^niment petit est une grandeur moindre que toute grandeur donnée de la même nature.

On est conduit nécessairement à l'idée des Infiniment petits, lorsque l'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi y le temps croit par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit* Les espaces parcourus par les difTé* rens points d'un corps, croissent aussi par des infiniment petits; car chaque point ne peut aller d'une ppsition à une autre , sans traverser toutes les positions intermédiaires ; et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres.

Du infiniment petit peut être double, triple « quadruple, , d'un autre : les quantités infiniment petites ont entre elles des rapports quelconques , dont la détermination est un objet essentiel de l'Analyse infinitésimale.

Si a et 6 sont des Infiniment petits , et que le rap>port àe b h a soit aussi Infiniment petit , 2^ est ce

INTRODUCTION. i5

qu'on appelle un infiniment petit du second ordre. Par exemple y U corde d'un i^rc de cercle étant sup^ posée infiniment petite y le sinus vei^e du aiéine arc «st un infiniment petit du second ordre ^ puisque le mpport du sinus verse à la corde est toujours le xnéme que celui de la corde au diamètre, et devient , ]Mir €K>nséquent9 infiniment petit en même temps que le second rapport.

De même , b étant déjà un infiniment petit du -second ordre , si l'on suppose que le rapport de c à & «oit infiniment petit du premier Ordre » on apellera c un infiniment petit du troisième ordre ; et ainsi de 4Utte«

Il suit de là qu'un produit composé d'un nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre, devra être rangé dans la classe des infiniment petits de l'ordre n.

' L aire d'une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petit du second ordre ; car elle est moindre que le carré de la droite kt plus longue qu'on puisse mener d'un point à un autre de son contour , laquelle droite est infiniment petite , par hypothèse. On verra de même qu'un volume dont toutes les dimensions sont infi*»^ niment petites , est au moins un infiniment petit du troisième ordre , puisqu'il est moindre que le cuhe delà plus longue droite menée d'un point à un autre de sa soperfide.

Cela posé , le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale consiste en ce que deux quantités finies > qui ne difierent l'une de l'autre que d'un

i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

infiniment petit , doivent être regardées comme égales p puisqu'on ne saurait assigner entre elles aucune inégalité , aussi petite que Ton voudra.

Il en sera de même à l'égard de deux quantité infiniment petites du premier ordre , dont la différence est infiniment petite du second ordre, et, généralement^ à Tégard de deux infiniment petits d'un ordre quelconque , qui ne diffèrent l'un de l'autre que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur : on les considérera comme, des quantités ri* goureusement égales, et leur rapport, comme égal à l'unité.

On énonce encore ces principes d'une autre manière, en disant qu'il est permis de négliger dans un calcul , sans crainte d'altérer aucunement les résultats, soit les infiniment petits ajoutés à des quantités finies, soit les quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, ajoutées à des quantités d'un ordre inférieur.

i5. La différentielle dx d'une variable indépendante x^ est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable ; la différentielle djr d'une fonction ^ de or , est l'accroissement correspondant de cette fonction, réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable indépendante , par la suppression des infiniment petits d'un ordre supérieur ; d'où il résulte que cette différentielle djr est toujours de la forme ILdx; X étant une autre fonction de x. Pour quelques valeurs particulières de x , il peut arriver que le coefficient différentiel X devienne infini, ce qui rendra la différentielle \dx indéterminée ;

mais cette circonstance ne se présentera pas dans la Mécanique.

Soient^ une fonction donnée de Xy c une constante arbitraire , et ¥x + c l'intégrale complète ou indefime de fxdx. Soient encore a et b deux constantes données. En déterminant la constante c de manière que cette intégrale soit nulle ou commence qnand ^ == o , et faisant ensuite a:=:b, le résultat ¥b — Ya sera ce qu'on appelle Tintégrale définie , prise depuis x:=a jusqu'à x=ib. 3e la désignerai

par I fxdx^ suivant la notation très commode que

Fottrier a proposée; et j'écrirai, en conséquence ,

¥b^Yaz=^f^fxdx.

Si l'on donne successivement à x une infinité de valeurs , croissantes depuis a jusqu'à b par des différences infiniment petites, et que l'on prenne ces différences égales ou inégales, pour les valeurs de ^ , il est facile de faire voir que la somme de toutes les valeurs de la différentielle ^dlr sera égale à l'intégrale définie Yb — Ya.

En effet, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on a, d'après la définition de la différentielle ,

F(ar+ dx) — Yx =zfxdx.

Si donc on représente par eT,, cT», «Ta, • . . . cT,, un nombre infini de quantités infiniment petites ^ telles que l'on ait

J^i + J'. + cTs . . . : + cT. = è — ^ ;

i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et que l'on prenne successivement, pouv j? et dx, les couples de valeurs a et d\ , <i+<r, et J^„ a+J\-4-J', et /s, • . .b — <r. et ^., il en résultera

équations dont la somme est

ce qui i^enferme le théorème qu'il s'agissait de démontrer.

Lorsque la fonction fx deviendra infinie entre les deux limites aetb^ ctXXp démonstration «aura plus lieu, et le théqrème sera en dé&ut* Danis qe c^ d'exception , que nous ne rencontrerons pas dan$ la suite p l'intégrale définie n'a plus aucun rapport avec la somme des valeurs de la différentielle , et elle peot même être négative, lorsque toutes ces valeurs sont positives, ou positive, quand elles sont toutes négatives. Pour faire reparaître le théorème, il faut alors empêcher que^r ne devienne infinie entre a:=a et a:=:bj en faisant passer \z, variable x de l'une à l'autre de ces limites, par une série de valeurs imaginaires (*).

(*) Voyez f sur ce point, le Journal de V École Polytechnique, i8* cahier, page 320.

mTROMJCTION. ,9

Le théorème préeédent ^s'étend sans difficulté aux intégrales multiples. Ai^si^ par exemple, sif(x,^) est une foDodim donnée de deux variaMes indépen^ dantes a: ttjr; qne Ton donne successivement à ces variables des séries de valeurs croissantes par des diffë^ renœs infinimeot petites; et que l'on prenne en même temps pour dx, les différences entre les valeurs con«< sécutives de or , et pour djr , celles des valeurs consécutives de ^, la somme de toutes les valeurs de f{pCjX)dxdjry sera l'intégrale ^//(x, j)dxdy^ prise

entre des limites convenables.

14* Lorsque la fonction fx renfermera une quan-> tité <ft considérée comme une constante dans Tinté-

gration , la valeur de l'intégrale / fxdx sera ellemême une fonction de a. U y a des questions dans lesquelles cette intégrale n'étant pas connue sous forme finie ^ on aura besoin^ néanmoins, de déter«< miner sa différentielle par rapport à a. Or, cette opération présentera deux cas différens , selon que les limites a et b sei^nt indépendantes de a, ou qu*eUes en dépendront d'une manière quelconque. Dans le premier cas, il suffira de différentîer y^p par rapport à a sous le signe / j en sorte que Ton aara

dm J a dût

En effet, d'après le théorème du numéro prccédent , le premier n^embre do cette équation est le coefficient différentiel par rapport à ot de 1^ sommo

des valeurs de /xdx , comprises depuis x = a jusqu'à xz=bi tandis que son ;second membre est la somme des valeurs, entre les mêmes limites, du coefficient différentiel àQfxdœ relatif à 4»; et il est évident que Ces deux sommes sont identiques.

Dans le second cas, lorsque a se change en o^f^ât,

la limite b devient A + ^ rfa , et pour cette raison ,

la somme des valeurs de^dlr, ou Tintégrale f fjcdac se trouve augmentée de la valeur de fxdx qui répond àa:=6et^=j- J«, c'est-à-dire, à!àjb . -j^ot ;

dn en même temps la limite a se change en a -f- 7- dot,

ce qui diminue cette intégrale de la valeur de fie ,

correspondante à xz=s.a et dx = -^ da, ou de

fa. -j- da; donc, à cause de la variation simultanée

des deux limites a et b, produite par celle de et, l'intégrale se trouvera augmentée de la différentielle

et sou coefficient différentiel par rapport à flt, de ce coefficient de dx. Par conséquent , en l'ajoutant au second membre de l'équation précédente, on aura

d.J ^fxdx rhdfa, ,db^ da ^

INTRODUCTION. at

pour la valeur complète du coefficient diffëi^ntiel de

f fxdoc.

Quand a n'entrera pas dans ^, que cette qua.utitc sera Tune des deux limites & ou a^ et que ces deux limites ne dépendront pas l'une de L'autre, cette expression se réduira à

fxdx d. I fxdx

—ir-^f^' ou -^=-/ar

ce qui est, d'ailleurs, évident en soi-même.

Des remarques semblables s'appliqueront aux intégrales multiples , dont les coefficiens différentiels par rapport à une quantité qu'on a d'abord regardée comme constante, s'obtiendront aussi en différentiant sous les signes d'intégration , et en ajoutant au résultat des termes dépendans des variations des limites, quand elles dépendront de cette quantité devenue variable.

i5. Le calcul intégral fournit des règles pour déterminer exactement ou par approximation, les va-r leurs numériques des intégrales définies, simples ou multiples; en sorte qu'un problème est censé résolu , lorsqu'on-est parvenu à exprimer les inconnues par des intégrales de cette nature. On dit alors p que le problème est réduit aux quadratures j parce que, d'une part, une intégrale multiple n'est autre chose qu une intégrale simple plusieurs fois répétée ,

et que, d'un autre côté, une intégrale / fxdx peut

toujours être représentée par le carré, égal à l'aire

ââ ÏRAITÉ SE MÉCANIQUE,

d'u&e courbe plane, dans laquelle x etfx sont les coordonnées d'un point quelconque , et a et 6 les abscisses des points extrêmes.

Parmi les différentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approchées de cette intégrale

/ fxdx^ nous citerons la suivante, qui suppose que

les fonctions^ et -^z ï*® deviennent point infinies

entre les limites a^Xh.

Conservons toutes les notations précédentes, et faisons de plus

Supposons que les différences cT,, J^», /j, etc., ne sont pas infiniment petites , mais seulement très pe<* tîfes; prenons-les égales, et représentons par «Tleur grandeur commune. Nous aurons, diaprés le théorème de Taylor,

F(/i + 3ir)=F(tf+2^) + i^/'faH.2^+J^*/(a + a^ + etc., F(«*f niT) t=F (a + n^— #) + if{ii^ni—'S)

Bonc^ en supposant ni 's^z h — a^ et faisant la somme de ces équations, on aura

+ iJ^^2/V+/J^)4-etc.;

i étant un nombre entier ou zéro , et les caractéristit^ues S indiquant des sommes qui s'étendent aux /»

INTRODUCTION. aS

Talears de î comprises depuis is=r o jusqu'à i=sn — -i • En prenant snccessivement^ et fx^ f'x éxf^'x^ etc., an lieu de For etfx, ou aura de même

/6— /a=J^V'(«+iVr) + l/'2/'(a + //) + etc.,

fB—fd= crs/'(a+ i^) + etc.,

etc.

Cela posé^ si ron- veut négliger les puissances de ^ supérieures au carré dans la valeur de Vb — Fa, on pourra prendre, d'après les dernières équations,

JJ^S/' (^+»J^)=i«f (/*-»- icP-(/'*-/'«)»

i«f »2/'(a +i^) =1 <r*(/'i -fa),

pour les valéan dé ses deux derniers termes. Sa valéar entière deviendra donc

Fô — Fa = er2/(a + iVT) -f i J^ (/* —Jà)

on y ce ^i est la même chose ,

f^xdx = «f [kfa +f{a + /) +J{a + aJ^). . .

Cette formule sera d'autant plus exacte, que la différence J^, ou -{b — à), jsera plus petite, et que les

yalenrs de fx varieront moins rapidement entre les limites a et h. Le plus souvent on pourra négliger le terme dépendant de «T*; la formule ne renfermera alors que des valeurs de fx qui pourront être données en nombres, sans que la forme de cette fonction soit connue.

i6. Dans la théorie des infibitaient petits, on con^

a4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

sidère les courbes comme des polygones d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Cela suppose que la corde dW arc infiniment petit est égale à cet arc, oh que le rapport de leurs longueurs peut être pris pour l'unité; c'est efiectivement ce que l'on peut démon- 'trer de la manière suivante.

Soit MmmlVI' (fig. 3) un arc de courbe infiniment petit; tirons les cordes Mm, mm!, mW, et prolongeons la troisième, jusqu'à ce qu'elle rencontre le prolongement MT de la première^ en un point K. L'arc mm' est plus grand que la corde mm', et moindre que la ligne brisée mKm'; il suffira donc de prouver que cette ligne et cette corde^ infiniment petites^ ne diffèrent que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur, et que l'on peut prendre le rapport de l'une à l'autre pour l'unité : cela sera vrai, à fortiori, à l'égard de l'arc mwL et de sa corde.

Or, s'il n'y a dans l'étendue de l'arc Mmm!W aucun point singulier où la direction de la courbe change brusquement, les cordçs qui vont d'un de ses points à un autre comprendront des angles infiniment peu difierens de deux droits. L'angle TKM', supplément de MKM', sera donc infiniment petit ; je le désignerai par <r ; et en faisant, en outre,

mK = a , m'K = h , mm' = c , on aura, dans le triangle rnSM, l'équation

c* = a* + b^ 4" 2^6 cosJ", que Ton peut changer en celle-ci :

c» = (^x H- A)* — 4a6 sin^ i <f „

INTRODUCTION. a5

en observant que

cos cT =: I — 2 sin* i /.

Nous aurons donc

pour le carré du rapport de la corde mm' à la ligne brisée mKm'. On a d'ailleurs

Jjab /a — ft Y .

(a + 6)*~V Vû + */ '

ce qui prouve que le coefficient de sin* ^J^ ne peut pas devenir infini^ puisqu'il est toujours moindre que Tunité. En négligeant Finfiniment petit du second ordre ^ on aura donc Tunité pour le rapport de c i a + & ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

17* Une courbe étant considérée comme un polygone infinitésimal^ les tangentes seront les prolongemens de ses côtés infiniment petits ; au point M , où le côté est Mm, la tangente sera la droite indéfinie T'MmT.

Si l'on désigne par x, j, z, les trois coordonnées rectangulaires du point M, celles du point m seront X + dx f jr + djTf z 4- dz. En appelant ds l'élément de la courbe, c est-à-dîre, son côté Mm, les différentielles dxy djr, dz, seront ses projections sur les axes iesxyj', z; par conséquent, si l'on représente par et, €, y, les trois angles que fait la direction de la droite MT avec des parallèles à ces axes, menées par le point M, on aura

dx é» àr dz

cos«==^,

P dr dz , ^

a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et en même temps

En prenant, sur la courbe que Ton considère , un point fixe C, et supposant que s soit l'arc CM compté de cette origine, cet arc pourra être layariable indépendante , dont XfjTfSs, seront des fonctions données par les équations de la courbe. Dans ce cais, ds sera positif; mais dx, djr^ dz, et par suite cos et , cos € , cos y , pourront être positifs ou négatifs. Les angles a, €, y, se rapporteront toujours au prolongement mT du côté Mm, ou à la partie MmT de la tangente; les angles relatifs à Fautre partie MT' seront les snpplémens àe et,€, y, (n* 7).

La direction de la tangente au point M étant déterminée par les équations (i), on en peut côndure l'équation du plan normal en ce même point ; mais on obtient directement cette équation par la considération suivante.

Soit k le rayon d'une sphère qui a son centre au point M j son équation sera

(a:'-a:)\+ (f -ff + (^' - ^)'= ^'i a:\ff z\ désignant les coordonnées courantes. L'équar tion de la sphère du même rayon, qui a son centre au point 1», se déduira de celle-là, en y mettant œ + dxpj-^dj, z + d%^ à la placede jc, j-, js; en retranchant ces équations l'une de l'autre , et négligeant les infiniment petits du second ordre, il vient (or' —x^dx+ (y ^y)djr + (z' — z)dzz= o ;

éc{iiatM>n qai appartiendra à l'intersectiow des deftx sarùkces spkériqoes. Comme elle est Fétjuatioa d'uti plaît doftt a/^y, zf, sont les coordomiées courantes, ce' sera celle du plan de cette courbe , et , par conséquent , réquation demandée du plan normal , puis-* que les deux s]^èl*es se coupent suivant un cercle perpendiculaire à la droite TT' qui paisse par letrrs centres M et m.

En: la divisant par ds, et ayant égard aux formules (t), cette équation devient

{ûc^ — a:)coset + {y — jr) cos Ç + (z' — z) cos 3. = o.

Si donc

rf(x' — ^) + A(/~^) + c(y~z)=:0 '

représente Téquation d'un plan mené par le point dont les coordonnées sont ûc^ jr, z, et perpendiculaire à la droite dont la direction est déterminée par les angles tt,^^ y, il faudra qu'elle s'accorde avec la précédente ; ce qui exigera qu'on ait

h étant un facteur indéterminé. En vertu de l'équa* tîon (1^ du n* 6 ^ on en conclura d'ailleurs

ce qui fait connaître la valeur àeh, abstraction faite du signe. On aura ensuite

cosa= j, cos^ = ^, cos 7= p (2)

ce qui coïncide avec les formules connues d'après lesquelles on- détermine la direction de la perpendi*-

a8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

culaire à un plan donné. Le signe de h reste indéterminé, parce que les angles * , ^^ 5^, peuvent se rapporter à lune ou à Tautre des parties de cette droite qui sont situées des deux côtés du plan.

18. On appelle angle de contingence l'angle infiniment petit compris entre deux tangentes consécutives. Ainsi Mm et mm' (fig. 4)9 étant deux côtés consécutif de la courbe^ cet angle, au point M, est le supplément de Mmmf, ou Tangle Tmt, sous lequel la tangente MmT est coupée par la tangente suivante mm' t. Je le représenterai par J"; en supposant que les angles cL,€,y, se rapportent toujours à la direction de MT, et désignant par a', €', y', ce qu'ils deviennent relativement à la direction de mt, on aura, en vertu de l'équation (2) du n* g,

sin*<r= I — (cosflftcosa'-l-cos^cosê'+cos^cosy )••

D'après le théorème de Tajrlor, on aura aussi

cos a' = cos a + rf, cos a + jd*. cos flft + etc. , cos €' = cos^+ d.cosC -+- {d*.cos C -f-etc. , cos y :=:cosy+ d .cosy'+' { d^ .cosy+eic.

Or, si l'on substitue ces valeurs dans celles de sin* J^y et qu'on ait égard à l'équation

cos*tf +cos*^+cos*5/= I ,

et à sa différentielle

cos a rf.cos a-f-cos C d.cos ^ -|-cos y d.cos j^ = o,

on voit que les cpautités finies et les infiniment petits du premier ordre se détruisent; en sorte qu'en négligeant les infiniment petits des.ordres supérieurs

INTRODUCTION. ag

aa second y il \ient

sin*£r= — (cosctd^;co&ct'+^os€d*.cos€'+<osyd^.cosy).

En differentiant l'ëquation précédente^ on a, d'ailleurs,

cosarf*.cosflt 4-cosCrf*,cos^ + cos7rf*«cos7^ + (d.cos ày + (d. cos ff )• + (^. cos yy=zo;

ce qui change la valeur de sin'cT en celle-ci :

sin* cT = (d. cos a)* + (d.cos €y + {d. cos 5^)* ,

laquelle sera aussi la valeur de J^% à cause que l'arc infiniment petit ^ est égal à son sinus.

Les différentielles de cosâ^, cos^, cos^, se déduiront des formules (i) du numéro précédent. En ne spécifiant pas la variable indépendante, on aura

, ds'^d^x — dxdsits a.cosa=: ^5 ;

et comme on a

d^z=zdx^ + dj*^dz% dsd^s = dxd^x •+• dyd^y'\' dzd^z ,

il en résultera

d.cos a =z=: -^(djrd^x — dxdy) + j-^ (dzd^x — dxd^z)}

on aura de même

d.co8Sz=^,{dxdy—djrd^x)+^{dzd'jr'—djrd^z),

d,cosy=:^{dxd'Z'-Tdzd^x) -f- -^^^jd^z — dzdy);

ovj en faisant la somme des carrés de ces trois va-

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

leurs, on trouve, après quelques réductions, que l'expression de sin* J^ ou de <r% peut se mettre sous la forme

cf •= -^ [ (dxdy — djd^xY + {dzd^x — dxd^zy

+ {djd^z^dzdyY\.

Le cercle osculateur est celui qui a deuxcôt^scoa* sécutifs communs avec la courbe. Au point M, ce cercle est donc celui qui passe par les trois points M , m, TTï", dont le centre se trouve à Tintersection 0 des deux perpendiculaires élevées sur les milieux de Mm et mni dans le plan de ces deux élémens consécutif, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deux élémens sont supposés égaux, cette droite divisera l'angle Minm' en deux parties égales : nous ferons cette hypothèse sans craindre d'altérer la valeur de MO; car il est aisé de voir que le rapport numérique des deux côtés infiniment petits Mm et mm' n'influe que d'une quantité infiniment petite sur la grandeur de ce rayon qui est> par conséquent, la même, soit qu'on prenne c^s deux c6tés consécutif égaux , ou qu'ils soient inégaux.

La longueur des côtés Mm étant ds, et en repré-* sentant par p celle de mO, la projecti^ de ^ opr Mm sera ^ds; en sorte que l'on aura

{dsz=:fcosMmO'y

et puisque cet angle MmO est la moitié du supjJément de J" ou égal à ^^ — jcT, il en résultera

i^=psinjcr = ipj^,

en prenant l'arc jj" à la place de son sinus.

WTRPIHJGTIOI». 3i

Gela étant , $i le rayon de coifrbure f était connu d'une autre manière, on anrait

pour la valeur de l'angle de contingence ; et réciproquement, d'après la valeur précédente de J^*, celle de /sera

[(dbp<l-x— 4r^*ar)*+ {dzd'x — dxd'zyj^ (djd'z - dzdyy]^

19. Pour achever de connaître la nature intime de la courbe au point quelconque M, il faut encore détâtainer son plan osculateur, c'«st-à-dire le plan des deux c6t& consécutifs Mm et mm\

Ce plan passant par le point M^ on pourra représenter son équation par

or', y, z', étant 1^9 CQordp^qii^s courantes» A cause qu'il doit aussi passer par les points m et m% les différen* ti^es première et seconde de cette équation, savoir :

Ad:r'+R^'+Crfz'==o,

Ad^x'-i- Bi/y-h Ç^VrF û ,

devront êtne satisfaites cûmme 1 équation même, en

y £iisaiit scz^jc, y=:j, ^zs^z; en sorte que Ton

ausa

AcLjc +Bdx+Ç(fz =0,

^'x+ Bdy+ Cd^zzrz o.

Les yaleura de A, B, C, qqi reaiplis$ent cos deux conditions sont , comme il est aisé de le vérifier.

3a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

C = D (dxdy^ d/d^x) , B=:J} (dzd^x—dxd^z)^ Az=i1) (djd^z — dzdy);

D étant un facteur indéterminé. En les substituant dans réquatîon du plan osculateur, et supprimant ce facteur commun à tous ses termes^ elle devient

{:^—z)(dxdy'—dj'd'a:) + (y'—j'){dzd^a:'---da:d^z) + {pc' — x)(dfd^z — dzdy)=:o.

Si l'on appelle A^ fc^ v^ les angles que fait la normale au plan osculateur^ avec des parallèles aux axes des X, y y z, menées par le point M ^ on aura, d'api*ès les équations (2) du n° 1 7 ,

cos Xz=i-^(djrd*z — dzdy), ï

cos fJL:=T{dzd^a: — dxd^z), > (5)

cos y = ^(dûody — dyd^x), ^

en désignant par h^ la somme des carrés des trois nu* mérateurs.

On déterminera aussi l'angle infiniment petit compris entre deux normales consécutives , et qui sera 1 angle de deux plans osculateurs consécutifs y comme on a déterminé tout à l'heure l'angle de deux tangentes. En le désignant par €, on aura^ par un calcul semblable à celui du numéro précédent «

è* = (d. cos A)*-|- (d. cos ft)'-f- (rf. cos y)*.

20. .Le centre de courbure 0 se trouve à la fois sur le plan osculateur et sur l'intersection des deux plans

IINTRODUCTION. 33

normaux consçcutifs; ce qui fourûit le moyen de déterminer ses coordonnées d'après les équa^ons de ces trois plans, qui sont maintenant connues. L'équation du plan normal en M étant (n^ 17)

{x'^a:)dx + (j'''--j)dj'^{z'~z)dzs=zo,

ceUe du plan consécutif s'en déduira en y mettant x + djc, jr-^djr, z-^dzy au lieu de x, ^, z; par conséquent, la différentielle de l'équation du premier de ces deux plans, prise par rapport à oc,jr^ z, savoir :

{x'—a:)d^a:'^(y—j)dy+{z'^z)d^z=zds^,

appartiendra à leur intersection.

On tire de ces deux équations

(3if — x) {dxdy' — dxd'x) = (z' — z) {djd'z — dzd:'j) — ds^dj , Cr'— J") {dfd^x — dxd^jr) = {z'—z) {^dxd^z — dzd'x) — ds^'dx ;

et au moyen de l'équation du plan osculateur, on en conclut

— dx[dzd^x — ^rf*z)],

en désignant, pour abréger, par f la même expres- ^on que dans le n^ i8. On aura de même

/ —jr =^ [dx {dxdy—djrd^x)

— dz {djd^z — dzdy) ] , y — .ar=-|-;- [ dz {dzd^œ — ^ dxd^z)

— dj(dx(^jr'^-dyd^x)'\*f

ce qui fait connaître les trois coordonnées x', y , z\ du centre de courbure 0, et, par conséquent, Iç sens

de la courbure dont le raj^oa osculateur ne détermine

que la grandeur.

En ajoutant les carrés de ces valeurs de x'^^x, y — jr^ z'^^Zf et réduisant, on a

{aç' — or)- + (y — r)* + (i3'— zY = p- ;

doù il résulte que la quantité p est la distance du point 0 au point M, ou le rayon de courbure MO, comnie pn le savait déjà.

2 1 . Les formules des cinq numéros précédées ren^ ferment tout ce qui est relatif à la direction et à la courbure d'une ligne quelconque , plane ou à double courbure. Relativement à une surface quelconque, on a aussi à considérer la courbure et la direction de son plan tangent; quant à sa courbure, je renverrai au Mémoire que j'ai inséré sur ce sujet dans le ai* ca-^ hier du Journal de VÉcole Polytechnique^ et je ne m'occuperai ici que de ce qui concerne le plan tangent et la normale.

En un point M, dont les coordonnées sont x^jr^ z , l'équation du plan tangent peut être représentée par

A(^' — :c) + BO'— 7) + C(z' — z)=p;

x\ fj z' , étant les coordonnées courantes. Ce plan devra aussi passer partout autre point M' de la surface, infiniment voisin de M; il faudra donc qu'on satisfasse à cette équation, au moyen de ar'=ar + éfar, y z=j + dy , z'znz^dz, où à sa différentielle relative à x' ^y, z, en y mettant x,jr,z, à la place de ces variables. Par conséquent, on aura

L équation de la surface douuera

dz zispda: + çdjr ;

ji et f désignant des fonctions connues de x, jr, z. L'équation précédente devient dpnc

(A +pC)dx + (B + qC)dj = o;

et comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM'^ c est-à-dire , pour tous les rapports qu'on peut établir entre dx et djr, il faudra égaler séparénient à zéro lescoefficiens de ces différentielles ; d'où il résultera

A-|-/H: = o, B + qCz=:o.

Je tire de là. les valeurs de A et B^ je les substitue dans réquation du plan tangent, et je supprime le ikcieur commun C; il vient

:^—Z'^p{a:' — œ) — q(y — jr) = o .

Si a y b, c, sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coordonnées a:, jr, z, on aura , d'après les équations (2) du n° 17 ,

cos a

cos 6 =: — — =====^, \ (4)

cos C

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois formules, selon que la partie de la normale quoa voudra considérer fera un angle c aigu ou obtus

avec la droite menée par le point M , suivant la direction des z positives.

En appelant où i élément de la surface dont la projection sur le plan des x el y est dxdy, on aura

dxdy = db acos c ,

selon que c sera aigu ou obtus; car cet élément infiniment petit en tous sens, est compris dans le plan tangent dont Tinclinaison sur le plan des ^ et^ est l'angle c ou son supplément ; et le théorème du n*' lo convient également à la projection d'une surface plane infiniment petite. D'après cola on aura

ùà = dxdy V I + p* + 9* >

en regardant toujours le radical comme une quantité positive.

Soit L une fonction donnée de o:*,^, z; représentons par

l'équation de la surface que l'on considère; en la différentiant successivement par rapport à a: et à ^, o\\ aura

dL , dh dL , dL

dbc'^PTz'='''^ Tj+'iTz='''

Je tire de là les valeurs de j9 et ç, et je les substitue dans l'équation du plan tangent qui prend la forme

(-' - -) S Mf-r)t + {-' — ) T. = o-

En même temps , les formules (4) deviennent

cos rt = V ^\ cos h = y ^, cos c = V ^^ , (5)

en faisant , pour abréger ,

22. Je placerai ici une remarque qui sera utile pour vérifier ou déduire les unes des autres les formules analogues qui répondent à différens axes.

Supposons que dans une question tout soit sem*^ blable à l'égard des trois axes des coordonnées jo , jf, z. Si l'on a une équation X=o, relative à Taxe des or y il en existera une semblable Y=o> qui répondra à l'axe des j-^ et une troisième Z=o, relative k l'axe des z ; et ces deux autres équations Y = o etZ = o^ se déduiront de X = o , par de simples diangemens.de lettres. Or , voici comment ces permutations devront s'effectuer.

On mettra dans X toutes les quantités relatives k l'axe des jc , a \a place des quantités analogues qui répondent à Taxe des jr , puis celles-ci à la place de celles qui répondent k Taxe des z ^ et , enfin , ces dernières quantités k la place des premières , qui répondaient à l'axe des x. Par cette permutation toumanêe^ on déduira Z de X; par une seconde permutation de la même nature , effectuée sur Z , on obtiendra Y; et par une troisième permutation tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

S'il s^agity par exemple, des équations (3) du n° 19^ dont la première répond à Taxe des or, la seconde à l'axe des j'y et la troisième k l'axe des z , j'écrirai sur une même ligne ^ mais en deux parties, les coordonnées x, j^ z^ et les angles A, ju, r, qui

leur correspondent respectivement; puis, sur une seconde ligne, je disposerai ces six quantités , aussi en deux parties, et dans un ordre différent, de sorte qu'on ait

^> yj z, A, ;t, y; Zf :x:, j, », X, fi.

Cela fait, je remplacerai dans la première équation (3), chacune des quantités de la ligne supé* rieùre par la quantité correspondante de la ligne inférieure; par cette permutation, h ne changera pas, et l'on obtiendra la troisième équation (3). Je mettrai de nouveau, dans celle«ci, les quantités de la ligne inférieure à la place de celles qui leur correqiondent dans la ligne supérieure ; ce qui donnera la seconde équation (3); et en opérant de même sur cette étfuation , on retrouvera la première équation (3), d'où Ton est parti.

Chacune de ces opérations revient à un cbatigement d'axes des coordonnées, dans lequel on (sAt d'abord tourner les axes des x et des jr dans leur plan , de manière que l'axe des œ positives vienne tomber sur l'axe des ^.positives, puis celui-ci sur l'axe des x négatives ; et où Ton fait tourner ensuite cet axe desj- positives, ainsi déplacé, et l'axe des z positives , de manière que le premier vienne tonober sur l'axe dés z piositives, puis celui-ci sur l'axe primitif des a: positives; en sorte que, finalement, chaque axe des coordonnées pasitives ait pris la place d'un autre axe des coordonnées positives. C'est pour cela que les équations relatives aux trois axes des

coordonnées se déduisent Funé de l'autre par de simples pennutations dé lettres ^ et sans aucun change^ tnent de signe ; ce qui n'aurait pas lieu si l'on ne permutait pas simultanément les trois coordonnées et les quantités qui s'j rapportent de la manière qu'on vient d'indiquer.

25. Voici encore une observation géoérâle ^ par laquelle je terminerai cette introduction.

Les équations que nous aurons à considérer renfermeront des nombres abstraits, tels que le nombre 7t^ les logarithmes, les lignes trigonométriques,etc. ; elles contiendront, en outre, d'autres quantités de diverses natures, qui y seront aussi représentées par des nombres exprimant leurs rapports à des unités choisies ar* bitrairement, pourvu que chaque unité soit la même pour toutes les quantités d'une même espèce. Or, en changeant la grandeur d'une ou de plusieurs unités, les nombres qui expriment lès quantités correspondantes, varieront en raison inverse de cette grandeur; et, malgré ce changement, tout-à-fait arbitraire, les équations qui les rènfermeiit devront encore subsister. Il Êiudra, pour cela, que leur forme remplisse certaines conditions , faciles à vérifier dans chaque cas particulier, et qu'on appelle, dans l'acceplion la plus étendue , les conditions de Vhomogénéité des quart-thés. Toute équation qui n'y satisfera pas sera, par cela seul, inexacte, et devra être rejetée.

Ainsi , en indiquant par F une fonction donnée , supposons qu'on ait

ff/^y»-- ^ V y... m, m' y ... f, t\.. .)=o;(/7)

4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

.j\f f . . . désignant des forces, l,l\. .. des lignes , . . . m, m'y., .des masses , f, t\... des temps. Si l'on représente par n, w', n", n'^', des nombres abstraits^ et que l'on diminue à la fois l'unité de force dans le rapport de un à 71 y l'unité linéaire dans le rapport de un à n'f l'unité de masse dans le rapport de un à ri', l'unité de temps dans le rapport de un à n!" , les nombres 7i /%••• If ''v ^f m',... t , t\... deviendront nf, nfj . . • «7, riV, . . • ri'm, r!'m\ ... n!"ty ^ 7i'"t' f. . ., et l'équation (a) devra encore avoir lieu, c'est-à-dire , qu'on devra encore avoir

F(w/J nf'^ . • . TzV, TzT, . . . n'm^ ifm!. . . . n"V, n'^t'^ . . .)=o,

quels que soient w, n\ ri, nT. Si l'équation («) renfermait des surfaces s, s',. . . et des volumes ^, p', . . . leurs dimensions devraient être rapportées à la même unité que les lignes Z, /', . . ., et ces quantités s, /.. . if, i^',. . . deviendraient conséquemment n'*s, ri*/,. . . n'^if, îiW,. . . par le changement de cette unité.

L'équation du n** i8, qui donne la valeur de f , satisfait évidemment à cette condition; car elle ne renferme que des lignes finies ou infiniment petites p, ds, dx, dj, dz, d^x, d^y, d^z; et quand on change l'unité linéaire et qu'on multiplie, comme on vieut de le dire, chacune de ces lignes par un même nombre ri, ce nombre disparait et l'équation n'est pas changée. Celle du même numéro, d'où dépend la valeur de «T*, satisfait également à la condition de l'homogénéité, en observant que cT* est un nombre abstrait qu.i ne change pas, non plus que cette valeur, avec la grandeur de l'unité linéaire.

INTRODUCTION. 4i

Il sera impossible que 1 équation (a) ne renferme

quune seule quantité d'une même espèce; lors-

qii elle en contiendra deux , par exemple deux forces

J' et f, et qu'on la résoudra par rapport à Time

d^elleSy ce qui donnera .

il faudra, pour l'homogénéité des quantités, 9^^/ soil facteur à tous les termes de la nouvelle fonction F, on^ autrement dit, il faudra qu'on ait

N étant un j&cteur qui ne contiendra aucune quantité de la nature de f et f'y et ne variera plus avec l'unité de force.

Quelquefois le principe de l'homogénéité des quantités paraîtra n'avoir pas lieu, parce qu'on aura pris pour unité de force l'une des forces que l'on considère dans la question , ^u bien pour unité linéaire la distance de deux des points matériels dont on s'occupe^ ou bien pour unité de masse celle de l'un des corps du problème, etc. Mais, alors, si l'on change arbitrairement ces unités, et que la force, la ligne, la masse, le temps, qu'on avait d'abord pris pour unités, soient maintenant exprimés par ^, ^i, /t^^ ô, les autres quantités de ces diOerentes natures qui entrent

dans l'équation {c^ deviendront ^, —,...-,- ,

— 1 — 9 • • • r ' T > • • • ^ îl faudra donc qu'on ait

4i TRAITÉ DE UÉGANIQUE.

équation qu'on pourra écrire ainsi

et qui devra maintenant satis&ire à la condition de l'homogénéité : F, indique ici une fonction qui se déduira, dans chaque cas, de la fonction donnée F.

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