P : Q :: OF : OE
en sorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions, d'un point quelconque appartenant à la direction de la résultante. Réciproquement, si les composantes P et Q sont en raison inverse des perpendiculaires OE et OF, abaissées sur leurs directions, d'un point 0 pris dans leur plan, ce point appartiendra à la direction de la résultante ; car , en divisant par MO les deux derniers termes de la dernière proportion,^ on obtient la précédente, qui détermine cette direction.
5o. La résultante de deux forces étant connue , il est aisé d en déduire celle d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées ou non situées dans un même plau. On prendra d'abord la résultante de deux de ces forces; ensuite, on composera cette résultante avec une troisième force , ce qui donnera une seconde résultante, que l'on composera de même avec une quatrième force; et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. Dans cette construction , il est aisé de voir que si les grandeurs de toutes les forces sont représentées par les côtés d'une portion de polygone, parallèles à leurs directions et tracés dans le sens de leurs actions, la résultante sera représentée, en gran-^
denr et en direction^ par la droite qai joindra les deux extrémités de cette ligne brisée et fermera le polygone. L'ordre dans lequel les côtés parallèles aux forces se succéderont sera indifférent. Quand le polygone se fermera de lui-même^ là- résultante sera nulle y et les forces données se feront équilibre.
11 sait de là que quand les forces données sont au nombre de trois ^ non situées dans un même plan> leur résultante est> en grandeur et en direction, là diagonale du parallélépipède dont ces trois forces sont les côtés adjacens.
3f . On peut effectuer dVne manière plus simple cette réduction d'un nombre quelconque de forces â une seule ^ en considérant d abord le cas particulier dé trois forces rectangulaires, auquel on ramène en^ suite le cas général.
Soient X, Y, Z, les trois composantes, R leur résultante, a, b, c,\es angles qu'elle fait avec X, Y, Zl D après ce qu'on vient de voir , R est la diagonale du parallélépipède dont X, Y, Z, sont les trois cô« tés adjacens ; or, ce parallélépipède étant rectangle , il s'ensuit qu'on aura
Il s'ensuit aussi que si Ton joint l'extrémité de la diagonale R à celles des trois côtés X ^ Y, Z , on formera trois triangles rectangles, dont R sera Thypo-^ ténuse commune; d'où l'on conclura
X = R cos fl , Y = R cos ft , Z = R cos c j (b)
équations qui s'accordent avec la précédente, à cause
qae les trois angles a, b, c , sont liés entre eux par
cette équation {n^ 6)
cos* a + cos' b + cos* c = i .
Lorsque les composantes X ^ Y, Z , seront don-* nées , réquation {a) fera connaître la valeur de la résultante y et les équations {b) en détermineront la direction au moyen des trois angles a, b, c } si, sm contraire^ la force R est donnée^ et qu'il s'agisse de la décomposer en trois forces rectangulaires X, Y, Z, qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c^ les valeurs des forces demandées seront immédiatement déterminées par les équations (b).
Si Tune des composantes, la force Z par exemple, est nulle, R n'est plus la résultante que des deux forces X et Y; elle est comprise dans leur plan, et sa direction dépend seulement des deux angles a et b. Ces angles et la valeur de R sont alors déterminés par les équations
R*=:X* + Y% X = Rcosa, Y=Rcos6.
32. Supposons actueUement que M (fig. i'*) soit le point d'application d'un nombre quelconque de forces données. Représentons ces forces par P, P^, F', etc.; et, pour fixer les idées, supposons que la droite MD soit la direction de la force P. Les directions des autres forces sont inutiles à indiquer dans la figure. Soient ot , f , ^ , les angles que fait la direction MD avec les trois axes rectangulaires MA , MB , M€, menés arbitrairement par le point M. Désignons de même par cl\ €', y', les angles que fait la fdrce F'
avec ces mêmes axes; par a^, C% >', ceux qui répondent à la force P*j etc. Tous ces angles sont donnés et doivent s'étendre depuis zéro jusqu'à i8o* (n* 7), afin que les forces P, P', P', etc., puissent avoir foutes les positions possibles autour du point' M.
Décomposonschacone de ces fdf ces eii trois afutres di« rigées stiivant les axes MA , MB, MC. Les composantes de la force P seront P cos a^ P cos ff, P cos 3. j celles dcf la force P' seront P'cosa', P'cosC Fcoe^; etc.; et ces composantes agiront suivant les ax^s ou suivant leurs prolongemens, selon qu'elles seront positives ou négatives. Par exemple, la direction MD tombant, ainsi que l'axe MC, auniessus du plan AMB des deux autres axes, la composante P cos y de k force P tend à élever le point M, c'est-à-dire qu'elle agit suivant MC; et, dans ce cas, P cos 3^ est une quantité positive, puisqu'on sl y <C g(f. Au contraire, si cette direction MD tombait au-dessous du plan AMB, on aurait y '> 90^; la eoih^ posante P cos y serait négative, et , en mêmef temps, eDe tendrait à abaisser le point M, c'est-à-dire qu'elle agirait suivant le prolongement de MC. En ayant donc égard aux signes des composantes, ou voit, d'après ce qu'on a dit dans le n"* 24, que toutes les forces dirigées suivant un mêiiie axe et son prolongement se réduisent à une seule, égale à leur somme.
De cette manière , les forcés données P, F, P", ete., seront remplacées par trois forcée rectangulaires ; et en désignant celles-ct par X, Y, Z, on aura
X = Pcosa + Fcosa'+F'cosa''+etc. , 1
Y = Pcosff + Fcosff'+P"cose"4-etc., > (c)
Z =Pcos5.4-P'cos>'+P"cosy'+elc. î
Les valeurs de X , Y, Z, pourront être positives ou négatives^ et leurs signes feront connaître le sens de leur action. Si la force X est positive^ c'est qu'dle agit suivant Taxe MA ou dans le sens des composantes Pcosât, V cosa\ etc., *qui sont positives; si elle est négative, il en faut conclure qu'elle agit suivant le prolongement de MA ou dans le sens des composantes négatives ; et de même pour les forces Y et Z.
Gela posé , soit R la résultante des forces données P, P', P", etc., ou des trois forces X, Y, Z; soient aussi a,b,c, les angles que sa direction inconnue fiait avec les axes MA, MB, MG. Les valeurs de R, a, b, c, seront données par les. équations (à) et (6), dans lesquelles on mettra les formules (c) à la place de X, Y, Z. Les angles a, b, c, pourront être algos ou obtus ; à cause que la force R doit toujours être une quantité positive, les signes de leurs cosinus seront les mêmes que ceux des quantités X, Y, Z, en vertu des équations (b). De cette manière, la force R sera complètement déterminée en grandeur et en direction.
55. La grandeur de la résultante R ne saurait dépendre de la direction arbitraire des axes MA, MB, MG ; elle dépend seulement de la grandeur des forces données et des angles compris entre leurs directions; et, en effet, on en peut trouver une expression qui ne contienne que ces quantités.
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Sg
Pour cela , désignons par PMP', PMP'', FMP", etc. , les angles compris entre les directions des forces P et P', P et P", F et F', etc. D'après l'équation (2) du n* g^ nous aurons
cos PMP' == cos « cos et' -f- cos ^ cos €' 4- cos y cos y,
cos PMF'= cos CL cos et!' + cos € cos ^+ cos y cos y",
cosP'MF= cos a'cos «"-j-cos ^'cos C"+ ^o* y'^^^ ^'f etc.
Nous aurons aussi
cos* a -j- cos* € + cos* 5^ = i , cos*a'+ cos' ff'-|- cos' y = I , cos' a"+ cos' €"+ cos' >"= t , etc. ;
et^ cela étant, si l'on ajoute les carrés des formules (c), et qu'on ait égard à l'équation (a), il vient
R' s= P' + F' + P'" + etc.
+ 2PP' cos PMP' + 2VF' cosP MP'' + aPT'' cos FMP" 4- etc. ,
pour le carré de la valeur de R dont il s'agit.
34* On déduit aussi des équations (b) et (c) une propriété de la résultante , qui nous sera utile dans an des numéros suivans.
Dans une direction quelconque, je mène par le point M une droite, dont j'appelle 0 l'autre extrémité. Soient g, h, k, les angles ÂMO, BMO, CMO, que cette droite fait avec les trois axes MA, MB, MC. Désignons par RMO, PMO, PTMO, etc., les an-^
6d TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
gles compris entre cette même droite MO et ]6s directions des forces R, P, P', P", etc. j on aura, comme tout à l'heure ,
cos RMO = cos g cos a + cos h cos b + cos k cos c ,
cosPMO =!= cosg:co$tt-f-cosftcdâ^ + cos A: cos 5.,
cos P'MO= cos g cos a'+ cos h cos ^'+ ^^ ^ ^^ >^ etc.
D après la première de ces formules et les équations (b), on aura
R cos RMO sXcosg + YcosA + ZcosA:;
et, en vertu des formules suivantes, si Ton ajoute les équations (c) après les avoir multipliées, la première par cosg", la deuxième par cos h, la troisième par cosXr, il en résultera
R cos RMO = Pcos PMO +P' cos P'MO-f- etc. ;
ce qui montre déjà que la composante de la résultante R, suivant une direction quelconque MO, est égale à la somme des composantes de P, P', P", etc., suivant cette même direction.
Cela posé, je projette la droite MO sur les directions des forces R, P, P', P^ etc- ; j'appelle r, p, p', y, etc.^ ses projections, de sorte qu'on ait
r= MO cos RMO,
p = MO cos PMO , p'= MO cos FMO, etc. ,
en considérant chacune des quantités r, p, p', ^, etc. , comme positive ou comme négative , selon que la projection qu'elle représente tombe sur
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 6i
la direction même de la force ou sur son prolongement. Si donc on multiplie par MO Tëquation précédente, on aura
Rr = P/i-|-Py + Fy'+elc.; (d)
ce qui renferme la propriété de la résultante qu'il s'agissait de démontrer.
55. Pour que les forces P, P', P", etc. , soient ea équilibre, il suffit que leur résultante R soit nulle, et cette condition est nécessaire si leur point d'application M est entièrement libre; mais l'équation R=:o^ ou
ne peut ayoir lieu, à moins qu'on n'ait séparément
X = o, Y=:o, Zs=o,
c'est-à-dire, en vertu des équations (c),
Pcosa+P'cosa' + F'cosa"-|-etc. = o, ) Pco8Ç+Fcose' + F'cosC' + etc. = o, > (e) Pcos>«JrFcosyH-P"co$y' + etc.=:o. )
Telles sont donc les équations cP équilibre d'un point matériel qu'on suppose entièrement libre. Dans cet 'état, chacune des forces qui le sollicitent doit être égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres ; c'est, en effet, ce qu'il est aisé de yérifier.
Soit R' la résultante des forces P', F', etc. Appelons rt', b% c% les angles qu elle fait avec les axe» MA, MB, MC, et faisons, pour abréger.
X' == F cas et' + P" cos a!' + etc; , r=FcoôS' + P"cosC' + elc., Z' =Fcos>' + P"cos y + etc. j
nous aurons^ d'après le n** 32 ,
X' = R'cosa', Y' = R'cos6', Z' = R'cosc%
et par conséquent^ en vertu des équations d'équilibre,
P cos fit = — R' cos a\
Pcosff= — R'cos*',
P cos 7<= — R'cos c\
En ajoutant ces équations , après avoir élevé leurs deux membres au carré, on a
à cause de ( n^ 6 )
cos' CL + cos' ff -f- cos' 7^ =s I ,
cos' a'+cos' 6'-|- c^s* c'= I ;
on aura donc Ps dbR'; mais comme ces forces doivent être toutes deux des quantités positives , il faut prendre P = R'. Les équations précédentes deviennent, alors
cosa=— cosa', cosf=: — cos 6', cos 5/ = — cosc';
par conséquent, les angles cl^ C,y, sont supplémens de a% V y d y et répondent à une force dont la direction est le prolongement de la force R' ( n^ 7 ). Il s'ensuit donc que la force P est égale et directement opposée à la résultante R' de toutes les autres forces P', P", etc. ; ce qu'il s'agissait de vérifier, .
36. Si le point M^ auquel sont appliquées les forœs P, P', P", etc. , est assujetti à rester sur une surface donnée^ il ne sera plus nécessaire, pour l'équilibre^ que leur résultante soit nulle; il sufEra qu'elle soit normale à la surface, puisqu'alors elle ne pourra faire glisser le point M dans aucun sens sur cette surface; et^ de plus^ cette condition sera nécessaire; car si elle n'était pas remplie, la résultante se décomposerait en deux forces, l'une normale à la surface et qui serait détruite, l'autre tangente et que rien n'empêcherait de faire glisser le mobile. On n'aurait donc qu'à chercher, dans chaque cas, la direction de la résultante des forces P, F, P^', etc., et à examiner si elle est perpendiculaire à la sur£sice donnée^ pour savoir si l'équilibre existera; mais il yant mieux , comme nous venons de le faire pour un point libre, exprimer les conditions de l'équilibre par des équations entre les données de la question.
Or^ la composante normale de chacune des forcesqui agissent sur le point M est détruite par la résistance de la surface ; par conséquent, cette résistance équivaut à une force égale et contraire à la totalité des forces détruites. On conçoit donc que l'on peut faire abs-^ traction de la surface donnée y et considérer le point matériel comme entièrement libre , pourvu que l'on joigne aux forces données P, P', P'^ etc. , une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculaire à cette surface.
Soient donc N cette force, et A, jt^, y, les angles que sa direction fait avec les axes IVIA, MB^ MG; chacune des équations d'équilibre qu'on vient de trouver
sera augmentée d un nouyeau terme ^ de sorte qu'aux
Heu des équations (e) , on aura
NcosX+Pcosa+Fcosa'+P"cosa"H-etc.=oJ Ncos/t+Pcos eH-Fcos^'+P^'cosÇ'+ etc.=o, ' (/) Ncos v-\-T?cosy+V^cosy-\-Vcosy+eic.=iO. |
Je désigne par Xfjr,z,hs trois coordonnées de M i^pportées à des axes parallèles à MA, MB, MC , et par Lss=o l'équation de la surface donnée; la direction de la force N étant , par hypothèse, celle de la normale au point M, on aura, d'après les équations (5) du no 21,
COSA = V^, COSAt=V^, COSV=:V^,
en faisant > pour abréger^
Le signe de V sera inconnu, parce qu'on ne sait pas d'avance suivant quelle partie de la normale doit être dirigée la force N; mais V disparaît lorsqu'on élimine N entre les équations (/) ; et si l'on a ^^rd aux formules [c) , on trouve
pour les deux équations nécessaires et suffisantes de l'équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface donnée^
3<^. Si la position de ce point sur cette surface n est pas connue, les équations (g) , jointes à l'équa-
lion donnée L=o^ serviront à déterminer les coordonnées des différens points de cette snrfiatce , où le mobile pourra demeni^r en équilibre. Lorsque sa position sera donnée^ on aura seulement a vérifier si les coordonnées x^jr, z, des points d'application des forces données satisfont aux équations (g). Mais^ dans ce cas , on aura des équations plus simples en faisant coînciderrundesaxesMA, MB, MC, le premier, par exemple, avec l'une des deux parties de la normale ; d'on il résultera
cos X = ± 1 , cos ft =£= o , cos v = o }
ce qui cbange les équations (y) en celles-ci :
±N + Pcosa + P'cosa'4-P"cosa"H-etc. = o, p cos^ + Fcos ^' + P'^cos C' + etc. =o, P cos > 4- F cos y + P"cos >'' + etc. = o.
Ces denx dernières équations font voir, ce qui est d ailleurs évident, que dans le plan tangent à la surftce donnée , les composantes des forces appliquées au mobile doivent se faire équilibre , comme si cette surface n'existait pas.
La résistance N, que la surface oppose aux forces P, P', P", etc. , est égale et contraire à Xapression qu'elle en éprouve. En vertu des équations {f^^ cette pression, dans l'état d'équilibre, est la résultante même de ces forces. Dans la pratique , il en faudra calculer la grandeur au mojen de l'équation (a) , pour savoir si la surface est capable de la supporter. Si le mobile est seulement. posé sur cette surface, qui sera celle d'un corps solide, il faudra , de pins, que le sens de cette pression soit tel qu'elle appuie le mobile sur I. 5
-66 TKAtTÈ m; MÉCANIQUE,
cette surface ; conditkm q«i ne peut être ex|irmiée pat* une éqteatiovi, M qu'on devra vérifier dans chaque cas, en dëlertninant lîi direction de tefte force d'après les équations {i). Cette vérificaiiou se fera plus simplement au moyen de la première des trois équations précédentes,
£n effet, supposons^ pour fî^xer les idées, que la partie de latiormale avec laquelle on a fait coïncider Taxe MA , soit la partie située dans la concavité de la surface. On saura si les angles donnés a, et% a!', letc, sont aigus ou obtus; et le signe de la aomnae X des composantes dirigées suivant cette droite sera connu. La quantité N devant être positive, il faudra, dans 1 équation dont il s'agît , c'est-à-dirè ,
prendre le àgne «^ou le signe '+'deYaiit N^ sdou que la somme X sera positive ou négative. Dans le premier cas , on aura cos X ss -^ i , et la pression contraire à N sera dirigée suivant MA ; dans >le second cas , on aura cos A = i , et la pression agira suivant le prolongement de oette partie déterminée de la normale.
58. Lorsque le point matériel M surlequeLagisscnt les forces P , P', P", etc. , sera assuj'^ti k rester sur deux surfaces données ou sur leur courbe d'intersection , il suffira , pour l'équilibre , que la résultante de toutes ces forces puisse se décomposer eit deux forces perpendiculaires aux sur&ces données, et qui seront détruites par leurs résistances. En joignant donc aux forces P, P', F', etc. , ^eux forces tior-
maies à .ces surâures, mais inconnues ea grandeur , on pourra faire abstraction des sar&ces, et considérer le mobHe comme entièrement libre.
N et N' étant doooc ces nouvelles forces ; x ^ /ce , v , les angles qui détemùnent la direction de N pariapport aux axes MA, MB, MC^ et ?/, fjJ^ y', ceux qui déterminent de même la direction de N^; les équations (e) deviendront
NcosA -f-N'cosA'-f-Pcosa+P'cos a'-|- etc.=o, ) Ncos;x4-N'cosju'+Pcosff+P'cosff'+etc.=o,> (A) Ncos y -t-N'cos /-|-Pcos7-|-P'cos>'+ etc,=o. J
D^aîUears^ en représetitant par x, j^, z, les coordonnées du point M rapportées à des ^xes parallèles à MA, MB, MC, et par L = o et L' := o, les équations des deux surfaces données, les valeurs de cos A, oes^, cos y, seront les méikies que précédemment, et celles de cos A', cos ju', cos p'j s'en déduiront en y cbaogeant L en L^ Si Ton snbstitae ces valeurs dans les trois équations (h) , et qu'on élimine ensuite N et N' entre elles, on aura l'équation d'équilibre à laquelle devront satisfaire les forces données P, P', F', etc. ; on bien, si la position du mobile n^est pas «donnée sor Tinlerseotion des deux surfaces , cette équation d'équilibre, et leséquations L=o et L'=:o, détermineront ses trois coordonnées x,jr^ z.
Quand la portion du mobile est donnée sur la courbe on il doit rester, on obtient immédiatement Téquation d'équilibre des forces P, P', P", etc., en poenaut les axes MB et MC , auxquels répondent les angles /t, C, €', etc., v, y, y% etc. , dans le plan des
normales aux deux surfaces données. Le troisième axe MA tombe alors sur la tangente à leur courbe d'intersection ; il est donc perpendiculaire aux forces normales N et N'j en sorte que Ton a  = 90*, X' = go**, et , en vertu de la première équation (A),
P cos a 4- P' cos k + F cos a" + etc. = o ,
pour Téquation demandée. .
Cette équation exprime que la somme des composantes de P, P'," P", etc., tangentes a l'intersection des deux surfaces données , est égale à zéro; ce qui est, en effet , la condition pour que le point M ne puisse pas glisser sur cette courbe. Après s'être assuré qu'elle est remplie , on déterminera les valeurs des forces N et N', et le sens dans lequel elles agissent, au moyen des deux dernières équatipns (A). Si l'on prend ensuite des forces égales et contraires à N et N', et qu'on les réduise à une seule par la règle du parallélo* gramme des forces, celle-ci sera la résultante des forces P, P', P", etc., et fera connaître la pression exercée sur la courbe donnée, à laquelle elle sera perpendiculaire.
39. Par ce qui précède, on voit que quand le mobile est astreint à demeurer sur une courbe donnée, il n'y a qu'une équation d'équilibre ; qu'il y en a deux lorsqu'il peut se mouvoir sur une surface donnée, et trois lorsqu'il est entièrement libre; en sorte que le nombre de ces équations augmente , comme cela doit être effectivement, à mesure que les mouvemens possibles du mobile sont moins limita. C^ diverses équations peuvent être renfermées dans une
seule formule , qui deviendra^ par la suite , l^ua-lion générale de l'équilibre , applicable à un système quelconque de points matériels.
Pour obtenir cette formule , supposons que le mobile soit transporté d'un point M, qu'il occupe dans sa position d'équilibre , en un autre point 0 infiniment Toisin de M, et tel que ce déplacement soit compatible avec la condition à laquelle le mobile est assujetti , s'il n'est pas entièrement libre. Désignons par r, p, p\ /?", etc. , les projections de la droite infiniment petite MO sur les directions des forces R , P, P% P'', etc., dans la première position du mobile; et considérons chacune de ces projections comme une quantité positive ou négative, selon qu'elle tombe sur la direction même de la force à laquelle elle répond , ou sur son pl*olongement. Si l'on sup^ pose que la force R soit la résultante des forces P , P', P% etc. , le produit Rr sera toujours nul \îans le cas de l'équilibre : il sera nul pour un point matériel entièrement libre, parce qu'alors la résultante R devra être égale à zéro ; il le sera encore pour un point as-» sujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée , parce que , d'une part , la force R devra être dirigée suivant la normale, et que, d'un autre côté, la droite infiniment petite MO appartiendra au plan tangent ou à la tangente, ce qui rendra nulle sa pro<rjection r sur la direction R. D'après l'équation Çd) , qu'on a démontrée précédemment, et qui a également lieu quand la droite MO est infiniment petite , on aura donc
. Yp + py + ?Y + e^c- = ^ ^ i^)
7a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
toutes* les foi» que les forces P, F, F', etc. , se feront ëquiKbre. Réciproquement ^ rëquitibi^ exktera quand cette équation aura lieu pour tous les déplacemens possibles d'un point matériel entièrement libre, ou astreint à rester sur une surface ou sur une courbe donnée.
On appelle vitesse virtuelle d'un point matériel en équilibre toute droite infiniment petite, telle que MO^ qu'on peut lui faire décrire^ en obseryant les conditions auxquelles il peut être assujetti; et le pnncipe d'équilibre contenu dans l'équation qu'ont vient d'écrire, sur lequel nous reviendrons par la suite , se nomnoe le principe des vitesses virtuelles. En l'appliquant successivement à un poiut matériel entièrement libre, assujetti à rester sur une surface, astreint à demeurer sur une courbe , on retrouvera sans difficulté les équations d'équilibre que nous avons précédemment obtenues. Chacune des équations (e) se déduira de la formule (i), en prenant pour MO le déplacement de M sur l'un des axes MA, MB, MC; on obtiendra les équations d'équilibre qui ont lieu dans le cas d'un point assujetti à rester sur une surface donnée , en considérant ses déplacemens suivant deux axes tracés dans le plan tangent; et la formule (z) fournit immédiatement l'équation d^équilibre d'un point astreint à rester sur une courbe donnée, en prenant pour MO l'élément de cette courbe, et pour /?, p'y /?", etc., les projections de cet élément sur les directions des forces P, P', P", etc. Les angles que ces directions font avec la tangente à la courbe étant a ,,
STATIQUE, ÏBJEMDÈRB PARTIE: 71
et', a", etc-, on aura alors
p = MO cos a , p'= MO cos et! y p"= MO cos a", elc. ;
en. supprimant 1q fâc:te«ir MO commun à tous les termes de l'ëquation (f ) , il en résultera
P cos a + P'cos o! + P" cos a'' -f- etc. = o ,
cQnuue précédemment.
-^ iniit^
