GL = LH = LM

Les deux parallélogrammes GLMN et HLMO sont

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 5i

donc des. losanges ;* par conséquent^ d'après la proposition précédente, la force MG pourra être regardée comme la résultante des deux forces MN et ML, et la force MH comme la résultante de MO et ML. Donc, en substituant aux deux forces données leurs composantes, nous aurons, au lieu de MH et MG , les deux forces MN et MO, qui se détruisent, puisqu'elles sont. égales et contraires, et les deux forces BAL, qui s'ajoutent et donnent une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Dans le second cas, menons par les points G et H (fîg. 8) les perpendiculaires GE et HF à la diagonale MK, et les parallèles GN et HO à cette même droite; par le point M, menons aussi la perpendiculaire NMO à cette droite MK. Ijes deux parallélogrammes GEMN et HFMO seront des rectangles qui auront leurs côtés MN et MO égaux, comme étant les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK. D'après le premier cas, on pourra remplacer les forces MG et MH par leurs composantes rectangulaires M£ et MN , MF et MO; au lieu des deux forces données, on aura donc les deux forces MN et MO, qui se détruiront , comme étant égales et contraires , et les deux forces ME et MF de même direction , qui s'ajouteront et donneront, à cause de ME = FK, une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Concluons donc que la résultante de deux forces quelconques, appliquées en un même point et représentées par des lignes prises sur leurs directions à

partir de ce point, est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélogramme Gonstrnit sur les deux forces données.

39. Voici les conséquences qui se déduisent le plus immédiatement de ce théorème.

On Yoit d'abord que toutes les questions qu'on peut proposer sur la composition de deux forces en une seulfs et sur la décomposition d'une force en deux autres, sont ramenées à la résolution d'un triangle. En effet, les grandeurs de la résultante et des deux composantes sont représentées par les trois côtés MK, MG , GK, du triangle MGK; et les trois angles de ce triangle sont ceux que fait la résultante avec chacune des composantes et le supplément de l'angle compris entre les deux composantes. U s'ensuit donc que trois de ces six choses, les trois forces et les trois angles compris entre leurs directions, étant données, ou trouvera les trois autres en résolvant le triangle MGK ; ce qui suppose une force au moins au nombre des données. Par exemple, soient P et Q les valeurs des deux composantes, et m-l'aiigle compris entre leurs directions ; on demande leur résultante R et l'angle x qu'elle fait avec la force P. On aura d'abord l'équation

R* = P*+Q»+2PQcosw,

pour déterminer la valeur de R 3 et celle de x se déduira de cette proportion :

sin X : sin w :: Q : R.

Si l'équilibre a lieu entre trois forces P, Q, S, ap-

pliquëes en un même point M (fig. g), suivant les directions MA, MB, MC, il faut que chacune de ces forces soit égale et directement opposée à la résultante des deux autres; et comme cette résultante est comprise dans le plan de ces deux forces, il s'ensuit d*abord que les trois forces données doivent aussi être diins un même plan. Soit MD le prolongement de MC; la résultante de P et Q sera dirigée suivant MD^ et Û on Id représente pBt R, on aura R == S. DVnlIenrs, en comparant la force R à chacune de ses eamposAntes, ùh a, d'après Ce qu'on vient dédire,

R : Q :: sin AMB : sîn AMD , R : P :; sin AMB : sin BMD;

à cause de

sinAMD = sinÂMG, sin BMD = sin BMC, il en résultera donc

S : Q : P :: sin AMB : sin AMC : sin BMC;

Ce <|ai mctotre que quand trois forces sont en équilibre autour d'un même point , la grandeur de chacune d'elles peut être représentée par le sinus de l'angle compris entre les directions des deux autres.

Du point 0, pris sur la direction de la résultante R ou Sur son prolongement , j'abaisse des perpendiculaires 0£ et OF sur les directions des composantes P et Q; on aura

()È = MOsînAMD, OF = MOsinBMD.

Si donc on multiplie par MO les deux derniers

teignes de la proportion

P : Q :: sin BMD : sin AMD,

il en résultera