P : Q :: FO : EO

ce qui fera, connaître la position du point 0, qu'oa pourra prendre pour le point d'application de la résultante R.

On en déduit aussi

P : Q =b P :: FO : EF, Q : Q =b P :: EO : EF;

les signes supérieurs se rapportant à la figure 19 9 et les signes inférieurs à la figure 26; en ayant égard a la valeur précédente de R, on aura donc, dans les deux cas,

P : Q : R :: FO : EO : EFj

ce qui montre que chacune des trois forces P, Q> R^ est proportionnelle à la distance comprise entre les points d'application des deux autres.

Cette proportion, et, par suite, la position du point 0 , sont indépendantes de l'angle sous lequelles directions des forces données sont coupées par la ligne EF , qui peut être une droite quelconque aboutissant par ses extrémités à ces deux directions.

5i. On résoudra maintenant, sans aucune diffi-

coltéy toutes les questions qui peuvent se pvésenter sur la composition de deux forces parallèles eu une seule et sur la décomposition dune force en deux autres qui lui soient parallèles. Nous n'entrerons dans aucun détail à ce sujet; et nous ne reviendrons pas non plus sur le cas particulier des forces égales et non directement opposées^ que nous avons exclu de la démonstration précédente , et qui a été suffisamment examiné dans le n"* 44*

Je vais actuellement considérer un nombre quelconque de forces parallèles ^ dont une partie agit dans un sens et l'autre partie dans le sens opposé, qui sont situées ou non situées dans un même plan , et appliquées à des points liés entre eux d'une manière invariable, par exemple, à différens points d'un corps solide.

ÏA composant deux de ces forces en une seule , puis celle-ci et une troisième encore en une seule, et ainsi de suite, on parviendra à déterminer la grandeur et la position dans l'espace de la résultante de toutes les forces données, à moins que les deux dernières forces qu'on aura à considérer ne tombent dans le cas d'e'xception du n** 44* Cette résultante sera évidemment parallèle à la direction ^ commune des composantes ; de plus , elle sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins la somme de celles qui agissent en sens contraire , et elle agira dans le sens de la plus grande somme. Si donc on regarde les unes comme des quantités positives, et les autres comme des quantités négatives ( n** n ) ; qu'on les représente

Gçogle

g4 TftAITÉ DE MÉCANIQUE.

toates par P, P', P*', etc. , et leur résaltante par R ,

on aura toujours

R = P+P'H-P^ + etc.

5a. Si les force$ données Tiennent à tourner autour de leurs points d'application sans cesser d'être parallèles, leur résultante tournera auasi autour d'un des points de sa direction ; car son point d'application , qu^on trouve en composant successivement les forces données ^ comme- on vient de l'indiquer y ne dépend en aucune manière de la direction commune de ces forces^ et reste, conséqueminent , le même quand cette direction vient à changer.

Ainsi y par exemple, supposons que les fondés données soient au nombre de trois, P, P', P% dingéés suivant les droites MA, M'A', M'A' (fig. ai). Soît d'abord NB la direction de la résultante de P et P', qui sera égale à P rHP'i soit ensuite N'B' la direction de la résultante <le P + P' et P'; cette dernière force P' étant supposée, dans la figure, agis* santé en sens contraire de P et P', et plus grande que P + P'* Concevons maintenant que les trois fprces P, P', P', tournent autour ^es points M, M^, M', en conservant leur parallélisnt^e et le sens i;e)atif de leuxs actions. Soient Ma, W4J ^ Wa'^ leurs nonvelles directions. Dans ce nouvel état^ la résultante des forces P et P' rencootrera la dixûte MM' au mênie point N qu'auparavant , puisque la position de ce point ne dépend que du rapport des composantes , et nullement de l'angle que la droite MM' fait avec leurs directions (n** 5o) ; elle sera présentement di-

STATIQUE, PIŒMIÈRË PARTIE. 98

rigée suiraût la droite Nfr parallèle à Ma et 'Wa\ et encore égale à P -{- P^ Par la même- raison « la vKultante de P + P' et P rencontrera le prolon^ gement de la droite MM ^ an même point N' qu'au-pâravant^ et sera dirigée suivant une droite ^'b' parallèle à Né ; par conséquent , les trois foroes P ^ P'y V^ tournant autour de leurs points d ap^dicatioa M, M'^ M'y leur résultante tournera aussi autour d^un même point N'.

53. Nous appellerons centre des forces parallèles le point dans lequel viennent se couper toutes les directions successives de la résultante ^ quand ses composantes tournent autour de leurs points d'appli*cation > qu'on suppose invariables.

Ou verra par la suite combien le centre des jfbrces parallèles est important à considf^rer^ surtout dans les questions relatives à Téquilibre et au mouvem^snt des oorps pesans. On peut déjà observer que si un cxNrps solide est sollicité par des forces parallèles quelconques y que Ton détermine le centre de ce^ forces^ et qu^ou le suppose ùxe, l'équilibre aura lieu dans toutes les positions que le corps pourra pren^ dre autour de ce point ^ pourvu que les forces don* nées restent toujours parallèles et appliquées aux mèmeé points de ce corps; car alors leur résultante passera constamment par le point fixe , ce qui suffit pour ^'elle soit détruite.

Lés coordonnées du centre des forces parallèles , rapportées à trois axes rectangulaires, dépendent, comme ou va le voir, des produits de ces forces multipliées par les coordonnées de leurs points d'applica-

gS TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

tion. A cause qae ces produits se présentent dans un grand nombre de cas^ on leur a donné un nom parti* culîer ; on appelle moment ^une force par rapport à un plan, le produit Vie cette force et de sa distance à ce plan. Ainsi ^ P étant l'intensité dune forcé appliquée en un point dont les coordonnées sont x^jr^Zy les produits P2, Pjr, P-^r, seront ses momens par rapport aux plans des x eljr^ des x et 2, des j^ et z. Les momens de cette espèce n'ont rien de commun , en général^ avec les momens par rapport à un point x]u'on a définis dans le n^ 4^^ Ceux-ci dépendent de la direction de la force , et sont indépéndans de son point d'application; les momens par rapport à un plan dépendent y au contraire, de la position du point d'application de la force, et sont indépéndans de sa direction. On ne fait usage des derniers qae dans le cas des forces parallèles; en sorte qu'ils peuvent être des quantités positives ou négatives, à raison du signe de la force et des coordonnées du point où elle est appliquée.

54* Soient M, M^ M', etc. (fig. ^a), ie^ points d'application des forces parallèles P, P', P^, etc., dont il sera inutile d'indiquer les directions. Menons arbitrairement trois axes rectangulaires Ox^ Oj^ Oz, qui seront ceux des coordonnées; désignons par Xp j^, z, les coordonnées de M; par x\ y, z\ celles de M'; par j:% y, z', celles de M% etc.; et supposons que toutes ces coordonnées et ces forces sont des quantités données qui peuvent être positives ou négatives. Soient encore Q, Q', Q^, etc., les projections des points M, M', M', etc., sur le plan des x et /•;

en sorte qu'on ait

MQ^z, M'Q'=2', WQ^^z', etc.

Eofixi, i^préseDtons par x^, j^, ^,1^ troia coQr«> données du centre des forces parallèles dont il s agit de trouver les valeurs.

loL résultante P +P' des deux forces P et P' rencontrera en un point N la droite MM' ou son prolon-* gement^ selon que ces deux forces seront de même signe ou de signe contraire y mais dans les deux cas on aura

F : P + t' :: MN : MM'.

Soit K la projection de N sur le plan des x etjr. Par le point M, menons la parallèle MGH a la droite QBLQ', qui rencontre les droites NK et M'Q' aux points G et H^ de sorte quon ait

MQ s: 6K =: HQ'i on aura aussi