P H- POING = F. M'H

A cette équation , j'ajoute Téquation identique

(P + p')GK = P.MQ + F.HQ';

ce qui donne

(P + PONK ==Pz + Fz^

La résultante des deux forces P + P' et P* rencon-; I. 7

trera en un point N' la droite NM" ou son prolongement, selon que ces deux forces auront le même signe ou des signes contraires; et si K' est la projection de N' sur le plan des x ^l jr^ on trouvera , comme dans le cas précédent ,

(P4.p/4iF';N'K' = (P + P0NK + PV;

par conséquent^ on aura

(P 4- P' + P'O N'K' = Pz + Py + FV.

On continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuise toutes les forces données P, P', P'', etc. ; et si R est leur résultante totale ^ on aura finalement

Rs. = Pz -h PV + P V + etc,

La figure 22 suppose que tous les points M, M', M", etc. , N, N', etc., sont situés d'un même côté du plan des x et jy ou que leurs ordonnées parallèles à l'axe des z sont toutes de Vnême signe ; mais il est aisé de voir que si l'équation précédente est vraie dans ce cas, elle le sera encore lorsque ces ordonnées seront en partie positives et en partie négatives. £a effet, transportons le plan des x et jr, parallèlement à lui-même , à une distance quelconque A de sa position primitive. Par rapport à ce nouveau plan , soient Z, Z', Z", etc., les coordonnées de M, IVT, M", etc. , et Zj celle du centre des forces parallèles , de sorte qu'on ait

Z,=z,— A, Z=z— À, Z'=z'— À, Z"=:z"— À, etc.;

si Ton retranche de l'équation précédente l'équation

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. gg

identique

RA = PÂ + P'A + P"A + etc.,

il en résnltera

RZ. = PZ + P'Z' + P"Z'' + etc. ;

équation dans laquelle les ordonnées Z, Z% Tl\ etc.^ peuvent être positives ou ne'gatives. .

On voit donc que, dans tous les cas, le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles par rapport à un plan choisi arbiti*aire-* ment, est égal à la somme des momens de ces forces par rapport au même plan.

55. En prenant successivement les momens par rapport aux trois plans des coordonnées , on aura , d*apres les notations précédentes ,

Ra:,=Px + PV + PV+etc., j

Rr. = pj + py + py + etc. , ( (i)

Rz. =Pz H-Fz' H-PV + etc. ; \

et à cause de

R = P + F + P"+etc., (a)

les trois coordonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En menant par ce point une droite i>arallèle aux forces données, dans le sens indiqué par le signe de R, on aura la dii-ection de la résultante. Ces quatre équations renfermeront, de la manière la plus générale , la théorie des forces parallèles.

La somme des momens des forces P, P', F', etc., est égale à zéro, par rapport à tout plan passant par le

f oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

centre des forces parallèles; car, en prenant C6 pLin. pour celui des a: et jy il fMdra qu'on ait z. = 0, et^ conséquemment ,

Pz + PV + PV-hetc.

Dans le cas particulier où P, P', P", etc., se réduisent à deux* forces égales, agissant en sens oppose, leur somme R est égale à zéro ; ce qui rend infinies les valeurs de ^1 , ^, , 2,. Le cetitre des forces parallèles est donc dors situé à Tinfini , ou plutôt ce centre tt'existe pas, non plus que la résultante.

56. Lorsque tous les points d'application M , M', M", etc., des forces doiinées sont situés dans ua même plan, il est évident, par la nature du centre des forces parallèles (ti^ 5^), que ce point , s'il exjste, devra aussi se trouver dans ce plan; c'est aussi ce que l'on peut conclure des équations (i) et (â).

En désignant par a, b, c, trois constantes don* nées, on aura, dans ce cas,

Z == OûC + bjr '^ C,

z' = eue' + by -+- Cp z"=: aac"+ bf+ c, etc.

Je substitue ces valeurs de z^ z\ ^\ etc., dans la troi* sième équation (i); il vient

Rz. = (Po: + P V ^ P V + etc.) a + (Pj- + Y y H- Py + etc.) h + (P + F^-P'/ + etc.)c.

En vertu des deux autres équations (i) et de TéqUa-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. loi

lion (:2), on peut remplacer par R^,y R/, , H/ les eoefficîens de a, 6, c; et en supprimant ensuite ie factenr commun R » on a

z.^ax. + bj-. + c;

oe qui montre que 1^ centre des forces parallèles appartMsnt 4tu plan des points M, M^ M'', etc.

I^iorscpie tons ces points sont sur une même ligne droite y ^ee centre s'y trouve également; et il suffit de la première des équations (i) pour déterminer sa posi* tîon, en prenant cette droite pour J'axe des x. Si , de plus, les forces P, F, F', etc., sont perpendiculaires h cetie droite , les momens que nous considérons actuellement se confondent avec les momens par rapport à un point, qui est ici ForigiDe Odes abscisses x, et la première équation (i) coïncide avec Téqua-* tion (i) du n^ 47* ^^ ®^^ ^^^^ ^^ voir, en effet, que parmi les forces données P, P', P", etc., celles qui tendent à faire tourner autour du point 0 dans le même sens que la résultante R, sont toutes les forces qui ont le mên^ signe que leurs diçt^Moces x, <r', af', etc., à ce poiiit, et qoe celles qui Rendent i faire tourner dans le sens oppose sont les forces qui ont un signe contraire à celui de <:es naémes distances; par conséquent, ies momens 4es piremières s'ajoutent, et ceux des dernières se retranchent , conformément à renoncé dn numéro cité.

Sy. Les équations .d équilibre des forces parallèles P, F, F', etc. , se déduisent aisément de la théorie ifaon vient d'exposer.

S'il n'existe aucun point fixe ;dans le système, il

loa TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

faut, pour réquili'bre, qu'en séparant Tune de ceé' forces , par exemple la force P, toutes les autres aient une résultante qui soit égale et directement opposée à P. Soit donc R' la résultante des forces P', P", etc.; . puisque les forces F et R' sont égales et dirigées en sens contraires, elles doivent être égales et de signes difierens, ou, autrement dit, on doit avoir F + 1^' == o* ^^îs R' est la somme des composantes P', P", etc.; il en résulte donc, pour la première équation d'équilibre,

P + F + P" + etc. =o. (a)

Pour exprimer, en outre , que les forces P et R' sont directement opposées, soient et, € , y, les trois coordonnées du centre des forces parallèles P\ P", etc,, de manière qu'on ait

R'ct == P V + P V + etc- ,

R'g = vy + py + etc. ,

K'y = Fz' + PV + etc. •

Ce centre étant le point d'application de leur résul-^ tante R', il sera nécessaire qu'il se trouve sur la direction de la force P, pour que R' soit directement opposée à cette force , ou , ce qui revient au même , ce centre et le point d'application M de la force P doivent être sur une même parallèle à la direction commune des forces données. Si donc on prend, pour plus de simplicité , le plan des a: et jr perpendiculaire à cette direction, il faudra que ces deux points soient situés sur une même perpendiculaire à ce plan ; ils auront alors la même projection sur ce

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io3

fhn ; par conséqaent, leurs coordonnées seront les inêmes parallèlement aux axes des x et j^, de sorte que Ton aura

Je substitue donc j? et j^ à la place de a et ^ dans les deux premières équations précédentes, et, à cause deR' = — P, il vient

Par + P'a;' + F'a:" + etc. = o, 1 ,,. . Pr+F/ + Fy'4-etc.= o; 1 ^^

équations qui signifient que la somme des momens de toutes les forces P, Y y P", est nulle ^ etc., par rapport aux plans des a: et z, et des^ et z, parallèles à leur direction.

Ainsi , réqtiilibre de ces forces exige que les équa* tions (a) et (b) aient lieu en même temps. Réciproquement, quand ces trois équations sont satisfaites , l'équilibre existe y car si Ton considère la résultante R' de toutes ces forces moins une, on aura , en vertu de ces équations,

R'= — P, R'(X = ~P.r, R'e?= — Pjr,

et, par conséquent,

en sorte que cette résultante sera égale et directe-* ment opposée à la force P, qu'on avait omise. Il n'est pas nécessaire, pour cela, que les deux plans par rapport auxquels la somme des momens des forces données est zéro , soient perpendiculaires l'un à

ic4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

l'autre ; il suffit qu'ils soient parallèles à la direction de ces forces ; et Ton peut aussi s'assurer facilement que si cette condition est remplie par rapport k deux plans- parallèles à cette direction , elle le sera également par rapport à tous les autres.

Concluons donc que pour l'équilibre d'un système de forces parallèles , appliquées à un corps solide entièrement libre, il est nécessaire et il suffit,

I**. Que la somme de ces forces soit égale à zéro; a^. Que la somme de leurs momens soit nulle par rapport à deux plans quelconques parall^es à leur direction commune. Quand toutes les forces seront comprises dans un même plan, cette seconde condition sera déjà remplie par rapport à ce plan, et il suffira qu'elle le soit, en outre, par rapport à un autre plan.

58. Si l'un des points de ce corps solide est supposé fixe, il suffira, pour l'équilibre des forces parallèles , que la somme de. leurs momens soit nulle par rapport à deux plans passant par ce point et parallèles à leur direction , et il ne sera plus nécessaire que leur résultante soit égale à zéro ; car alors les distances de cette résultante à ces deux plans seront nulles : elle coïncidera donc avec leur intersection , et sera détruite par la résistance du point fixe.

Lorsque ce point sera le centre des forces parallèles, la somme des momens sera zéro par rapport à tous les plans passant par ce point ; par consé- • quent, les forces données se feront équilibre, quelle que soit leur direction commune; ce que nous savions déjà (n* 55).

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. io5

Si le corps solide est retenu par un axe fixe , autour duquel il ait seulement la liberté de tourner, ii suffira y pour l'équilibre des forces parallèles appliquées en ses différens points, que la somme de leurs momens soit égale à zéro, par rapport au plan mené par cet axe parallèlement à leur direction ; car leur r&ultante tombant alors dans ce plan, elle y rencontrera l'axe fixe, et sera détruite par sa résistance. Lorsque l'axe fixe est lui-même parallèle aux forces données , le plan dont il s'agit est indéterminé ; la condition d'équilibre s'évanouit par conséquent; ce qui doit être , puisque des forces qui sont toutes parallèles à un axe fixe ne peuvent faire tourner un coips solide autour de cette droite , de sorte que , dans ce cas , l'équilibre a lieu indépendamment de leurs intensité et de leurs distances à cet axe.

io6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.