M = DV, P 5= ^DV

Telles sont les équations qui ont lieu entre les cinq quantités P, g^. M, D, Y , dont chacune doit être exprimée numériquement, en la rapportant à une unité de son espèce.

$1. Jje gramjne, ou l'unité de poids, est celui d'iin centimètre cube d'eau distillée et prise à son maximum de densité, qui répond a environ 4* du thermomètre centigrade. Ce poids varie avec le lieu qu'il occupe ; mais comme les poids des autres corps, qu'il sert à peser, varient exactement dans le même rapport, il s'ensuit que le poids d'un corps quelconque , exprimé len grammes, est partout le même , et qu'on n'xi pas besoin de dire en quel endroit il a été déterminé» D'après les expériences de M. HallstrOni , le poids du .centimètre cube d'eau distillée, à la température zéro , est

os^«'n-,99989i8.

STATIQUE, PfiEMIÈRE PA&TIE. 109

Oa pretid communément pour unité de densité, celle de leau distillée à cette dernière température. lies densités d'un grand nombre de substances ont été déterminées par l'expérience, et exprimées 6n nombres an ikioyen de cette unité* Ainsi , par exemple , la densité du mercure à cette même température est

15,5975, et elle augmente ou diminue de

pour chaque degré de diminution ou d'augmentation de la température. La densité de l'air, prise aussi à la tempéra^tore de la glace fondante, sous la pression barométrique de 76 centimètres et h l'Observatoire de Parifi, a été trouvée égale à

et, pour chaque variation d'un degré dans la température, elle varie, en sens contraire , de

comme c^lle de tout autre gax.

Le poids de la colonne de mercure qui exprime la presstion barométrique variant avec la latitude et Vélévation aurdessùs de la surface de la terre, la densité de l'air , soumise à une pression d une hauteur donnée, "mrie en même temps. Voilà pourquoi il ne suffit pas d'assigner cette hauteur; il fsLui encore dire à quel lieu elle se rapporte, comme ici à l'Observatoire de Paris. Le rapport de la densité du mercure à

celle dé Tair^ qui rëpond aux nombres precédens^ est

Dès qu'on attribue un phénomène, tel que la dialeur, par exemple, à une substance matérielle, cette substance est soumise à la pesanteur; et l'expressioa impondérable ne doit s'entendre que d'une matière dont la densité est sî faible, qu^elle échappe à tous nos moyens d'investigation ; en sorte que sa présence n'augmente ni le poids ni la masse mesurables du corps dont elle fait partie, en quelque quantité qu'elle s'y trouve.

62. Les poids sont les forces qui nous sont le pluâ familières, et dont nous pouvons, au moyen de la balance, déterminer les rapports avec le plus d'exactitude et de facilite. C'est pourquoi il est naturel da les faire servir de terme de comparaison aux forces d'une autre nature. Ainsi, lorsque la force musculaire d'un animal, ou tout autre force, agit sur un corps par l'intermédiaire d'une corde attachée à sa surface, nous pouvons toujours concevoir que cette force soit équivalente à un certain poids déterminé, et nous pouvons même , sans changer sa direction , remplacer son action par celle de ce poids, en le suspendant à l'extrémité «de la corde, après avoir fait. passer celle-ci sur une poulie fixe convenablement placée.

Le poids fournit la mesure la plus commode de la masse ; sans le secours de la pesanteur, il serait , en eflet , très difficile de déterminer le rapport des masses de deux corps. On verra par la suite qu'on pourrait^

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. lii

h la rigueur, le conclure du choc mutuel de ces corps; mais il est beaucoup plus simple de remplacer le rapport des masses par celui des poids, auquel il est ^al en chaque lieu de la terre, en vertu dé Tëquatiôn P== g'M. Toutefois, on doit avoir une idée préalable de Fégalitë et du rapport des masses, indëpendamment dé la pesanteur, qui n'est qu'une propriété secondaire des corps, puisqu'elle deviendrait tout — à* fait insensible, sans que les masses eussent changé, en les transportant à une distance sufibamment grande de la terre. Nous reviendrons sur ce point dans un autre endroit de cet ouvrage.

65. Puisque tous les points d'un coirps pesant isônt sollicités par des forces parallèles, il s'ensuit que si on lui £ait prendre successivement diverses positions par rapport à la direction de ces forces, leur résultante passera constamment par un certain point de ce oorps. Ce point, que nous avons appelé , en général, centre des forces parallèles (d? 55) , prend ici le nom particulier de centre de gra^fité. Sa propriété caractéristique dans les corps solides, qui ne sont soumis qu'à la seule action de la pesanteur , consiste eu ce que , s'il est supposé fixe , le corps auquel il ap-> partient reste en équilibre dans toutes les positions possibles autour de ce point, puisque, dans toutes ces positions, la résultante des forces appliquées à tous les points du corps vient passer par le point fite.

On conçoit aussi que quand un corpis solide pe- ^ut est retenu par un autre point fixe , il est nécessaire et il suffit, pojçir l'équilibre, que la droite

qui joint ce point et le centre de gravite soit ver^^ ticale; ce centre pouvant d'ailleurs se trouver au* dessus ou au-dessous du point fixe* En efiet^ le poids du corps étant une force verticale appliquée à son centre de gravité, sa direction coïncidera^ dans œtte hypothèse, avec la droite qui joint ce centre. et le point fixe, ou avec son prolongement i par consé^ quehty cette force sera détraite par la résistance du point fixe» comme si elle y était immédiatementiap* pliquée*

Far U même raison, si Ton suspend an corps solide pesant à un point fixe, par le moyen d'un fii dont l'extrémité inférieure est attachée à un point de sa surface, la direction de ce fil sera verticale dans l'état d'équilibre, et son prolongement ira pas^ ser par le centre de gravité du corps. U en eera de même si l'on suspend , une ou plusieurs autres fois, ce même corps au point fixe^ en attachant rextrémite inférieure du fil à d'antres points de sa surface* Les prolongemens du fil, tracà successivenouent dans Tin^ térieur du oorps, s'y couperont à son centre de gra*^ vitéj ce qui fournit un moyen pratique de deter^ miner la position de ce centre dans un corps de forme quelconque, homogène ou. hétérogène.

Dans toutes les questions d'équilibre relatives à un corps solide, on pourra faire abstraction de la pesanteur de ses diverses parties, pourvu qu'on ajoute aux autres forces données qui agissent. sur ce corps, une force égale à son poids, et appliquée verticalement à son centre de gravité.. Ainsi , par exemple, dans le cas de l'équilibre du levier, il fan*

dra comprendre au nombre des forces données dont . la somme des momens doit être nulle, par rapport au point d'appui (n"" 47)9 ^^ poids du levier agissant à son centre de gravité suivant la direction de la pesanteur.

64* Lorsque Ton connaît les centres de gravité G et G' des deux parties d'un corps, et leurs poids p et p% on en déduit immédiatement le centre de gra^^ vite K de ce corps j car ce centre est le point d'application sur la droite GG', de la résultante des forces parallèlea^p et p'y qui agissent dans le même sens à ses extrémités G et G'; et, pour en déterminer la position, on a conséquemment

GK : GG' :: p' i p + p'.

De même, si Von connaît les centres de gravité K et G d'un corps et de l'une de ses parties, et que les poids du corps et de cette partie soient P et /i , on en conclura le centre de gravité Çr' de l'autre partie ; car ce point sera situé au-delà du point K sur le prolongement de la droite GK, et sa distance au point G sera déterminée par la proportion

GG' : GK :: P : P — p.

. Si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont les poids et les centres de gravité soient connus, on en pourra déduire son centre de gravité par une suite de proportions; mais il conviendra mieux de déterminer ses trois coordonnées au moyen du théorème relatif aux momens des forces parallèles (n^ 54).

fi4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Soient, pour cela, p, p', p'\ etc.* les poids des^ différentes parties da corps, et P son poids total , de sorte qu on ait

P = P +?' + />" + etc.

Soient aussi a:, jr^z, les coordonnées du centre de gravité de la partie dont p est le poids; oc\y^ z'y celles du centre de gravité de la partie dont le poids est p' ; etc. Toutes ces quantités seront données par hypothèse; et si Ton appelle a:., j^, , z,, les coordonnées du centre de gravité du corps entier, rapportées aux méraes axes que les précédentes, on aura, d'après le théorème cité,

Vx^ =/Mc +7?'jrr' + /j V + etc. ,

i!r. = pr +py +pY + etc. ,

Pz, =/iz +p^2f H- pV + etc. ;

ce qui fait connaître les valeurs de ar„^„ z,.

65. On peut, dans ces équations, remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportionnels. En désignant donc par m, m', w*, etc., les masses des différentes parties du corps dont les poids sont représentés par p, p', p\ etc. , et représentant par M la masse totale, de sorte qu'on ait

M = m + m' + m^'-f-etc. ,

il en résultera

Mot, = wur + mV + mV + etc. ,

M7, =W7+wy +iwy +etc., ) (1)

Mz/ ^=^mz ^ m'z' + nf:

nV + ctc, I /y+etc., > rfz' + etc. ; J

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. nJf

ce qui montre que le centre de gravité est indépendant de l'intensité de la pesanteur, et qu'il sera tou^ jours le même point du corps, à différentes latitudes ^t à différentes hauteurs au-^dessus de la surface de la terre* En considérant que ce point ne suppose pas l'action de la gravité, et qu'il ne dépend que des masses et de leur disposition respective , Euler et d'autres auteiurs rappellent centre dinertie; mais la dénomination de centre de gravité a plus généralement prévalu.

Si la masse M a été divisée en un nombre infini départies infiniment petites m^ w!j rïi\ etc., on pourra prendre tel point qu'on voudra de chacune d'elles ipour son centre de gravité, puisque les coordonnées, suivant chaque axe de tous les points d'un même élément ^ ne différeront entre elles que d'un infiniment petit. Les seconds membres des équations (i) se composeront alors d'une infinité de termes infiniment petits^ dont les sommes seront des intégrales définies^ d'après le théorème du n*" 1 3 étendu aux intégrales multiples. Par conséquent, on pourra toujours, par les règles du calcul intégral, déterminer exactement ou par approximation le centre de gravité d'un corps quelconque, sans connaître celui d'aucune de ses parties.

Dans un corps dont toutes les parties sont homogènes, leurs masses sont entre elles com^)e les volumes ; on peut donc alors substituer les volumes aux masses, dans les équations (i); et si l'on représente par V le volume ©atier, et par v, i^', </', ^%f:. , ses parties corrçspoadgntes à /» , m", rri*^ etc. ,. OQ aura

ii6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

V = (^H-i^' + t'" + etc., Vx, = t^x + i^V+ p"x"+ etc* ,

Vjs. = (^2 + s/t! + pV + etc-

Le point qu'on détermine par ces équations est le centre des forces parallèles appliquées à tous les points d'un corps, et proportionnelles aux élémens de son volume; ce point s'appelle le centre de granié du volume, quoiqu'un volume n'ait ni masse ni pesanteur. On appelle aussi centre de gravité d'une surCsice ou d'une ligne, le centre des forces parallèles appliquées à tous leurs points, et proportionnelles à leurs élémens. On déterminera ses coordonnées en rem* plaçant^ dans les équations précédentes, les volumes V, v^ s^\ s^', etc. , soit par les aires de la surface et de ses parties, soit par les longueurs de la ligne et de ses parties.

66. Les masses M, m, m% m!', etc. ^ et les distances mutuelles de leurs centres de gravité, sont liées, entre elles par une équation facile à déduire des équations ( i ) .

Pour cela, plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité de M 3 ces équations deviendront

mx + m'a:' + m"a:" + etc. = o , mjr + my + m'y -f- etc. = 0, mz + mV + mV H- etc. = o.

En faisant le carré de la première, on en conclut

m^x^ + m'^x'^ + m"*jc''» -f. etc. = — %mw!xx^ — • 2mwl'xx'' "-^ 2m*m!'x'x'^ — etc.

J'ajoute, aux deux nombres de celte équation, la quantité

m (m! -f- m" + etc.) x* + to' (m + "»" + etc) af* 4- ml'{m + to' + etc.) ar"» + etc. ;

il en résulte

M (roar' + m'x'^-^ m'x'* -f- etc.) =s mm' (a: — x'y -f mm" (x — a^y + mW (j/ — x")* + etc.

La seconde et la troisième équation (i) donneront de même

M {mj* -f m'y*^ + m'y* + etc.) = mm' (j- — /)• H- mm' ( j —y)' + mfm' (/ — y)* -f etc. ,

M (mz' + mV» 4- mV+ etc.) = mm' (z— z')' 4- mm" (z — z")' + m'm" (z'— z")* + etc.

Or, si nous ajoutons ces trois dernières équations, et que nous fassions

jc'*4-y-f.z'» = /'*, etc. ,

{x —x'y+ (jr —yy + (z — z'y = f • , (a:' — x")«-l-(y -y')*+(2'-2")*=f>"%

etc. ,

nous aurons

M {mr* + mV» -J- m'V + etc.) =a mm'p* -^mm'Y' -f- mWy» + etc. ,

ïi8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

pour rëquatioki qu'il s agissait d'obtenir^ et dans la^^ quelle p, ffy p", etc. , sont les distances mutuelles des centres de gravité de m, m\ rnfj etc., et r, /, r'', etc.,. les distances de ces points au centre de gravité de M.

67. On déduit aussi des équations (i) une propriété curieuse de l'équilibre d'un point matériel entièrement libre. Voici en quoi elle consiste.

Soit 0 (fig* :i5) le point en équilibre; représentons en grandeurs et en directions, par les droites OA, OA', OA*, etc., les forces qui le sollicitent; si leurs extrémités A, A', A", etc., sont les centres de gravité de masses égales, le point 0 sera le centre de gravité de ce système entier.

En effet, en appliquant les équations (i) à ces masses, et supposant que n soit leur nombre > on aura

njr, z=zjr +/ +y + etc. , /iz, = js +2' + 2" + etc.

D'un autre côté, si l'on désigne par a, €, ^, les angles que fait la force OA avec trois axes rectangulaires menés par lé point 0; par tt\ C, y', ce que ces angles deviennent relativement à la force OA'; par «'', €'\ y", ce qu'ils deviennent relativement à la force OA^'; etc., les équations d'équilibre de ces forces seront

0 A cos a -f- 0 A' cos a' + 0 A* cos a* + etc. = o , OA cos ^ + 0 A' cos g' + 0 A^ cos C' H- etc. = o , OA cos y + 0 A' cos y' + OA' cos y' + etc. = o.

Or, eu plaçant l'origine des coordonnées au point O^

en aura

oc =0A cosa , ^ == OA cos C , z = OA cos y ,

ar' = OA'cosa', y = OA'cose', /=5 0A'cos>',

j^'=OA^osa', yzsOA'cose*, z^=OA'cos/, etc. ,

pour les coordonnées des points A, A', A", etc* En Tertu des équations d'équilibre^ on aura donc

x^x^ H- or'' + etc. = o , •T+y +y'H-etc.r=o,

d'où l'on conclut

pour les coordonnées du centre de gravité des masses- ^ales; par conséquent, ce centre coïncidera ayec le point 0; ce qu'il s'agissait de démontrer.

68. 11 y a beaucoup de cas particuliers où le centre de grayité est immédiatement connu. Ainsi, le centre de gravite d'une sphère ou d'un ellipsoïde est évidemment au centre de figure ; celui d'un parallélépipède, à l'intersection de ses quatre diagonales; celui d'un cylindre à bases parallèles, au milieu de son axe. Le centre de gravité d'un cercle ou d'une ellipse est aussi au centre de figure, et celui d'un parallélogramme, à l'intersection des deux diagonales.Le centre de gravité d'une ligne droite est le milieu de cette droite 3 d'où l'on conclut sans difficulté le centre de gravité du contour d'un polygone quelconque, soit par une suite de proportions (n** 64), soit par les

équations des momens des forces parallèles. Oa voit de même que quand on aura trouvé les centres de gravité d'un triangle et d'une pjrramîde triangulaire, on en déduira, par Tun ou l'autre de ces deux moyens, les centres de gravité d'un polygone et d'un polyèdre donnés, que l'on peut toujours décomposer, soit en tiûangles, soit en pyramides triangulaires.

Mais, en général, la détermination des centres de gravité exige l'emploi du calcul intégral; et dans le chapitre suivant nous allons donner tous les détails qu'on peut désirer sur ce problème. "