CHAPITRE V

DETEBMCf ATION DES GENTBES DE GRAVITE.

§ i*'. Centres de grasnté des lignes courbes.

69. Soit s Tare de la courbe donnée, aboutissant à un point quelconque M , et compté à partir d'un point fixe que j'appellerai C. Soient aussi o:,^^ jz, les trois coordonnées rectangulaires de M» On considérera cette courbe comme un polygone d'une infinité de côtés; ds sera le côté ou Télément de la courbe qui répond an point M; et quelque part que soit le centre de gravité de cet élément, on prendra Xfjr,z, pour ses trois coordonnées, qui ne sauraient, effectivement, différer de x^jr, z, que de quantités infiniment petites*

Appelons l la longueur de la partie déterminée de la courbe dont il s'agit de déterminer le centre de gravité ; et représentons par ^o et s^ les valeurs données de s qui répondent aux deux extrémités de L Soient a:, , j", , z, , les coordonnées du centre de gravité de cet arc /, rapportées aux axes des a:, jr, z. D'après le théorème du n"" i3, la somme des va* leurs de cbacun des produits xds, jrds, zds, dans toute rétendue de /, sera une intégrale définie prise de* pnîs j = ^o jusqu'à j:=j,, en regardant jc, \/, z,

comme des fonctions de s données par la nature de I» ' courbe que Ton considère. Nous aurons donc (n^ 65)

lx,=j^'^xds, Ijr.zszJ^^'yds, lz,=f^''zds, (i)

pour les trois équations qui serviront à déterminer

Supposons^ par exempte^ que la ligne donnée soit une droite^ et que sa partie / aboutisse au point C» de sorte qu'on ait ^^ = 0 et s, = L Désignons par a, C, ^^ les trois angles que fait cette partie / avec des axes menés par le point C suivant la direction des ^pj^^f positives; soient aussi a, b^c, les trois coordonnées du point C ; pour le point quelconque M nous aurons

x=za + scosa, ^=:& + ^cos^, zz=zc+scosy^

Je substitue ces valeurs dans les équations (i); et en effectuant les intégrations et divisant ensuite par l, il vient

x,=a+i/cosa, jr^=b+{lcos€, z,=C'^^lcosy;

ce qui montre ^ comme cela devait être, que le centre de gravité de la droite 2 est situé à son milieu.

70. Lorsqu'il s'agira d'une courbe plane, et qnW prendra son plan pour celui des «r et ^, il suffira des deux premières équations (i) pour déterminer la position de son centre de gravité dans ce plan. Si , de plus, la portion l de la courbe est symétrique de part et d'autre du point C, on aura Jo= — î^ c* ^, = 7/; le centre de gravité sera situé sur la nor-

STAÏlQUE, PREMIÈRE PARTIE. I23

tekaie ttu point C ; et en prenant cette droite pour Taxé Biesa:, il suffira de déterminer la valeur de a:,, qui sera donnée par Téquation

Li'arc de cercle est compris dans ce cas particulier, en prenant pour axe des x, le diamètre qui passe par son inîlien. Si Ton place en même temps l'origine des coordonnées an centre du cercle, et qu'on appelle a son rajon , on aura

jcs=acos^,

pour Tabscisse du point quelconque M. On en con-* dut

ir, = 2fl'sin — '; et en appelant c la corde de Tare l^ on aura

ce qui montre que la distance x^ du centre de gravite d'un arc de cercle au centre du cercle, est quatrième proportionnelle au rayon, à la corde et & l'arc.

71. L'équation de la courbe plane fera connaître l'une des deux variables x eljr en fonction de l'autre. Si Ton suppose la valeur de jr donnée en fonction de x, on prendra

ds^y/r^ird:.;

ia4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et en appdant a et € les valeurs de x qui répondent aux deux extrémités de Tare ly on aura^ au lieu de» équations précédentes ^

Si la courbe donnée est une section conique, on obtiendra sous forme finie , par les règles ordinaires^ les valeurs des intégrales contenues dans les deux dernières équations {2). Dans le cas de la parabole, oa obtiendra de même la valeur de l'intégrale que ren«* ferme la première de ces équations; en sorte que les deux coordonnées du centre de gravité d'un arc de parabole pourront toujours s'obtenir en fonctions des abscisses a et f de ses extrémités. D'après un théorème de Landen^ l'arc d'hyperbole s'exprime au moyen de deux arcs d'ellipse et d'une partie algébrique; quant à l'arc d^ellipse^ on le regarde comme une fonction irréductible à d'autres fonctions plus simples; et M. Legendrea calculé des tables fort étendues de cette fonction ^ qui en font connaître les valeurs numériques avec une grande approximation. Par conséquent ^ lorsque les valeurs numériques de et et f et celles des axes de l'hyperbole ou de l'ellipse seront données, il sera facile de calculer la valeur de /, et par suite les coordonnées a?, et jr^ du centre de gravité d'un arc appartenant à l'une ou l'autre de ces deux courbes.

7^. Je prendrai lare de cjcloïde pour, un autre rxemple de Vapplication des équations (2). Dans rette courbe^ la longueur^ Faire, la surface et le volume engendrés par sa révolution , et les coor-* Sonnées de leurs centres de gravité ^ se détermij(^eot exactement. La construction de la tangente en nu. point quelconque de cette courbe est aussi très simple; sa développée est une autre cycloïde; et, de plus , par une série de développemens successifs^ une courbe quelconque approche de plus en plus de se confondre avec la cycloïde, et s'y confondrait rigoureusement à l'infini (*). C'est encore la cycloïde que Ton trouve, comme on le verra par la suite, lorsqu'on cherche la courbe qui jouit des propriétés les plus remarquables, par rapport au mouvement curviligne des corps pesans. Cette réunion singulière d'un grand nombre de propriétés curieuses et de nature différente sur une même courbe, en rend la considération très utile et très fréquente en Géométrie et dans la Mécanique. Voici comment on ol)tient son équation.

La cycloïde est une courbe plane ACB ( fîg. a4 ) > engendrée par un point déterminé M de la circonférence d'un cercle pendant qu'il roule sans glisser sur une droite ÂB« Si le point générateur se trouve d'abord au point A, et qu'il arrive ensuite au point B de cette droite , l'intervalle AB sera égal à la circonférence du*cercle donné; on voit aussi que son

• (*) Journal de V École Polytechnique, x& cahier , page 43i »

laÇ TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

diamètre 3era égal à la perpeadiculaire. CD^ abaissée du sommet C de la cycloïde sar ÂB^ et qui div vise la courbe en deux parties symétriques. En ap* pelant c le rayon du cercle donnée on ann donc

AB = ^irc, CD = ac.

Dans une position quelconque, du cercle , soient HG son diamètre perpendiculaire à la base ÂB ^ et H son point de contact avec cette droite. Du point M , abaissons les perpendiculaires MF et MK sur AB et GH^ et faisons

APœ/>, PM = 9;

nous aurons

AH = AP + MK 9 /i +\/2cq-^(f, arcMH = c.arcTsin = ilffZJIlXj,

Mais le cercle générateur tournant sans glisser sur h droite AB, il s'ensuit qu'on a constamment

AH = arcMH;

réqnation demandée de la cycloide sera donc

p -f- \/^q — ç* =r r .arc (sînsss JLifl — 2. j -

p et 9 étant les coordonnées courantes. . En la différentiant, on a

pour son équation difierentielle. On en conclut qtie

ks deux cordes MG et MH du cercle générateur sont la taogente et la normale à la cjcloïde qui répondent au point M. En déterminant par la formule connue son rayon de courbure au même point ^ on le trouve égal au double de MH; d'oii il résulte qu'en prolou-* géant MH d'une quantité HN égale à MH, le point N sera le ceutre de courbure. En faisant de même la droite CDE double de CD, le point E sera le centre de courbure qui répond au sommet C; et de là on conclut aisément que la développée ANE de la demicycloîde AMC est la même courbe , renversée de manière que son sommet C soit transporté en A et son origine A en £• Il s'ensuit que la longueur de ANE ou de AMC est égale à la droite CDE , et que, par conséquent , la longueur totale de la cycldide est égale à quatre fois le diamètre de son cercle générateur.

73» Dans les usages que nous ferons de cette équation, il sera plus commode de transporter l'origine des coordonnées au sommet C ( fig.* 2i5 ). Je prendrai pour axes des x et des jr les droites Cx et Cj', perpendiculaires et parallèles à la base AB. En abaissant du point quelconque M une perpendiculaire MP sur Cr, on aura donc

CP = a:, MP=:jr;

et si l'on compare ces coordonnées aux précédentes , et que l'on appelle a le diamètre CD du cercle générateur, on voit que

p = ^7ra — jr, q ==z a — jc; donc, en substituant ces valeurs dans l'équation dif-

128 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

férentielle de la cydoïde, et mettant aussi a au lien

de 2C^ elle deviendra

II en résulte

ds = yJldx.

En prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse quand a: = o ^ on a

j = 3 s/cujc ,

pour la longueur de l'arc CM , dont l'origine est au sommet C. Au point A^ona 0: = ^; ce qui donne , comme précédemment , tia pour la longueur de la demi*cycloïde CMA. On peut remarquer que 5*=4Ar est une équation de la cycloïde semblable à celle de la parabole^ dont elle ne diffère qu'en ce que l'ordonnée jr s'y trouve remplacée par l'arc s.

En appliquant les deux dernières équations (3) au centre de gravité de l'arc CM, nous aurons

SX, =:Ja: yldx, sjr, =y}- y/^ dx ,

où l'on prendra les intégrales de manière qu elles s'évanouissent avec x. En y mettant pour s sa valeur, il en résulte

iix,\/xz=zf\/xdx^ !ijr,\/xz=z f^.

On aura donc

d'où l'on conclut d'abord que le centre de gravité

d'un arc M'CM symétrique de part et d'antre du sommet G, qui doit appartenir à la droite CD, se trouve au tiers de QP^ à partir du point C.

En intégrant par partie » on a

y-^ = 3^V/^ — ifs/xdf.

Si l'on substitue pour dy sa valeur donnée par 1 equation (a)^ on aura donc

et 9 par conséquent^

r . = J + g^ [(a — xy-^aK/à] ;

ce qui , joint à la valeur de ^, , détermine complètement le centre de gravité de lare CM. Dans le cas de la detni-cydoide ,ona xzisa et jrz=z^ 7ra ; d'où il résulte

'74. Quand une courbe plane tourne autour d'une droite comprise dans son plan et que je prendrai pour Taxe des abscisses, elle engendre une surface de révolution dont rétendue peut se déduire de la longueur de cette courbe et de Tordonnée de son centre de gravité.

Pour le faire voir, soient x et j- l'abscisse et Tordonnée du point quelconque M de. cette courbe, et s l'arc CM aboutissant à ce point et compté d'un point fixe C; l'élément ds engendrera la surface d'un cône

i3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

tronqué^ et son milieu décrira nne circonférence égale à 39r (^+ î dy), ou simplement à 31^, à cause que dj est un infiniment petit; D'après la règle connue , on aura donc 27rj'ds pour cet élément de surface. Donc^ si Ton appelle s^ et j. les valeurs de s qui répondent aux deux extrémités de la courbe généra* trice^ et S la surface engendrée^ on aura^ d'après le théorème du n® i5,

S =z 2^ I yds.

On remarquera que cette expression suppose que la courbe génératrice n'est pas coupée par Taxe des Xj sans quoi ses parties situées des deux côtés de cet axe décriraient deux surfaces différentes^ dont S n'exprimerait plus que la différence. Avec cette restriction , elle subsistera encore lorsque la génératrice sera une courbe fermée; et, pour l'appliquer à ce cas, il suf&ra de prendre pour ^1 l'arc s^ augmenté de la circonférence entière de cette courbe.

Cela posé , si Ton compare cette formule à la troisième équation (2), on en conclut

S = Tirlj, ;

ce qui montre que la surface engendrée S est égale a la longueur l de la courbe génératrice , multipliée par la circonférence 2^, que décrit son centre de gravité.

Ce théorème servira à déterminer la valeur de S toutes les fois que le centre de gravité de la génératrice sera connu sans aucun calcul, et, pour ainsi <ijre, à l'inspection de cette courbe; il ne servirait

STATIQDE, PREMIÈRE PARTIE. * i3i

idius à rien s'il fallait calcnler TordoiiBée y^ , puisque ce calcul serait le même que celui de S. £u supposant^ par exemple^ que la courbe génératrice soit un cercle; désignant par a son rayon , par c la dis* tance de son centre à Taxe de rotation , et supposant qu'on nait pas c <C a^ on aura

/ = 2'^a , jr, =z c, et, par conséquent,

S = 4^^ac.

Quand le cercle touchera Taxe de rotation , on aura c:=a, et la surface engendrée sera équivalente au carré dont le côté est égal à la circonférence 27ra du cercle générateur.

§ IL Centres de grantédes surfaces.

75. Soient toujours x^jjZ^ les coordonnées d'un point quelconque M, et x^, j-^^ z^, celles du centre de grayité qu'il s'agit de déterminer. Je considère z comme une fonction donnée de a: et ^; je £ais

dz dz

et j'appelle cù l'élément de la surface donnée qui ré pond au point M ; on aura (n"" 2 1 )

Où = dxdj v/i + /)' + ?•*

Quel que soit le point de û> où se trouve le centre de gravité de cet élément y ses coordonnées différeront infiniment peu de ^r, ^, z; on pourra donc

iSa . TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

prendre 6ùx ^ ajr , cùz^ pour les momens de co par rapport aux trois plans des coordonnées^ et il e|i résultera (n*** i5 et 65)

A=://«, -Kx.^ffxdù, Xj,z=iffjr(», Xz,=ffzm;

A étant Faire de la portion de surface dont on demande le centre de gravité, et les intégrales doubles ^'étendant à tous les élémens de A.

Dans le cas d'une surface plane , et en prenant son. plan pour celui des a: et ^^ les quantités f et q seront nulles^ et Ton aura seulement à considérer les trois équations

X—ffdxdjTy Kx.zi^ffxdxdf, ^JTx—ffxdxdj.

Supposons que A soit alors terminée par la courbe ABC (fig. a6); à chaque abscisse x ou OP répondront deux ordonnées PM et PN, que je repr&enterai par y et j'y et qui seront données en fonctions de JC* par l'équation de cette courbe. Soient aussi a et C les abscisses OD et OE des points A et B où les tangentes sont parallèles aux ordon«* nées. Les intégrales devront être prises, d abord depuis y = PN jusqu'à y = PM , et ensuite depuis a? = a et a: == ^ ; et il en résultera

Au lieu d'être cix'conscrite par une courbe fermée

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i33

ABC^ si Taire A est comprise entre deux courbes différentes et entre deux droites parallèles à Taxe Ojdes ordonnées y on tirera de 1 équation de la courbe supérieure la Valeur de ^, et de 1 équation de la courbe inférieure celle de y, et Ton prendra pour a et S les distances de ces deux parallèles au point O. Dans le cas le plus ordinaire^ la courbe inférieure sera remplacée par Taxe Ox des abscisses ; on aura donc y :=s o , et simplement

pour déterminer Faire et le centre de gravité d^une portion de surface plane comprise entre une courbe donnée^ Taxe des abscisses et deux ordonnées de cette courbe.

Observons aussi qu'on parvient directement aux équations (i) de la manière suivante.

Je partage l'aire ABC en éléniens tels que MNN'M', infiniment minces et parallèles à l'axe Ojr. J appelle u la longueur de la droite MN; par ses deux extrémités M et N , si Ton mène des parallèles à l'axe Ox^ on ajoutera à Télément MNNW, ou l'on en retranchera, des triangles infiniment pelits du second ordre, qui n'en altéreront pas la grandeur; par conséquent « cet élément sera égal à udx. Si l'on désigne par v la distance du milieu de MN à l'axe OXf on pourra prendre x ei v pour les deux coordonnées du centre de gravité de cet élément; car il est évident qu'elles n'en pourront différer que de quantités infiniment petites. D'après les autres

iiotations précédentes^ on aura donc

X = y udx, Xxi=j xudxj Xy^^ss^Ç smdx. (5J

D ailleurs^ y ^t y étant toujours les ordonnées PM et PN qui répondent à une même abscisse quelconque , on a aussi

ce qui fait coïncider ces dernières formules av^ec les équatipns (i).

76. Pour premier exemple, je suppose qu'on demande le centre de gravité du triangle ABC (fig, 37).

Je place l'origine des coordonnées au sommet C ^ et je prends l'axe des x perpendiculaire à la base ÂB; je représente cette base par b, et la hauteur CD par h. Par le point quelconque P appartenant à CD, je mène la perpendiculaire MN à cette droite ; CP et MN seront les variables x etu, et l'on aura la proportion

u \ X V. b l hy

de laquelle on tire

bx u = -j^.

On aura, en outre, a = o et ^ = A. Au moyen de ces valeurs, les deux premières équations (3) donneront

A = |ÔA, ix, = jM*;

d'où il résulte

On n'aura pas besoin de calculer la valeur de ^ f

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i35

car si E est le milieu de AB, et qu'où tire la droite CE y elle coupera eu deux parties égales tous les élémens du triangle parallèles à ÂB, et contiendra^ conséqoemniént^ son ceoU*e de gravité. Si donc on prend sur CD une partie

CF = I CD = a:. ,

et qu'on élève la droite FG perpendiculaire à CD^ le point G où elle rencontrera CE sera le centre de gravité du triangle. La droite FG coupant CD et CE en parties proportionnelles, on aura aussi

CG = fCEj

ce qui montre que le centre de gravité d un triangle se trouve sur la droite qui joint son sommet an milien de sa base, aux deux tiers de cette droite à partir du sommet, ou au tiers à partir de la base.

77* On démontre aussi ce théorème sans le se* cours du calcul intégral.

En effet, par la décomposition du triangle ABC (fig. 28) en élémens parallèles au côté ÂB, on prouvera que son centre de gravité se trouve' sur la droite CD, qui joint le sommet C au milieu D de ce côté. En le décomposant en élémens parallèles au côté CÂ, en prouvera de même que ce centre de gravité est aussi sur la droite BE qui va du sommet B au milieu E de CA; ce point sera donc situé h l'intersection G des deux droites CD et BE. Or, si l'on tire la droite DE, elle sera parallèle à CB ,* puisqu'elle coupe CA et AB en parties proportionnelles; il en résultera, donc

DE : CB :: AD : AB :: i : 2, DG : CG :: DE : CB :: i : 2;

eu sorte que DG sera la moitié de CG, et, conséquemmeut^ le tiers de CD; ce qu'il s'agissait de démoutrer.

On en peut conclure que les trois droites qui vont des sommets d'un triangle aiix milieux des côtés opposés, doivent se couper en un même point; ce qui est conforme à un théorème connu.

Si les sommets A, B, C, du triangle sont les centres de gravité de trois masses égales, le centre de gravité de ces trois corps coïncidera avec celui du triangle ; car le centre de gravité des deux masses qui répondent à A et B se trouvera d'abord au milieu D de la droite AB; et ensuite le centre de gravité de ces deux masses et de la troisième sera le point G de la droite CD, tel que GD est moitié de CG ou le tiers de CD.

Il suit de là et du théorème du n*" 67, que si Ton applique au centre de gravité G d'un triangle , des forces représentées en grandeur et en direction par les droites GA, GB, GC, qui vont de ce point aux trois sommets, ces trois forces seront en équilibre.

78. Connaissant le centre de gravité d'un triangle, on en déduit successivement ceux d'un secteur et d'un segment circulaires.^

Soient CADB (tig. 2g) le secteur, et C le centre du cercle. Si l'on considère l'arc ADB comme une portion de polygone d'une infinité de côtés égaux, on pourra décomposer le secteur en élémens triangulaires aussi égaux, qui auront tous ces côtés pour bases et

leur sommet commua au point C. On appliquera ensuite la force qui agit sur chacun de ces élémens à son centre de gravité ; et comme la distance au point G de chaque centre de gravité est les deux tiers du rayon du cercle , il en résultera un système de forces parallèles et égales , appliquées à tous les élémens de Tare AD'B', décrit du point C comme centre, et d*un rayon égal à | CD. Par conséquent, le centre de gravité du secteur sera le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire, le centre de gravité de cet arc ATD'B'. Or, en désignant par a, /, c, le rayon CD, Tare ADB et la corde AB, les quantités analogues, relativement a AfH'lB^, seront fa, jZ, fc;si donc G est le centre de gravité demandé , et qu'on fasse CG = x, on aura , d'après le théorème du n* 70,

nac

Maintenant, soient S, S', S., les surfaces du secteur CADB^ du triangle CAB et du segment ADBE; appelons G, G', G|, leurs centres de gravité, qui seront évidemment sur le rayon CD aboutissant au milieu D de l'arc ADB ; si l'on désigne par a:, a:', x^ , les distances de ces trois points au- centre C, et qxxotx y applique des forces parallèles et proportionnelles à S, S', S., la première sera la résultante des 'deux autres^ en considérant les momens de ces forces, on aura donc

Sx = S'ar' -J- S^Xj.

On a, d'ailleurs,

En appelant h la hantenr CE du triangle dont la base

est AB ou c, on a aussi

Donc^ à cause de

l'ëquation des momens deviendra

^a*cc=£ I ch^ •+• î («^ — ch) x^ ;

et elle fera connaître la distance x^ du centre de gravité du segment ADBE au centre du cercle. En observant que

c ii^znasin — , h-^^a cos — ,

on en déduira

4a* sin' —

5ÇI — a sin -j

Lorsque Tare l est la demi-circonférence, on a l=:7ra; le secteur et le segment coïncident, ainsi que* les distances a: et x. , dont la valeur commune est

jg. Si Ton prend successivement les trois sections coniques pour la courbe à laquelle répondent les formules (2), les intégrations s'effectueront par les règles connues, et l'on pourra obtenir, sous forme finie ^ les valeurs des deux coordonnées x^ etjr^ du centre de

IpraTÎtë. «Tindique cet exemple comme exercice de calcul^ et je passe immédiatement à la détermination du centre de gravité de Taire de la cycloïde.

Soit CPM (fîg. a5) le segment dont on Tent trouyer le centre de gravité ; en désignant par oç ^\y l'abscisse CP et l'ordonnée PM^ comme dans l'équation (a) du n"* 75^ il faudra que les intégrales contenues dans les formules (2} s'évanouissent quand ;r = o ; et en intégrant par partie^ ces formules deviendront

A=a^ — fxdjTj ) ^cc,^\ocy^\fx-dj, \ (4)

les nouveUès intégrales s'évanonissant aussi en même temps que Xm

En vertu de l'équation (a), on a

fxdj =y\/ax— J7* dx ;

mais si N est le point où l'ordonnée FM rencontre le cercle décrit sur CD comme diamètre^ cette dernière intégrale exprime le demi-segment circulaire CNF ; en représentant y pour abréger, par y Taire de ce demisegment, on aura donc

A = xj — >.

Dans le cas où le point M coïncide avec le point Â^ on aura

ar=CD=:a, j- = DA = f^a, yz=z\7ra^y

et, par conséquent,

A = iT^a*.

i4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

L'aire CAD de la demi-cjcloïde est donc triple de celle du demi-cercle CND, dont le rayon est ^ a^ ou^ autrement dit, Faire de la cycloïde entière est égale à trois fois celle de son cercle générateur. On aura aussi

fx^dyzs^fx \/ax — x' dbc,

ou, ce qui est la même chose,

fx*dy=i\af\/ax — x^dx — f{\a — x)\/ax — oc^ dx.

La dernière intégrale s'obtient immédiatement; et à cause qu'elle doit s'évanouir, quand a: =o, nous aurons

Xx, ={xy^ ^ay + i (ax — a:*)* ;

équation qui fera connaître la valeur de x^ d'après celle de A.

Dans le cas de la demi-cycloîde CAD, où Ton a, en même temps ,

on en conclura

7fL .

pour la distance de son centre de gravité à Taxe C^^. Ainsi, le centre de gravité de Faire entière de la cycloïde se trouve aux sept-douzièmes de la hauteur CD, à partir du sommet C.

Relativement à un segment quelconque CMP, il reste à déterminer l'ordonnée j^»; ce qui exige un calcul plus compliqué.

8o. En vertu de requatîon.(a), on a

et la valeur de j^' peut s'écrire ainsi :

./*(i£— ^^ a r dx -^ J y'ax — ocf^ "*" ay \/ax — a^\

en faisant donc ^ pour un moment^

r dx J y ax — X*

et supposant que cette intégrale soit nulle comme toutes les autres^ quand :r == o^ on aura

d*où il résultera

fbcjrdjr = ^^ïa:^ — -j ^ + ^^fz \/ax —? x^ dx. (5) Parce que Ton a fait

y :=: f\/ax — x^dx, on aura, en intégrant par partie ,

fz \/ax — x^dx := zy — fydz. (6) On peut écrire l'expression de y sous la forme

y — la^ Ç ^ rga—xydx^

^ 4 J \/ax — x^ J \/ax — x* '

et en intégrant par partie dans le second terme, il vient

> = 7 a* / , ^ ■ — ( - « — X ) V^ûx— x'— /v/ ux— a: V/.r ; ^ i J i/ax—x* \a y

i42 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

d'où Ton conclut

A cause de \/a.r — * x^dz=^dx, on aura donc

Je substitue ces valeurs de y et/ydz dans Féquation (6); il en résulte

ce qui change l'équation (5) en celle-ci :

+ jT ^^ — i^2 (I ^ — ^) \/ax—*x^. (7) Au moyen de cette valeur et de celle de z^ savoir :

(a — axN cos = 1 ,

la troisième équation (4) ne contiendra plus rien d'inconnu, et fera connaître la valeur de^^ pour un segment quelconque CMP.

Dans le cas de la demi-cycloïde CAD, on aura

X = a, zz=, arc (cos = — 1) s=: ^r ;

la formule (7) se réduira à

et à cause de

jr = |7ra, A = \7Fa\ la troisième équation (4) donnera

<:e qui y joint à la valeur de x^ du numéro précédent^ déterminera complètement la position du centre de gravité.

81. Soît S Faire d'une zone de surface de révolution, comprise entre deux plans perpendiculaires à son axe de figure. Cet axe renfermera le centre de gravité de S : je le prendrai pour Taxe des x; et je désignerai par a*, la distance de ce centre à l'origine des coordonnées y et par a et € les distances à la même origine, des deux plans qui terminent S; la détermination du centre de gravité de cette zone se réduira à celle de la valeur de x^.

Je décompose S en élémens dont chacun sera la surface d'un cône tronqué décrite par le côté infiniment petit de la courbe génératrice, comme dans le n"" 74; celui qui répond au point M de cette courbe dont les coordonnées sont X eijTy sera égal à 2acjr\/dx 4- d/*^ ; il aura aussi son centre de gravité sur l'axe des or, et l'on pourra prendre x pour la distance de ce point à l'origine des coordonnées, puisqu'elle ne pourra différer de X que d'un infiniment petit. Cela étant, on aura(n- i5et65),

Sx, = 2Try^ xjr y/ ^+-^,dx, J

en considérant^ comme une fonction de ;r, donnée par l'équation de la génératrice.

Si cette courbe est^ par exemple^ un arc de cercle; que Ton place Forigine des coordonnées à son centre^ et qu'on appelle a son rayon , on aura

jr = Va* — x^i

d'où il résultera

S = T7ra{€ — a), Sx, = '7ra(Ç- — «•),

et^ par conséquent,

ce qui montre que le centre de gravité d'une zone sphérique est au milieu de la partie du diamètre comprise entre les deux plans qui la terminent • et perpendiculaire à ces plans.

82. La cycloïde nous fournira deux exemples de l'application des formules (8)v en faisant toomeT successivement Tare CM (fig. 25) autour de Taxe Cr et de l'axe C/.

Dans le premier cas, on aura, en vertu de Téquatîon (a) du n® 75,

%=v7F\/afjr -r= , Sx, = a* S/afjr s/xdxi

les intégrales étant prises de manière qu^elles s'éy:»nouissent au point C, où l'on a or = 0. En intégrant par partie, et ayant égard à la valeur de djTj donnée par la même équation J[«), il vient

Sx, = ^jx sjax — ^ \/a/r \/a — xdxy

STATIQUE, PJEŒMIÈRE PARTIE. i45

et, par conséquent,

S = içry y/âx + -r- \/a (a — xy — -5- a* ,

Sot, = ^/xy/ajc^ — xy/aÇa^^x)

ce qui fait connaître la surface concave vers Taxe de figure , eogendrée par l'arc CM, et la distance de son centre de gravité an point C. Quand cet arc devient la demi-cycloïde CA., ona x = a et^ss^^ra, et, conséquemment,

S=27fa^(7r^^), 80:^ = ^(7^ — ^)

Dans le second cas, il faudra, pour continuer de faire usage de l'équation (a) du n"" j5, permuter x et jr dans les formules (8), lesquelles deviendront, par là,

S = 27rfxy/ï+^dx,

Sj, = 27rfxjr y/i +-^dx;

y^ étant la distance au point C, du centre de gravité de S situé sur la droite Ç^- , et les intégrales s'évanoulssant au point C, c'est-à-dire , quand :r = o. D'après l'équation (a), nous aurons

S = !X7rJx \l\dx = ^x\/<xx\ la valeur de S^t sera la même que celle de Sar^ du

i46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

premier cas, et en la divisant par cette yalenr de 5, on aura la distance au point C, du centre de graTÎté delà surface convexe vers Taxe de figure, engendrée par Tare CM. Lorsque cet arc deviendra la demi-cydoïde CA, la surface engendrée sera égale à 4^^f en même temps, la distance^, aura pour valeur

On peut remarquer que quand un même arc de courbe tourne successivement autour de deux ax» rectangulaires et passant par une de ses extremités, le second membre de la seconde équation (8} ne change pas de valeur, et, par conséquent, les distances à cette extrémité, de& centres de gravite des deux surfaces engendrées > sont en raison inverse des aires de ces surfaces.

85. Si la courbe ABC (fîg. 26) tourne autoar de l'axe 0^, compris dans son plan et qui ne la traverse pas, sa surface engendrera un solide de révolution dont le volume, que je représenterai par V, pourra s'exprimer au moyen de Taire de cette surface et de Fordonnée j*. de son centre de gravité.

En conservant toutes les notations du n^ yS, il est aisé de voir qu'on aura

En effet, la tranche infiniment petite de ce volume, engendrée par l'élément MNN'M' de l'aire génératrice, sera la différence Try^dx — ^y^cbc des deux cylindres dont les rayons sont PM et PN, et qui ont dx

pcmr bauteur commune ; eut on peut négliger les yo- Itttnes infiniment petits du second ordre, engendrés par les triangles que l'on retranche de cet élément , on qu'on j ajoute^ en menant par les points M et N des parallèles à Taxe Ox. Ot, si Ton compare Cette expression de V à la troisième formule (i) du numéro eité, on a

ce qui montre que le volume engendré par Faire A ^^me ccmrbe plane est égal à cette aire multipliée par la circonfiârence a^, du oerde que décrit son centre de gravité ; théorème analogue à celui du n* 74, et qui servira à déterminer le volume Y quand le centre de gravité de A sera connu à priori. Il subsistera encore^ lorsque la surface génératrice, au lieu d'être orconscrite par une courbe fermée, sera comprise entre deux courbes différentes et deux perpendiculaires à l'axe de figure, pourvu que cet axe ne passe pas entre ces deux courbes planes.

Si Taire génératrice est un demi-cercle tournant - autour de son diamètre, la distance de son centre de

gravité à cet axe de rotation sera égale à 4— (n^ 78), en désignant par a son rayon ; la circonférence décrite par ce point aura donc -^ pour longueur; et coomie Taire du demi-cercle est 7 Tra*, on aura

ce qui est, effectivement, le volume de la sphère.

i48 TRAITÉ D£ MÉCANIQUE.

Supposons encore que la courbe fermée. ABC, soit une ellipse, et représentons par a et b ses deux demiaxes^ et par c la distance de son centre à l'axe de. rotation. L'aire A sera, comme on sait, égale. à ^o^; et son centre de gravilé étant évidemment Je centra de figure, on auraj^i =^'; d'où il résultera

V = 27r*abc,

quelle que soit l'inclinaison de l'un ou Tautre des axes de l'ellipse sur Taxe de rotation.

84- Il est évident que le segment du solide de révolution comptais entre- deux plans passant par l'axe de figure, est au solide entier comme l'angle de ces deux plans est à quatre angles droits, ou, ce qui est la même chose, comme l'arc décrit entre les deux plans , par le centre de gravité de l'aire génératrice , est k la circonférence entière 27rjr^. Donc, en appelant / la longueur de cet arc, et L le volume du seg' ment , on aura

X étant toujours l'aire génératrice qui, par hypothèse, n'est point traversée par l'axe de rotation.

Cette formule peut s'étendre de la manière suivante à d'autres segmens qui n'appartiennent pas à des solides de révolution.

Supposons, en effet, qu'une courbe plane se meuve sans gh'sser ni tourner dans son plan, et de telle sorte que ce plan soit constamment perpendiculaire à une ligne donnée, qui peut être une courbe plane ou à double courbure. Dans ce mouvement, le même pqint de ce plandenietircra toujours sur la directrice.

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE. t/{^

^t les autres points décriront des courbes seriiblables* il cette ligne. Soient A, L, /, l'aire de la courbe gé-i nératrice^ le volunie engendré par cette surface^ et la longueur de la courbe parcourue par son centre' de gravité. Si / était un arc de cercle, L serait un^ segment de solide de révolution; mais, dans tous les cas /-on peut diviser / en parties infiniment petites, dont cbacune se confondra avec le cercle osculateur' qui lui correspond. Désignons par a Tune de ces par-*' tiesy et par (^le volume du segment correspondant de Ij ; et supposons que les plans perpendiculaires à sa direction; par lesquels s^ est terminé, se coupent suivant une droite qui ne traverse pas Faire de la génératrice. Cet élément p de L sera un segment dosolide de révolution; et d'après l'équation précédente, , on aura

Donc, en prenant la somme de toutes les valeurs de v et observant que le facteur X est constant, il en ré-sultera que le volume L est égal au produit de 2 et ;^, comme dans le cas d un solide de révolution. La règles que cette équation h=.'M renferme est utile dans la> pratique, et susceptible d'un assez grand nombre d'ap-*. plications; toutefois, on ne devra point oublier qu'elle n'a plus lieu quand les génératrices consécutives se* coupent sur la surface engendrée, et forment, parleurs intersections successives, ce qu'on appelle une arête de rehroussement.

85. La considération du centre de gravité fournit aussi une règle pour évaluer le volume d'un. prisme

i5o TRAITÉ m MÉGANIQUE.

ou d'un cylindre à base quelconque » tronqué par un

plan incliné sur cette ba$e.

Soient y l'aire d une section de cylindre perpendiculaire à sa génératrice^ A laire de la section inclinée qui le termine 9 0 Fangle de ces deux plans, 0^ un élément quelconque de A, € sa projection sur le plan de y, ou l'élément correspondant de l'aire y, qui est elle-'méme la projection de A. D'après le théorème du n"" 10 y on aura

y = AcosOy € = û)COsQ.

Cela étant) je suppose que A soit la surface à laquelle se rapportent les formules générales du u^ ^^ et que 6 représente l'inclinaison *de son plan sur celui des or et j-. Je multiplie la troisième de ces formules par cos6, et je fais passer ce facteur constant sous le signe /f; en vertu des valeurs de y et e, on aura

yz, = Jfzi.

Or, cette intégrale double est le volume du cylindre tronqué compris enti*e les deux sections ^ et A, et décomposé en filets infiniment minces et perpendiculaires à y, en supposant, toutefois, que ces deux sections ne se coupent pas mutuellement; il s'ensuit donc que le cylindre tronqué est égal à un cylindi-e droit ayant la même base ^^^ et pour hauteur la distance jZi à cette base', du centre de gravité de la section inclinée.

Ce théorème est évident dans le cas ordinaire, ou la base du cylindre est un cercle et la section inclinée une ellipse ; car en menant par le centre de cette courbe

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i5i

un ]dan parallèle à la base, ce cylindre ne change pas de volume 9 puisque le segment qu'on en retranche est évidemment égal à celui qu'on j ajoute.

Si les aires désignées par 7^ et A se coupent mutuellement y le volume se composera de deux segmens dont rintégrale ffzz exprimera la difierence et non pas la somme. Quand le cylindre sera terminé par deux sections inclinées dont les aires ne se coupent pas, on pourra toujours le diviser en deux parties, dont la base commune et perpendiculaire à la gêné-* ratrice, ne coupera ni l'une ni l'autre de ces deuxsections; et en observant que leurs centres de gravité se trouvent sur une même droite perpendiculaire à cette base, on voit que le volume total sera égal à Faire de cette base multipliée par la distance mutuelle de ces deux points.

§ m. Centres de gras^Ué des volumes et des corps.

86. La détermination du centre de gravité d'un volume dépend, en général, de plusieurs intégrales triples ; mais il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se détermine par des intégrales simples. Ce sont ces corps que nous allons d'abord considérer.

Le centre de gravité dune pyramide ou d'un cône à base quelconque se trouve sur la droite qui va de son sommet au centre de gravité de la base; car cette droite rencontre toutes les sections parallèles à la base, en des points homologues qui sont leurs centres de gravité, et qu'on peut aussi prendre pour les

i5a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

centres de gravité des élémens de ce corps ^ infîniment minces et parallèles. à sa base. Par conséquent, la droite dont il s'agit contient le centre de gravité de la pyramide ou du cône^ et il ne reste plus qu'à déterminer sa, position sur cette ligne.

Soient 6 et X l'aire de la base et celle d'une section parallèle ; désignons par h^t x les perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plans 3 nous aurons^ comme on sait,