CHAPITRE IV

S^lKins bs cas lespfais malfies de rëqniKbredes SMclmas, h puîsBaDoé et lajrésifltcnce sont rëdprtH <^iii00t propoiitanatllès aux espaces que leurs poÎDts 'd'application décrinientsiinaltanément, si réqnilihre venait k se rompre. Pour que ce rapport ait toujenis lieu, il fau^rendre les espaces iofiniment petits qui seraient décrits dans le premier instant, et les remplacer par leurs projections sur les directions des forces. U a été remarqué depuis long-temps dans les machines simples; Jean Bemouilli Ta ensuite étendo, par induction y k un système quelconque de poinb matériels sollicité par des forces données; et, sons h dénomination de principe des vitesses mrtueUes, il est ainsi devenu le principe général de l'équilibre. Nous le démontrerons dans toute sa généralité , après ravoir vérifié sur les exemples suivans.

I*. Soient (fig. 79) A, A', A",... une suite de poulies contenues dans une même chape, et formant une moufle fixe^ et B^ B', B",. • . une autre suite de poulies aussi contenues dans une même chape 1 et formant une moufle mobile. Supposons qu'un fil soit attaché à la poulie inférieure de la moufle fixe, et s'enroule successivement sur toutes les poulies, en passant alternativement d'une moufle à Tautre. A I ex-

trémité libre de ce fil, suspendons un poids P qui £isse équilibre k un poids R suspendu à la poulie in* férieure de la moufle mobile. La tension du fil sera la même dans toute sa longueur^ et égale au poids P; de plus, si les diamètres des poulies sont très petits, eu égard à la distance qui sépare les deux moufles , les cordons qui vont de l'une à l'autre seront sensiblement parallèles et verticaux : la force qui soutient le poids K sera donc égale à la- somme de leurs tensions, ou à /i fois le poids P, en appelant n le nom-* bre de ces cordons; par conséquent, dans Tétat d'équilibre, on aura ^"^«^

R = /dP. ' ^

Or, si l'équilibre se rompt, et que le poids R monte pu descende d'une quantité a, tous les cordons qui aboutissent à la moufle mobile se raccourciront ou s'allongeront dé cette même quantité. La longueur totale du fil devant rester la même, la partie, à laquelle est attaché le poids P s'allongera ou se raccourcira de n fois cette quantité a; donc, en désignant par € la quantité dont le poids P s'élèvera ou s'abaissera, on aura f :=/ia, et, conséquemment,

Ra = Ve ;

ce qui renferme le principe qu'on vient d'énoncer.

a*^. ABC (fig. 80) représente la roue d'un treuil, et klS^C l'intersection du plan vertical de cette roue et de la surface du cylindre; 0 est le centre commun de ces deux circonférences, et AOC et A'OC sont leurs diatadètres horizontaux. Un fil s'enroule sur la roue ,

et s'attache à l'un de ses points; un autre fil, attaché à Fan des points du cjUndre , s'enroule dé même sur sa surface. On suspend un poids P au premier fil ^ et un poids R au second ; ces deux poids tendent à faire tourner le treuil e|i sens contraire y et sont supposes en équilibre. Cela posé , si l'on applique au point C deux forces R' et R", verticales, égales et contraires, l'équilibre ne sera pas troublé; si^ de plus, ces forces sont égales à R, la force R'' et le poids R se feront équilibre, puisqu'il n'y aurait pas de raison pour que leur action simultanée fit toui^ner le treuil platôt dans un sens que dans le sens opposé ; il faudra donc qu'il y ait aussi équilibre entre le poids P et la force R\ perpendiculaires \ ÂOC, et qui agissent aux extrémités de ce levier, dont 0 est le point d'appui. Donc, en appelant r le rayon AO de la roue, et r^ le rayon OC du cylindre, l'équation d'équilibre sera

Pr = Rr',

à cause de R'=:R. Maintenant, si l'équilibre se rompt, et que le poids R monte ou descende d'une quantité a, tandis que le poids P descendra ou montera d'une quantitc ^, il est évident, par la n'ature de la nuichine, qu'on aura Qr^ = ttr\ d'où l'on conclut

conformément à 1 énoncé du principe qu'il s'agissait de vérifier.

5®. Suj^sons qu'une vis verticale soit chargée d'un poids R à son extrémité supérieure; qu'une roue horizontale, ayant son centre dans l'axe de

'Cette vis, soit adaptée à son extrémité inférieure; qu'an fil soit enroulé sur cette roue et attaché par un bout à sa circonférence , et qu'on applique à son autre bout une force horizontale F qui agisse sui- "vant une tangente à la roue, el Êisse équilibre au poids R. On pourra, si Ton veut, placer Mr la direction de cette tiu^gente uu^ poulie fixe et verticale, plier le fil sur. cette fntim^pt remplaoeÉ^'F par un poids F égal à cetle f08Woi|t>&ttaclié iui^liii^ mité libre de là partie vertîcâk^e. du fil. En appelant k la hauteur du pas de la vis^ tt^t la ciiconfArem^ de la roue, on aureu.» .< -i «;.»bî oi j. •. «i «' # ^h

d'après la condition connue de lequilibre dans cette machine. Les deux poids R el F tendront à &ire tourner la vis en sens contraire; si l'équilibre vient à se rompre, Tun de ces poids montera, et Tautre descendra; et si le poids R s'abaisse ou s'élève d'un pas h de la vis , le poids F s'élèvera ou s'abaissera d'une hauteur égale à la circonférence c de la roue ; d'où il résulte qu'en appelant, en général, ât et ^ les espaces parcourus simultanément par les deux poids R et F, on aura acs=:€h^ et, par conséquent,

H = Kct,

conformément au principe dont nous nous occupons. 4®. Considérons encore deux poids F et R posés sur deux plans inclinés, et attachés l'un à lautre par un fil passant sur une poulie fixe^ située en haut des deux plans qui sont adossés l'un à l'autre. La fi-

gure 8i représente une section verticale de ce système ; AC est la longueur du plan sur lequel est posé le poids K, BC celle du plan qui supporte le poids P, AB une droite horizontale, et CD une verticale qui représente la hauteur commune des deux plans. Faisons

AC = a, BC = *, CD = A;

la composante de R suivant CA sera R-, et celle de

P suivant CB aura F r pour valeur. Pour l'équilibre, il faudra que ces deux composantes soient égales; en sorte que l'on aura

Va = Rb.

Si réquilibre se rompt, et que le poids R glisse d'une quantité y sur le plan CB, le poids P glissera de la même quantité , mais en sens contraire , sur le plan AC; et en appelant <t la hauteur verticale dont le poids R se sera élevé ou abaissé , et C celle dont le poids Pse sera abaissé ou élevé, il est aisé de voir que l'on aura

d'où il résulte

comme dans les exemples précédens ; mais ici a et ^ sont les projections verticales des espaces décrits simultanément par les poids R et P, tandis que , dans le cas précédent, et et C étaient ces espaces mêmes*

STATIQUE, SECONDE PAliTlE. (35i)

55o. D après ce quoa a vu dans le n^ 49 1 deux forces qui se font équilibre par riutermédiaire d'uu .levier quelconque, sont en raison inverse des espaces infiniment petits, projetés sur leurs directions res* pectives, et que peuvent décrire en même temps leurs points d'application. Cet énoncé est celui qui convient k tous les cas. Ainsi , en appelant P et R la puissance et la résistance en équilibre par Tintermédiaire d'une machine quelconque, supposant qu'eu imprime un mouvement infiniment petit a cette ma- chine , et désignant par S et x le$ projections sur le^^ directions de ces forces, des espaces qui seront décrits en même temps par leurs points (fapplication , où aura toujours

Ve = Qa;

à quoi il faut d'ailleurs ajouter que l'une des projections devra tomber sur la direction même de la force correspondante, et l'autre sur son prolongement, ainsi que cela a lieu dans le levier.

Dans la pratique, il suffira que le mouvement imprimé à la machine soit seulement très petit. En mesurant les longueurs des projections C et a, on en conclura immédiatement le rapport de la puissance à la résistance, sans rien connaître de la composition particulière de la machine.

53 1. Non seulement cet énoncé convient à une machine quelconque, mais il s'étend aussi à un nombre quelconque de forces en équilibre. Soient donc, en général, M, M', M", etc. (6g. 82), un système de points matériels liés entre eux de telle manière qu'on

66o TRàlTÉ DE MÉCANIQUE,

voudra; supposons que des forces P, P', P*, etc., agissent sur ces points ^ suivant les directions MA, M'A', M"A", etc. ; faisons subir à ces points des déplacemens infiniment petits et compatibles avec les conditions du système, de sorte qu'ils soient transportés en N, N', N", etc. ; projetons N, N', N'', etc., sur les droites MA, M'A', M"A", etc, en a, a', a", etc-, et posons

Ma = /^, M'a' = />', MV = p% etc.

En considérant ces projections /i, /?', p*, etc., comme des quantités positives ou négatives, selon qu'elles tombent sur les directions des forces correspondantes, ou sur leurs prolongemens , nous aurons

Vp + If y + Py + etc. = o,

lorsque réquilîbre aura lieu; et réciproquement il j aura équilibre , quand cette équation subsistera pour tous les déplacemens compatibles avec les conditions du système.

Les droites infiniment petîtesMN, MTN', M"N", etc., sont ce qu'on appelle les vitesses virtuelles des points M, M', M", etc. ; dénomination qui provient de ce qu'elles sont considérées comme les espaces qui seraient parcourus simultanément par les points du système, dans le premier instant où l'équilibre viendrait à se rompre.

On doit observer que le principe des vitesses vîr^ tuelles , contenu dans la formule qu'on vient d'écrire, donne seulement les conditions d'équilibre qui peuvent être exprimées par des équations.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 66i

mais non pas celles qni sont relatives à la direction de certaines forces, et à Tétcndue dans laquelle elles doivent rencontrer un plan fixe (n* 266). Les mouvemens compatibles avec les conditions du système, qni donnent lieu à des équations d'équilibre, sont ceux dont les mouvemens directement contraires sont également possibles. Mais, par exemple, si un point matériel est posé sur un plan fixe, le mouvement sera possible dans ce plan , suivant chaque di* rection et suivant la direction contraire ; et perpendiculairement à ce plan, il ne pourra avoir lieu que dans une seule direction. Or, la considération des mouvemens dans le plan, donnera lieu aux conditions d'é* quilibre qui s'expriment par des équations, et la considération du mouvement perpendiculaire déterminera seulement la direction de la force normale , qui doit être contraire à celle, du mouvement possible. Dana Ténoncé du principe des vitesses virtuelles, on suppose implicitement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du système , et le mouvement directement contraire , sont également possibles; en appliquant successivement 1 équation précédente à ces deux mouvemens, les quantités p, p\ p^\ etc., changeront toutes de signe, et il nen résultera qu'une seule équation d'équilibre.

Si la force P, est la résultante de plusieurs forces données Q, Q*, Q", etc. , et quon représente par ç, q'y q"f etc. , les projections de MN sur leurs directions, on aura (n^ 54)

Pp = Qî -H QY + Q-V' + elc;

en sorte qu'où pourra remplacer dans l'équation précédente, le terme ¥p relatif à la force P, par cette somme de termes de la même nature, qui répondent a ses composantes; et de même, par rapport aux forces P, P', P% etc., si elles sont aussi les résultantes de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesses virtuelles, dans le cas d'un point isolé en équilibre, est, comme on l'a vu dam le u? 59, une conséquence de cette dernière équation, soit qu'il s'agisse d'un point entièrement libre, ou qu'il soit assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée. Il s'agit actuellement de démontrer ce principe général, dans le cas d'un système quelconque de points matériels M, M', M", etc.

332. Supposons ces points liés entre eux par des verges inflexibles ou par des fils flexibles, dont les uns soient fixement attachés à ces points, tandis que (Tau très les traversent comme des anneaux mobiles. Dans ce dernier cas, ces points ou anneaux ont la liberté de glisser le long des fils qui les traversent , et que Ton suppose, pour cela , parfaitement flexibles.

Après qu'on a appliqué les forces données P, F, V, etc., aux points M, M', M", etc., et que Tcquilibre s'est établi, il est clair que les fils qui joignent ces points deux à deux , éprouveront chacun une tension particulière, c'est-à-dire, que chacun de ces iils sera tiré à ses deux extrémités par des forces égales et contraires, dirigées suivant ses prolongemens , ainsi qu'on l'a déjà dit dans le cas du polygone funiculaire {n^ :285). L'intensité de cetle force sera la me-

sure de la tension inconnue que ce fil éprouve. Un fil qui ne serait pas tendu, ne contribuerait pas à l'équilibre, et Ton pourrait en faire abstraction.

lia tension peut varier d'un fil à un autre ; mais s'il s'agit de deux fils qui sont le prolongement l'un de l'autre à travers un anneau, la tension est la même dans ces deux parties d'un même fil qui doit nécessairement éprouver une égale tension dans toute sa longueur (289). Ainsi, par exemple, si M est un anneau traversé par le fil M'MM'', la tension de MM' sera égale à celle de MM^

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un même anneau » la tension est la même dans les deux parties dé chaque fil , et peut varier d'un fil à l'autre. Si donc, outre le fil M'MM'^, il passe encore un fil M'^'MM'^ dans l'anneau M ^ la tension sera la même dans les deux parties MM'" et MM*' de ce dernier fil, et, en général, elle sera difierentede celle des deux parties MM^ etMM'', du premier fil. Et si un autre fil^ tel que MM', vient aboutir au même anneau M auquel il soit fixement attaché , ce fil aura sa tension particulière, généralement difierentede toutes celles des autres fils qui aboutissent au même point M«

Observons encore que si M' est un anneau ainsi que M, et que le fil M"MM', après avoir traversé l'anneau M, passe encore par l'anneau M' pour aller aboutir au point M'", la tension sera la même dans les trois filsM"M, MM', M'M'"; car alors ces trois fils n'en font qu'un seul M"MM'M'". En général, lorsqu'un fil est partagé en plusieurs parties , par des an-

neaux mobiles , la tension est la même dans looles

ees parties.

i\ 1 égard des verges inflexibles/ quand FéquitilH^ existe, elles sont tirées on poussées dans le sens de leur longueur, par des forces égaies çt contraires, agissant à leui^s extrémités. L'intensité commune de ces deux forces, pour chaque verge, est la mesure de .la tension ou contraction qu'elle éprouve. S'il eu existe une ou plusieui^ dans le système, qui ne soit ni tendues , ni contractées, elles sont inutiles à Féquilibre, Qt l'on peut les supprimer. Ainsi, dans ce qui va suivre, nous supposerons tous les liens physiques qui existent dans le système , tendus ou ccHitractés suivant leurs longueurs par des forces inconnue?.

L'avantage du principe des vitesses virtuelles est de donner l'équation d'équilibre dans chaque cas particulier, sans qu'on ait besoin de calculer ces forces in« térieures ; mais con^niè la démonstration que nous allons donner est fondée sur la considération de ces forces y de grandeur inconnue, voici la notation dont nous ferons usage pour les réprésenter.

Nous désignerons par [/n, m'], la tension ou la contraction du fîL flexible ou inflexible qui joint deux points quelconques M et M' du système. De cette manière [/», m"], [m', m"], etc., représenteront les tensions ou contractions des fils qui joignent M et M", M' et M", etc.

355. Nous aurons aussi à considérer les variations inflnimentpetitesqu'éprouventles distances des points M y M'y M", etc., pris deux à deux, soit quand l'un de ces points change seul de position, soit quand ils

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 665

sont déplacés sîmultanëment« Alors, nous désignerons par (td^ m') la distance de deux points quelconques M et M'; en sorte que (i», m"), {m! , ni')^ etc., soient de mênie les distances de M et M', M' et M^', etc. Nous emploierons la caractéristique cT^ , pour indi-quer les variations de ces distances , relatives au dé-* placement du point M; la caractéristique cT/^ pour indiquer celles qui ont lieu quand c'est le point W qui se déplace; la caractéristique S" j'y pour indiquer les variatians provenant du déplacement de W; et ainsi de suite. Enfin , nous réserverons la caractéris-* tique J^i sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance dé deux points ^ résultant de leurs déplacemens simultanés.

' Puisqu'on suppose , par exemple , que M a été transporté de M en N et M", de M' en N', nous aurons

^ {m, nT) = MM' ~ NN',

/, (m, m') == MM' — NM',

^!(m,m!) = MM' — MN';

U est important d'observer que la variation totale, indiquée par i"^ est égale à la somme des variations partielles , indiquées par «T, et cT/ ; de manière qu'on a , pour deux points quelconques^

cr(m, ni) = <f^{m, m') + J'/(w, ni);

équation qui résulte de ce que les déplacemens de M et M' sont infiniment petits , et qui n'a lieu que dans cette hypothèse. En effet (m, m') est une fonction des coordonnées de ces deux points; ces variables pven-

nent des accroissemens infîniment petits , posilils ou négatifs^ quand M et M' sout transportés en N et N'; or , en rejetant les puissances de ces accroissemens supérieures à la première, il est évident que l'accroissement total d'une fonction quelconque de ces coordonnées, est égal à la somme des accroissemens partiels qui seraient dus à la variation de chaque coordonnée isolément; par conséquent, la variation totale de (m, m'), indiquée par la caractéristique «T doit être égale à ]a somme de ses variations partielles qui répondent à cT^ et cT/.

354- Tout ce qui précède étant admis, considérons le point quelconque M , auquel est appliquée la force donnée P. Ce point est lié aux autres par les fils MM', MM% etc. ; il est donc tiré ou poussé , dans le sens de chacun de ces fils , par une force égale à la contraction ou à la tension que ce fil éprouve ; eu sorte qu'outre la force donnée P, le point M est encore soumis à l'action d'autant d'autres forces qu'il y a de fils aboutissant à ce point. Après qu'on a eu égard aces forces intérieures, il faut faire abstraction des fils qui lient M aux autres points du système , et le considérer comme un point isolé, autour duquel les forces [m, 7/i'], [m, mTjf etc., et la force P, doivent se faire équilibre. Si M est un point fixe, il n'en résultera aucune équation de condition; mais s'il est entièrement libre, ou s'il est seulement assujetti à rester sur une surface ou sur un courbe donnée , on aura entre ces forces l'équation des vitesses virtuelles , déjà dé' montrée pour l'équilibre d'un point matériel isolé.

Pour former celte équation , prenons un point N

îndinment voisin de M, et appartenant à la surface ou à la courbe sur laquelle ce point IVl est astreint à demeurer, s'il n'est pas entièrement libre. Soient /7, tf t\ f^ etc. , les projections de MN sur les directions des forces P , [w , vf\ , [m , w''] , \pi , m'"] , etc. ; nous aurons (n® Sg),

P/? + [/7i, wi'].^-f [/n.m"].«'+[/ii,m'"].^"+elc.= o.

Mais, à cause que la ligne MN est infiniment petite,, il est aisé de voir que sa projection sur la ligne MM' n'est autre chose que la différence des deux distances MM' et NM'; car si l'on abaisse du point N (fig. 83) la perpendiculaire NH sur MM', la droite MH sera cetle projection, et l'on aura

MH = MM' — HM'.

Or, on a aussi

HM' = v/(NM7 — (NH/ = NM',

en négligeant les infiniment petits du second ordre ; on aura donc

MH = MM' — NM'.

D'après les notations convenues, cette équation est

et Ton aura de même

t'szJ'Xm, m") , t" = J', (m , m'") , etc. ;

par conséqueut, l'équation d'équilibre deviendra

Tp + [/«, to'] . cTX'», m') -+- [w , /»"] . «T/m, m") + [m , m'"] .^/m, m'") + etc. = o .

En oonsidérant les autres points M'^ M'^ M'''^ etc. , da système, oo aura pour chacun deux une équation pareille à celle-ci ; ces équations seront

'Pp'+im%m'\.^;{m',m)'^im\m''].^;{m\ m")

-h [m', m"^] . J^/ (/»', m!") + etc. = o,

+ [/»", m!"] . //' (m", m'*) + etc. = o,

+ \m!", m"],<r,'"(m«', m") + etc. = o;

/>', /i", p'", etc., étant les vitesses virtuelles de M', M*, M''', etc. , projetées sur les directions des forces données P', F', P''^ etc., qui agissent sur ces points matériels. Ajoutons toutes ces équations: en observant que [m, m'] et (m, m') sont la même chose que [m', m] et (m', 77i), et de même pour toutes les notations semblables ; et en substituant la variation totale de chaque distance à la somme de ses variations partielles, nous aurons

Pp -f. py + p-^-^. PV+ etc. 1

. +[m,m']./(m,m')+[w»,mT./(7ii,m*)+[m,m^./(m,m'')+ctc. I

+[m', m^ . t (m', m') + [m , ?»•] . ^(i»', m") -f- etc. > (fl)

-|-[m', mT . /^ (m'', rnT) + etc. l

-f-etc. = 0 J

555. Jusqu'ici les déplacemens MN, M'N', M"N",etC4 (fîg.82),sont indcpendans entre eux; et Téquation {a) suppose seulement que ces points n'ont pas quitté les surfaces ouïes courbes données, sur lesquelles ils sont obligés de rester^ mais si nous supposons, en outre, qu'en vertu de ces déplacemens, les points du système

^i sont joints par une verge ou un fil tendu, ont conservé les mêmes distances respectives, nous aurons

«r(m,7n') = o, Ér(m, 7?i") = o, cT (m', m") 5=30, etc.,

et Fëquation (a) se réduira à celle-ci :

Vp + py + py + P'y" + elc. =r o , (è)

qui est précisément celle du principe des vitesses virtuelles (n** 35 1).

Si dans les déplacemens des points M, M', M'', etc., ceux qui sont des anneaux ont glissé le long des fils qui les traversent, Téquation (b) aura encore lieu, pourvu que les longueurs totales de ces fils niaient pas varié. Supposons, par exemple, que M est un anneau qui a glissé le long du fil M'MM''; alors on n'a plus séparément c^Cw, m") = o et cT (m , m") = o , mais on a toujours

puisque la longueur totale du fil reste constante. Mais, dans ce cas, les tensions [m, m!^ et [m, m'^ des deux parties de ce fil sont égales; les termes qui renferment ces tensions dans Téquation (a) peuvent donc s'écrire ainsi :

et, par conséquent, ils se détruisent.

En général, on conçoit que si un fil flexible passe à travers un nombre quelconque d'anneaux , les tensions égales de ses diiSeventes parties disparaîtront de

Gopgle

réquatioD (a) toutes les fois que la longueur totale de

ce fil ne variera pas.

Concluons donc , enfin ^

i^. Que Féquation résultante du principe des vitesses virtuelles a lieu pour tous les mouvèmens infiniment petits qu'on peut donner à un corps solide , libre ou gêné par des obstacles fixes ; car dans tous ces mouvèmens les distances respectives des points de ce corps sont invariables.

â"*. Que cette équation a aussi lieu pour tous les mouvèmens infiniment petits que peut. prendre un système de points ou d^anneaux liés par des iils flexibles y pourvu que ces fils restent droits ou tendus. Quand cette condition n'est pas remplie, les tensions ne disparaissent pas toutes dans Téquation {a), et, conséquemment, l'équation (b) n'a plus lieu.

556. Il faut encore démontrer que, réciproquement^ quapd Téquation (b) a lieu pour tous les mouvèmens infiniment petits qu'on peut faire prendre au système des points M, M', M", etc. , les forces dontiiées P,' P', F', etc. , sont en équilibre , ainsi que nous l'avons énoncé précédemment (n** 55i).

Supposons pour un moment que l'équilibre n'ait pas lieu. Les points M, M', M", etc. , ou une partie d'entre eux, se mettront en mouvement, et, dans le premier moment, ils décriront simultanément des droites telles que MN, M'N', M'W', etc. ; on pourra donc réduire tous ces points au repos, eti leur appliquant des forces convenables, dirigées suivant les prolongemeiis de ceis droites, eii

sens contraire des mou vemens produits; par conséquent, si nous désignons ces forces inconnues par R, R% R", etc. , 1 équilibre. aura lieu entre les forces P, P', F', etc., R, R', R", etc.; en sorte que r, r', i^\ etc. , désignant les vitesses virtuelles projetées sur les directions de ces nouvelles forces R, R-, R", etc., on aura, d'après le principe des vitesses virtuelles qui vient d'être démontré,

Pp 4- P'p'+Fy'+ etc.H- Rr + RV+R V+ etc.=o,

ou simplement

Rr + RV + RV'+etc.=o, {c)

en vertu de l'équation (6), qui a lieu par hypothèse.

Cette équation (c) existant pour tous les mouvemens infiniment petits compatibles avec les conditions du système des points M, M', M'', etc. , nous pouvons choisir pour leurs vitesses virtuelles les espaces réellement décrits MN, M'JN', M'WVetc, dans un même instant; mais comme ces lignes sont comptées sur les prolongemens des directions' de R , R', R", etc., il s'ensuit que toutes les projections r, r\ y, etc. , seront négatives fn* 55 1) , çt égales, abstraction fidte du signe, à ces mêmes lignes MN, MW, M"i>l", etc. Alors, tous les termes de l'équation (c) étant de même signe, leur somme ne peut être nulle, à moins que chaque terme ne soit séparément égal à zéro ; on aura donc

R.MN=:o, R'.M'N' = o, RM\lWr±=o, etc.

Or, pour que le produit R.MN soit nul, il fout

qu on ait^ ou R sr o , ou MN ss o ; ce qui signifie , dauB l'un et l'autre cas, que le point M ne peut prendre aucun mouvement : il en est de même à l'ë^ gard de tous les autres points { par conséquent, le système entier est en équilibre; et c'est ce que nous nous proposions de démontrer.

5S7* Lorsqu'il sera question des fluides, nous ferons voir, en partant de leur propriété fondamentale, que le principe des vitesses virtuelles a aussi lieu dans l'équilibre d'un système de forces dont les actions se transmetteat par l'intermédiaire d'un fluide contenu dans un canal ou dans un vase de forme quelconque. De cette manière , la démonstration du principe général de l'équilibre aura toute l'étendue que l'on peut désirer; car lés verges inflexibles, les fils tendus, les fluides contenus dans des canaux, sont les différentes sortes d'intermédiaires qu'on peut établir entre des points matériels, séparés les uns des autres, pour transmettre l'action des forees de l'un de ces points à un autre ; et si d'ailleurs , parmi ces points, il y en a qui soient immobiles, d'autres par&itement libres, et 4'autres assujettis à rester sur des surfaces ou sur des courbes données, on aura le système de points maté* « iels le plus général qu'on puisse avoir besoin de considérer. Toutefois, je vais donner" une autre démonstration du même principe, que l'on doit à Lagrange, «t qui repose sur des notions plus élémentaires que la précédente ; elle est fondée sur la possibilité de remplacer toutes les forces appliquées à un système quelconque de points matériels, par un seul poids agissant comme on va d'abord l'expliquer.

338. Si un point M ( fig. 84) est sollicité par une force P dirigée suivant la droite MA , on peut d'abord supposer que cette force soit appliquée au point A ^ et agisse au moyen d'un cordon MA attaché à ce point M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un fil qui s'enroule alternativement sur une moufle fixe et sur une moufle mobile^ et soit attaché par Tun de ses • " deux bouts à l'une ou à l'autre de ces deux moufles ; celle qui est fixe répondant au point A^ et celle qui est mobile au point M< En suspendant verticalement un poids K à l'extrémité libre du fil, la tension sera égale à K dans toute sa longueur. Si les dimensions des poulies sont regardées comme infiniment petites^ les tensions de toutes les parties de ce fil ^ qui aboutissent à la moufle mobile ^ auront la même direction; en appelant i leur nombre^ leur résultante sera égale à iK, et agira sur le point M suivant la direction MA; par conséquent, si l'on a iK = P, on pourra remplacer l'action de la force P par celle du poids K.

Il en sera de même à l'égard des autres forces P', P", etc., appliquées à des points M', M", etc. , suivant des directionsM'A', M^'A'^, etc.; chacune d'eUes pourra être remplacée par un poids égal à un sous^multiple de son intensité, agissant comme on vient de Texpliquer pour la force P. De plus, il est aisé de voir qu'on pourra toujours faire passer successivement, comme le représente la figure* 85, un seul et même fil sur toutes les moufles fixes en A, A', A", etc., et sur toutes les. moufles mobiles attachées aux points M, M', M", etc. Supposons donc que i, i', f", etc., sont I. . . 43

des nombres entiers , et qu'on ait

iK = P, rK = F, i"K = F', etc. (d)

En su^ndant verticalement le- poids K à lextrémité libre de ce fil ^ le système des forces données P y J?\ F'', «te. , se trouvera remplacé par ce senl poids, dont Faction sera transmise aux points M, M' y M'', etc. , par l'intermédiaire de ce fil , et des moufles fixes et mobiles. A la vérité, les équations (d) supposent les forces V , V, F', etc. , commensurables ; mais cette hypothèse est toujours admissible, puisque leur commune mesure K peut être un poids aussi petit qu'on voudra, et mêûie infiniment petit, SI cela est nécessaire.

35g. C!oncevon6 actuellement qu'on imprime aux points M, M', M"j etc., un mouvesment qui soit compatible avec les conditions du systèi^ie^ ainsi que le mouvement directement contraire; soient N, N', N'^ etc. , leurs positions après un temps infiniment petit; et appelons, comme précédemnient,/i, p', p", etc., les projections de MN, M'N', M'W, etc., sur les directions de P , P', P", etc. , ou sur leurs prolongemens.

Le point N étant projeté en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A à M sera raccourci d'une quantité AM — AN, pour laquelle oo pourra prendre Ma, en négligeant .les infiniment petits du second ordre ; ce cordon serait , a^ contraire , allongé de Ma , si le point a tombait snr le prolongement de AM; d'où Ton conclut qu'à raison du déplacement de M, le poids K descendra

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 678

lans le premier cas, et montera dans le ^cond, Toime quantité égale au produit de Ma et de i; ce [ai i^YÎeqt à dire, d'après le signe de p (n* 53 1), que a irariation positive ou négative 4e sa hauteur verti'- :ale sera exprima par ip,k raison dq ce seul dépla* :ement. Il en sera de même par rapport à tous les autres pQÎqtsAI', M'^etc; par conséquentes! Ion désigne >ar Ç une quantité iqfiqiinent petite, qui représente, ;elpii qu'elle aéra positive ou négative, la quantité totalft dont le poid» K descendra ou iqontera, par suite des déf^cefpens sin^ultané^ de tous les points du sjslème, nous aurons

Ç = 1/) H- iy + ty + etc.

Or, le poids K tendant à descendre, et étant la seule force qui agisse sur le systèpae, il est évident que rien ne l'empêchera de produire le mouvement que nous considérons, si cette valeur de Ç est positive; et que, si elle eçt négative, rien n'empêchera le poids K de produire le mouvement directement contraire, qu'pn suppose également possible, et pour lequel Ç chang^era de signe. Pour que l'équilibre ait lieu , il est donc nécessaire que Ç soit ?éro. Réciproquement, le poids K ne pouvant produire aucun zDOuven>ent quelconque, sans descendre d'une quantité infiniment petite dans le premier instant, il s ensuit qu'il n'en produira aucun, et que l'équilibre aura tîpu,~si Ton a iC = Pt pour tous les déplacemens des points M, M', M'', etc., infiniment petits et compatibles avec les conditions du système.

Hdaintenant, si l'on multiplie par K l'équation

ip 4- ly + lY' 4- etc. = o ,

nécessaire et suffisante pour Téquilibre^ et qu'on ait égard aux équations {d)^ elle se changera dans Féquatîon {b) du principe des vitesses virtuelles, qu*îl s'agissait d'obtenir.

540. Cette démonstration ne suppose pas le principe préalablement démontré pour un point matériel isolé. Si le système se réduit à un seul point M auquel sont appliquées les forces P, P', F', etc. , données en grandeur et en direction , on substituera à leur action simultanée celle dun seul poids K, comme dans le n* 338; et, dans le cas de l'équilibre de ces forces, le principe des vitesses virtuelles se déduira de cette substitution par le raisonnement qu'oa vient de faire : or, ce principe fournira immédiatement les équations d'équilibre du point M, assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe , ou entièrement libre (n* 39). Dans ce dernier cas, en considérant l'une des fbt*ces données comme étant égale et contraire à la résultante de toutes les autres, on en déduira les règles de leur composition et de leur décomposition I et le théorème du parallélogramme des forces. En appliquant ce principe à l'équilibre de trois forces parallèles, dont l'une est, par conséquent j égale et contraire à la résultante des deux antres, on en conclura également les règles de la composition et de la décomposition des forces parallèles.

On déduit aussi, sans difficulté, du principe général des vitesses virtuelles, les équations d'équilibre

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 677

d'un corps solide entièrement libre, que nous ayons trouyées d'une autre manière dans le n"* 260.

En effet, nous pouyons d'abord supposer que tous • les points de ce corps décriyent des droites égales entre elles et parallèles à Tun des axes dies coordonnées. En appelant h la longueur de ces drcHtes,, et « , a'f a'', etc. , les angles que leur direction commune &it avec celles des forces données, nous aurons

/y = Acosa, p'=Acosa', p"=:Acosa", etc.,

pour les yitesses virtuelles des points M, M\ M", etc., du corps solide , projetées sur les directions des forces P, P', P", etc., appliquées à ces points ; donc, en substituant ces yaleurs dans l'équation (^), et supprimant le facteur A, comme à tous les terknes, on aura L'équation d'éqxdlibre

P cos fit + P' cos a' H- F' icos a!^ 4* etc. = o.

En considérant successivement les mouvemens du corps parallèlement aux deux autres axes des coordonnées, on obtiendra de même les deux autres équations d'équilibre semblables à celle-là.

Nous pouvons aussi faire tourner le corps autour de l'un des aites des coordonnées. Pour former l'équation qui correspondra à ce mouvement, je représenterai les coordonnées des points M, M', M*, etc., et les angles que font les directions des forces P, P', P', etc., avec celles de ces coordonnées, par les mêmes lettres que dans le n^ 2Q0» En supposant que la rotation ait lieu autour de l'axe des z, chacim de ces points décrira un arc de cercle parallèle au plan des

678 TRAITÉ DE BIÉCANIQOE.

X etjTf qui aura pour rayon la perpendiculaire abaissée de ce point sur tel ajcie. De plus, par )a nature da cbk^^s solide, Tangle décrit par cette perpendiculaire sera le même pour tous ses points. Si donc on le suppose infiniment petit , qu'on le désigne par », et par r, r'y r^\ etc. , les distances des points M, M% M'', etc., à l'axe des 2, on aura roù^r^m^ r^œ, etc. , pour ledA vitesses virtuelles ; et en appelant aussi J^, J^, J^, elc., les angles aigus ou obtus que font les directions de ces vitesses avec celles des forces P, P', F', etc., il en résultera

^B=r^ coscTy />'e=/»cos J", p*=sr"» cos J^, etc.,

pour les projections de ces mêmes vitiesses sur les directions de ces forces ou sur leurs prolongemens.

Soient, en outre, a, b,c, les ang;Ies compris entre la direction de la vitesse rcû et des parallèles aux axes des X ,jr,Zp menées par le point M ; les mêmes angles relatifs à la direction de la force P étant A,€,yj \

on aura

coscTscosacosot-f-cos 6cos €+oosccosy;

mais à cause que la vitesse na est tang\ente en M , ao cercle du rayon r qui a son centre dans Taxe des z, il est aisé de voir qu'on a

oos6==t-, cosa = qp-, cosc = o, et, par conséquent,

p SB rcùCùs J" = ziz(x cos€ — ^cos et)». On aura de même

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 679

p' zsz db (x' cos €' — ^ cos flt')û>, / = zt {af cos Ç' — y cos a")», etc.

Lies signes dépendront du sens de la rolation ; et l'on devra prendre^ à la fois , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs ; en lessubs^ ti tuant donc dans féquation (i) et supprimant le facteur dbo^, commun à tous les termes, nous aurons

p (a: cos f—^ cos cty^p' {a: cos G'-^y cos flt')+etc.=o.

Cette équation d'équilibre est celle des momens par rapport à Taxe des z, autour duquel le mouve** ment a eu lieu ; on obtiendra de la même manière les équations des momens par rapport aux axes des ao et des ^9 en faisant tourner successÎTement le corps solide autour de ces deux droites.

• 341- On peut donner à Féquation (ô), une forme différente qui en rendra les applications plus faciles.

Pour cela, soient or,^, z, les coordonnées du point M dans sa position d'équilibre ; x + «Tx , ^ + Jy , z + J'z, ce qu'elles deviennent quand on transporte ce point matériel dans une position N infiniment voisine ; X, Y, Z, les composantes de la force P suivant les prolongemens des x, f, z, dans le sens positif; ces quantités infiniment petites J^a:, J'jr, J^z, seront les projections de la vitesse virtuelle MN sur les directions de X ^ Yy Z ; et /7 étant toujours sa projection sur la direction de P> on aura (n* 53 1)

Tp s= XcTo: + YcTr + Z<fz.

68a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En dÀignant par les mêmes lettres avec des accens, les quantités analogues qui repondent aux points M', M", etc. j on aura aussi

etc.;

et si l'on ajoute ces équations et la précédente^ on pourra écrire

la somme 2 s'étendant à tous les points M, H', M'', etc. y du système , et se composant , par conséquent^ d'un nombre de parties semblables, égal à celui de ces points. De cette manière^ Téquation (&) prendra la forme :

2(XJ'a: 4- Yjy + ZH) = o, [e)

qu'il s'agissait de lui donner.

Or, quelle que soU la liaison des points du système, on peut toujours Texprimer par une ou plusieurs équations entre leurs coordonnées. Soient donc L , L', \l[y etc., des fonctions données de x.f j^ z, jc', y y etc. , ou d une partie de ces coordonnées; et supposons que ces équations soient

L = o, L' == o, L" = o, etc. (/)

Les déplacemens simultanés de tous les points du système devant être compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti, il faudra que les coordonnées o:, 7, J5, x\ y, etc. , de M , M', M'', etc. , et les coordonnées x-^-S'Xy y-^Sy^ z+J'Zyx'-^S'x', etc..

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 68i

de N , N', N", etc. , satisfassent successivement à ces équations ; par conséquent^ en négligeant les infiniment petits du second ordre , nous aurons

^ J^x + I jy + S <f- + §cra:'+etc.=ç/

^J^^ + f jy+ ^J^.H-^<ra:'+etc.=o,( etc.

Si l'on change en même temps le sens des déplacemens de tous les points du système , les signes de J'a:, jy, cTz, J^x', etc., changeront tous à la fois, et ces équations seront encore satisfaites; en sorte que le mouvement infiniment petit auquel elleâ répondront, et le mouvement directement contraire, sont également compatibles avec les conditions données, comme le suppose implicitement Ténoncé du principe des vitesses virtuelles (n** 35i).

Cela posé , au moyen de ces équations (g*) , on éliminera, dans chaque cas, de l'équation (e), un nombre des quantités J'Xy J'jr, J'z, /a:', etc., égal à celui des équations (/); celles de ces quantités qui resteront ensuite dans le premier membre de l'équation (e) , seront indépendantes entre elles ; on devra donc égaler séparément leurs coefficiens à zéro ; ce qui fournira toutes les équations d'équilibre du système , dont le nombre sera égal à trois fois celui des points matériels M, M', M'', etc., moins le nombre des équations (y). Lorsque les positions de ces points, è'est-à-dire, les valeurs de leurs coordonnées x, j-, z, x[^ etc..

seront données, il faudra que les conapesanles de& forces P, F', P", etc., saffsfassent k eeis ëquàtioiûs d'équilibre; quand, au contraire, on donnera ces forces en grandeur et en direction, et q«e les posH tions des points du système seront inconnues, ces mêmes équations , jointes aux équations (f), serviront à déterminer toutes leurs coordonnées.

34a • Les équations Ce) et (g) étant linéaires par rapport à Sx, Jy, S'z, Sx\ etc., FéliminatioQ d'une partie de ces quantités pourra se faire, d'après la méthode connue ^ en ajoutant ces équatictos après avoir multiplié les équations (^) par des factéurfr indéterminés, et en égalant à zéro , dans cette somtne, les coeiBciens de celles des quantités cf^or, jy, St, ^xf, etc. , qu'on voudra éliminer. Les coefficiens des quantités restantes devant ensuite être aussi égaux à zéro, il s'ensuit qu'on devra égaler à zéro les coeffi* ciens de toutes lés quantités cTa:, J^, S^z, S'x^ etc., indistinctement , dans la somme dont il s'agit ; d'oà il résultera un nombre d'équations égal à celui des coordonnées, entre lesquelles il restera, dans chaque cas, à éliminer les facteurs indéterminés, pour avoir les équations d'équilibre du système.

En désignant par A, V, >!\ etc., les fisicteurs par lesquels oti multipliera les équations (g), on aura, par ce procédé ,

pour les équations provenant des coefficîéns de Sx^ Jy^ /2 ; on aura de même

pour cielles qui proviennent des coefflciéns de S^af^ Jy^ J'z' j et ainsi de suite.

An lieu d'éliminer simplement X^ X\ ?<\ etc. , on pourra tirer de ces équations les valeurs de ces inconnues; nous allons expliquer comment on en déduira ensuite^ en grandeur et en direction ^ les forces provenant de la liaiton des points du systèibe , qui agissent sur tous ces points et font équilibre atix forces données P^ P^, P'^, etc. La détermination 4^ ces forces inconnues est une partie importante du problème de l'équilibre, dont la solution complète et générale se trouvera ainsi comprise dans l'ensemble des équations (/) , (A), {V) , etc.

343. Si l'on suppose que tous les points du système, moins le point My soient rendus iBxes, l'équilibre ne sera pas troublé. En vertu de Téquation L = o , le point M* sera alors astreiht à se Mouvoir sur la surface dontLssO est l'équation, et dans laquelle les coordonnées or, ^, z, seront seules variables. Or, en désignant par 11 la résistance de cette surface, laquelle sera dirigée suivant une des deux parties de la normale en M, on pourra remplacer cette surface, ou l'équa^

lion de coadition L==o, par cette force inconnue. De méme^ on pourra remplacer L's=o par une force f(Lt normale à la surface qui répond à cette équation ; L'' = o par nne force ^ normale à la surface correspondante; et ainsi desnite. Donc, en joignant à la force donnée F , on à ses composantes X, Y, Z, ces forces normales fi, fA^ , /jl^, etc. , on pourra ensuite considérer le point M comme entièrement libre et isolé. Par conséquent^ si Ton désigne par a, b, c, les angles que fait la direction de la force /a avec des parallèles aux axes des JCyjr,Zp menées par le point M; par a, , ^t, c^, les mêmes angles Telatife, à la force /«, ; et ainsi de suite , nous aurons

X+fi cos a-^fi^ cos a,+/M., cos a^-f-elcso, Y +/i cos b+fit cos i| + ft. cos b^+eic.z=iO , Z +fA cos c +14, cos c, +jw, cos c, +etc.=o ,

pour les trois équations d'équilibre du point M. De plus , si Fou fait , pour abréger ,

etc., on aura aussi , par les formules connues (n* ai).

I ^ > i dL i dL

cos a =- -j-, COS £^ r= - -=-, COSCzzz --7-, 9 dx' f djr' f dz '

idV .1 dU 1 dU

COS a.= — T— » cos a,= - 7—, cos c.^--=- , * »,tfx ' »i «r * », as '

COS «ft= - -j- • cos ^^= - -=—, cos Cj=- -1- ,

etc. ;

ce qui changera les trois équations d'équilibre en celles'-ci :

XI u dL , u, dV , lé» dL , ^

Y +^^ + ^^ + ^#^, + etc. = o, Z +^^ + îi?^' + ^î^ + etc. = o.

^ f dz ^ fi dz ' ». « »

Or, en les comparant aux trois équations (g) avec lesquelles eUes doivent être identiques, on en conclut

^= yX, A^r = ^x'^'f t^% = ^â^"* etc.

Ainsi, par rapport au point M, les forces provenant de sa liaison ayec d'autres points du système, sont exprimées par les produits fA , FjA', f^A", etc. j ces forces devant être des quantités positives , on donnera aux radicaux v , y., v», etc., les mêmes signes qu'aux quantités A, A', A", etc., et leurs directions seront complètement déterminées par les équationis (f).

Si l'on appelle de même /a^/àJ, /jlJ, etc., les forces provenant de la liaison du système, qui agissent sur le point M' et sont normales aux différentes surfaces

686 TRAITÉ DE BIÉCANIQUE.

sur lesquelles il est obligé de se mouvoir, quand tous les autres points M, M'', M''', etc., sout rendus fixes, on trouvera pareillement

fi! = ,'A, /ti/ = r/A', fi: = r/X", etc.,

en faisant pour abréger,

'■■=^/(^)-+(f)'+(gy.

'.■=\/(ëy+(f;j+(f)-.

etc.

On obtiendra.de même les expressions des forces relatives aux points M", M''', etc.

S44« ^^ comparant les valeurs de ^ et fjjy on a fjLv^ = fjJv ;

de sorte qu'ielles sont entre elles comme les quantités V et /• Lors donc que deux points matériels M et M' soni liés entre ejux, et, si Ton v^nt, à d'^utr^ points en nombre quelconque, par une équatioii Lso, il jen résulte I dans Fétat d équilibre, des forces ^t et li! appliquées g M et M', dont les grandeurs sont ^n(r^ elles i^pmoie v et /, et qui font ^vec les axes ài^ coordoni^ées , des angles dont les cosinus 90nt

\ dL X dL \ dL 7 âx' 7 ^ • i di '

pour la force ft , et

STATIQUE

œœiïDE PARTJE,

I dL

I dL

irfL

pour la force (/!. Le sens et la grandeur de ces forces dépend du s^ne et de la grandeur d'une quantité A qm se déduit, dans chaque cas, des équations d'équilibre. La considération des surfaces sur lesquelles chacun des points d'un système conserve la liberté de se monyoir, lorsque tous les autres sont supposés fixes, <}étermine les dti^ctions normales des forces provenant de la liaison de ces mobiles, pour chacune des équations par lesquelles cette liaison est exprimée (n* 290); mais on n'en peut conclure aucun rapport entre les forces relatives à deux points matériels liés par une mêoae équation ; et c'est le principe des vitesses virtuelles, ou les équations. (A), (A'), etc. , qu'o,n ei> a déduites, qui fait connaître ce nfpoitàpriorj, daus le cas de l'équilibre.

345* P.Q.urxlonner une application de ces fonjQules, reprenons l'exemple du polygone funiculaire que nous av,9n$ .déjà considéré- dans Je § V^ du chapitre précédcïnt ; et supposons qi^e les poiuts matériels M, M% M", etc.. , soient Içs sommets successif de ce polygone.

Si l'on appelle /, /', F', etc.^ les longueurs données des côtés MM', W'M", M"M'^ etc., les équations (/), seront, dans ce cas.

y= v/(^--yo>+(/~yr-^(z--z7~r=:o,

etc.;

d'où il résultera

dL dL X — x'

dL' dL' x'—x' , dx' ' 'rfx* e * ^^'*

dL' dL'y-y

dx~ daf l ' dL dL y — y

^- dy— l '

dL dL z —3!

dy dy t ' "*^-'

dL' dL' / — *• .

li ~d£ — l '

rf/ ~~ dz'~ f » ^^^'*

et toutes les autres différences partielles de L, U^ Vf etc., qui entrent dans les formules précédentes, seront égales à zéro.

En considérant les deux points M et M', on aura

F ^= / = ± I, ft = yx' = ± A ,

où Ton prendra les signes supérieurs ou inférieurs , selon que la valeur de A sera positive ou négative. On conclut de là et des équations précédentes, que les points M et M' seront sollicités par des forces égales et contraires, dirigées suivant la droite MM' ou suivant ses prolongcmens, et dont la quantité A, abstraction faite du signe, sera la grandeur commune. Il en sera de même à Tégard des points M' et M"^ M"etM'", etc.; en sorte que dans Tétat d'équilibre, les quantités A^ A', a", etc., exprimeront les contractions ou les tensions des côtés successifs MM', MW, M'TVr, etc. Comme on aura, d après les équations (/),

cosa

= =±2-^— , COs6===t'^--^, COSC=±— j— ,

et qu'on devra prendre les signes supérieurs ou infé- ' rieurs, selon que la valeur de A sera positive ou né*» gative, on en conclut, par exemple, que la force ap-

piiquée au point M sera dirigée de M vers M', et exprimera une contraction du côté MM', quand celte valeur sera négative , et que cette force agira dans le sens opposé et exprimera une tension , lorsque la valeur de A sera positive. L'un ou 1 autre de ces deux cas sera possible , si les côtés du polygone sont des verges inflexibles, jointes par des charnières; et le second cas pourra seul avoir lieu, si les côtés sont des fils flexibles.

ï^es équations (A), (A'), (A"), etc., pourront s'écrire ainsi :

AH j ji ,

etc.

Les trois premières montrent que la tension A sera la résultante des forces X, Y, Z. En les ajoutant aux

Ggo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

trois suivantes, on aura

Z + Z' = ^-1^-il^

ce qui fait voir que la tension A' sera la résultante de X', Y^, Z'y et des forces X, Y, Z, transportées au point M'^ parallèlement à elles-mêmes. En continuant de même, on aura pour la tension d'un coté quelconque la même valeur que dans le n"" 287.

Le nombre des sommets M , M', M'', etc. , étant désigné par n^ celui des équations précédentes sera 3a/, et celui des tensions A, A', A'% etc., égal à n ^ — I. En éliminant ces quantités, on aura dofic 27i+ I équations d'équilibre, lesquelles, jointes aux n — I longueurs données /, /^ Z'\ etc., des côtés du polygone, suffiront pour déterminer les S/2 coordonnées de ses sommets, et, par conséquent, sa figure d'équilibre. Mais ce calcul n'aurait aucune utilité; et il vaut mieux, comme nous l'avons fait dans le n* a86, tracer successivement les côtés du polygone funiculaire, d'après les grandeurs et les directions données qui agissent à ses differens sommets.

346. Dans le cas d'un système quelconque de points matériels M , M', M'^, etc. , si les forces -données, qui sont appliquées à ces points, proviennent de leurs attractions ou répulsions mutuelles, et de forces semblables qui émanent d'un ou plusieurs centres,

on aura

:E^'Xda: + Ydjr+Zdz)=dp{a:,j, z, :r',y,z', etc-);

(p désignant une fonction donnée des coordonnées de M 9 M^ M'', etc. , dépendante de la lot de ces forces par rapport aux distances.

En effet, h l'égard des forces provenant des centres fixes, cela résulte de ce qu'on a vu dans le n"* i58. Supposons, en outre, que U exprime l'action mutuelle de M et M', qui sera attractive , pour fixer les idées. Soit aussi u leur distance mutuelle , de sorte que U soit une fonction donnée de u,et qu'on ait

M* = (x' — a:y + (/ — ^)* + (z' - zy.

Les cosinus des angles que fait la droite MM' avec des droites menées par le point M , suivant les directions des a:,jp z, positives, seront

en les multipliant par U, on aura les composantes de celle force appliquée au point M et dirigée suivant MM'. Celles de la même force U, appliquée au point M' suivant la direction M'M, seront égales et contraires; et de la on conclut

?[(^-.a:) {dx - dLO + [j'—j) (djr— d/) + (z -z) {dz—dJ)] ,

pour la partie de la somme Z qui provient de l'aclîon et de la réaction de M et M'. Or, en rliffcrenliant la valeur de w*, on a

ce qui réduit la quantité précédente à — IJduy c'est* à-dire, à la différentielle d'une fidnction de u. II en sera de même pour les parties de la somme Z provenant des actions mutuelles des autres pcÂats du système; par conséquent, sa valeur entière se composera de termes qui seront tous des différentielles exactes , et cette valeur sera aussi la différentielle d'une fonction donnée des coordonnées de tous ces points.

En vertu de l'équation (e), cette fonction, que nous représentons par (p, sera un maximum ou «n mmîmi^m^ relativement aux valeurs des coordonnées qui répondent à une position d'équilibre du système; et, réciproquement, si l'on détermine le maximum ou le minimum de la fonction p, en ayant égard au équations (f) qui peuvent être données entre les coordonnées, les valeurs qu'on obtiendra pour ces variables répondront à des positions d'équilibre.

On conclut de là que quand le système des points M, M', M", etc., est en mouvement, de sorte que leurs coordonnées , et, par suite, la quantité ^^ soient des fonctions du temps, cette fonction ^ atteindra son maxi^ mum ou son minimum, toutes les fois que le système passera dans une position où il resterait en équilibre, si les points qui le composent n'avaient pas de vitesses acquises.

347* Il y aura entre le maximum et le minimum de la quantité ç une différence essentielle, à laquelle il importe d'avoir égard, et que nous allons expliquer.

On dit que l'état d'équilibre d'un corps ou d'uû sys-

Xkmeéiecqrfseststabie^lorsqaen écartant un tan! soit peu ces mobiles de leurs positions, ils tendent k y re*venir y en faisant de petites oscillations que les frotte* mens et les résistances des milieux finissent toujours par éteindre ou rendre insensibles. L'équilibre est non stable ou instantané y lorsque le corps ou le système de corps qui est dans cet état, tend de plus en plus a s'en éloigner , et finit par chavirer^ dès qu'on l'en a un peu écarté. En ne supposant aucun frottement qui puisse, jusqu'à un certain point, retenir les corps dans leurs positions, ee second état d'équilibre est un cas purement mathématique, qu'on ne saurait jamais observer, puisque la moindre force perturbatrice suffirait pour le détruire.

Cela posé, les équations fournies par le principe des vitesses virtuelles , ou, ce qui est la même chose, par la condition du maximum ou du minimum de la fonction ^, sont communes à ces deux états; mais le maximum convient à la stabilité, et le minimum à l'équilibre iustantané; et c'est, en effet, ce que nous ferons voir dans un autre chapitre, où nous considérerons la nature du mouvement qui a lieu lorsqu'un système de points matériels a été très peu écarté d'un état d'équilibre quelconque. En attendant, nous al^ I0Q6 donner des exemples de ces deux états d'équilibre dans le cas d'un système de corps pesans, et &ire connaître d'abord une propriété de son centre de gravité.

348- Supposons donc que la pesanteur soit la seule force appliquée aux points M, M', M", etc., lesquels seront les centres de gravité de corps dont nous

représenteroDS les poids par ^, nar ^ <w^', etc. En prenant la pesanteur verticale et dirigée dans le sens de cette force, nous aurons

Z = ^, Z' = ^', Z'' = -nr", etc.;

les autres composantes seront toutes nulles , et il en résultera

d(^ = fsrdz -f- 'zsr'dz' + m^d^ + etc.

Mais eu appelant n la sonimedes poids ^\ ^^ «zr*, etc., et 2. l'ordonnée de leur centre de gravité, verticale et dirigée dans le sens de la pesanteur, on a aussi (n® 64)

nz, = <nrz 4- <zyV -f- ^V + etc.;

on aura donc

c étant une constante arbitraire.

Or, on conclut de là, i**. que l'ordonnée «, est la quantité qui devra être un maximumou un minimum^ lorsque le système sera en équilibre , et réciproquement; 2*. que le maximum de 2, répondra au cas de l'équilibre stable, et son minimum au cas de l'équilibre instantané.

Ainsi, la condition d'équilibre d'un système quel-

y conque de corps pesans , consiste en ce que le centre

de gravité du système entier soit le plus l^s ou le plus

haut possible ; le plus bas quand l'équilibre est stable,

et le*plus haut quand il n'est qu'instantané.

349. D'après ce théorème , si une chaîne pesante, attachée par ses deux bouts h des points fixes, est en

équilibre, son centre de gravité sera le plus bas possible; ce qui s'accorde ayec le résultat du n"" 296.

Si un point matériel pesant est pose sur une courbe, et qu'en plusieurs points la tangente soit horizontale, l'ordonnée verticale du mobile , comptée dans le sens de la pesanteur, sera un maximum dans ceux de ces points où la courbe est concave par en haut, et un minimum dans ceux où elle tourne sa concavité par en bas ; par conséquent, les premiers seront des positions d'équilibre stable, et les derniers des positions d'équilibre instantané.

Si l'on pose un ellipsoïde homogène et pesant , sur un plan fixe horizontal , son centre de gravité, ou de figure, sera le plus bas possible lorsque l'ellipsoïde touchera le plan fixe par l'une des deux exti'émités du plus petit de ses trois axes ; et alors l'équilibre sera stable. Quand il le touchera par l'une des extrémités du plus grand de ses trois axes, son centre de gravité sera le plus haut possible ; et l'équilibre ne sera qu'instantané. Enfin, si le point de contact est une extrémité de l'axe moyen, l'élévation du centre de gravité sera un minimum pour une partie des sections du corps , et un maximum pour les autres sections ; par conséquent, l'équilibre sera stable ou non stable, se-^ Ion que les déplacemens auront lieu dans le sens des premières sections ou dans le sens des dernières. Tout cela étant évident, à priori, peut servir de vérification au théorème du numéro précédent.

Supposons encore quW ait versé dans un vase deux liquides homogènes et pesans. Si la surface de séparation et celle qui termine le liquide supé-

6g6 TRAITÉ D£ MÉCANIQUE,

rieur sont toutes deux horizontales, et que ce liquide soit celui qui a la moindre densité , le centre de gravité, de ces deux liquides sera le plus bas possible; car il est aisé de voir qu'en inclinant ou cour« bant l'une ou Tautre des deux surfaces, on élèvera toujours le centre de gravité du système. Ces deux surfaces étant toujours horizontales , si le liquide le moins dense est au-dessous de l'autre , on verra de même que le centre de gravité du système sera le plus haut possible. Par conséquent, pour l'équiUbre de deux liquides superposés , il est nécessaire et il suffit que chacun deux soit terminé par un plan horizontal ; mais, pour la stabilité , il faut , de plus, que ce soit le liquide le plus dense qui occupe là< partie inférieure du vase. Quand la différence des deux densités est peu considérable, il est possible, avec beaucoup de précaution, de faire surnager le liquide le plus dense ; mais cet équilibre non stable ne peut se maintenir assez de temps , pour être observé , qu'à raison du frottement des deux liquides contre les parois du vase.