a Ou aura alors
^^ gg (g — ar) (g* + ax — x^)
et la flèche y sera
c'est-à-dire, quintuple de celle qui avait lieu dans le premier cas. D après les dernières équations (g) d (A), on aura aussi
valeurs qui ont aussi lieu dans le premier cas, et qd sont évidentes en elles-mêmes.
3®. Enfin, lorsque la verge est encastrée à sob extrémité A, et seulement retenue à son antre boat|
on a ^ = o pour a: = o, et ^ = o pour x^^\
ce qui donne
au moyen de quoi Téquation (a) devient
^„ gx*(fl — x)(3a — 2j)
Les secondes équations (g) et (A) donnent, en même temps ,
ce qui montre que le poids de la verge se partage inégalement entre les deux points d'appui , et que la charge de rextrëmitë encastrée est plus grande que celle de Tautre , dans le rapport de 5 à 3,
5a3. En supposant toujours les points A et B fixes et situes sur une même horizontale, et la verge homogène et prismatique y considérons le cas où les autres points sont chargés de poids inégalement distribués dans toute la longueur.
Soit donc
^ac étant une fonction donnée qui s'évanouit quand a: =so et quand a:z=:a, et q désignant le poids total , ce qui suppose
/ ^xdûc = a.
Cette fonction Çx pourra être continue ou discontinue , c'est-à-dire que son expression analeptique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeurs extrêmes a: = oet^ = a;ou, autrement dit, si on la représente par l'ordonnée d^une ligne dont œ soit l'abscisse, cette ligne pourra se composer de plusieurs portions de courbes différentes. Si l'on désigne par J^ une ligne d'une longueur aussi petite qu'on voudra, nous pourrons supposer, par exemple, que (poc soit zéro depuis x=:o jusqu'à x = {a — J", et depuis or =z= -J a + J^ j usqu'à x=a,de sorte que cette fonction n'ait de valeurs différentes de zéro que dans une très petite étendue J^ de part et d'autre de xz=^a.
Ce cas sera celai d'un poids q agissant au milieu de la verge élastique , que nous examinerons tout à l'heure en particulier.
Quelle que soit la fonction ^x , continue ou discontinue, pourvu qu'elle soit nulle pour x=:o et pour x = a, on aura, depuis x = o jusqu'à jcz=a inclusivement ,
^a:= -2( / sm <pxdxf\ sm — ; (a)
n étant un nombre entier et positif, et la caractéristique 2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de Uy depuis 71=1 jusqu'à /t = 00 . Cette formule est due à Lagrange, qui l'a donnée dans les anciens Mémoires de T Académie de ^Turin (*) ; nous la démontrerons plus bas. En en faisant usage , l'équation {f) devient
et en intégrant et observant que ^ = o pour x = 0 et pour jr = a, on aura
+ x(a — a:)[Gr-fC'(a — o:)]; (b)
C et C étant des constantes arbitiraires que Ton déterminera comme dans les .trois cas du numéro précédent.
334« Examinons en détail le cas où le poids q est
(^) Tome III , page a6i .
suspendu au milieu de la verge, c'est-à-dire, le cas où, comme on vient de le dire, la fonction <px' est nulle pour toutes les valeurs de x' qui diffèrent un tant soit peu de -^a.
On pourra aloi*s faire a? z=i \a dans le facteur
sîn '^— que renferme l'intégrale relative à x'j ce
qui donnera
/ sm (pxdx = sm — / ^xcUxfzrzasm — ,
et fera disparaître tous les termes de la somme 2 qui repondent à des nombres pairs n. Je désigne par i un nombre pair ou impair; je fais n^rzni — î, et j'étends la sonrnie 2 à toutes les valeurs de f, depuis 2=1
jusqua 1=00 .A cause de sm i ^=: — ( — i)',
l'équation {b) devient
Cj—x(a — x)\Qx + G{a — x)'\
Mais d'après une formule connue, on a, comme on le verra plus bas,
pour toutes les valeurs de a», depuis a) = o jusqu'à ^=f7r. Si donc on a x<C - a , on fera û» = — et l'on
aura
64o TRAITÉ DE MÉGilLinQUE.
si. au contraire. onsLX>^a.on fera (»=*^^ -;
et comme on a
(af — i)v(tf — x) . (ai— i)vx sm ^^ ' — i ^ = sin ^ ' — ,
on en conclura
De cette manière , nous aurons Tune ou Fautre de ces deux équations :
Il ne restera donc plus qu'à déterminer les constantes C et C dans les trois cas suivans :
I*. La condition ^ =0 pour x=o et pour x=^
qui a lieu quand la verge est encastrée à ses deux extrémités y donne
Les équations (i) deviendront
au milieu de la yerge^ on aura ^= o, comme aux extrémités; et la flèche/, ou Fordonnée corrcspon-
dante k x =s ^a, sera
qa
€^est-à-dire , double de celle qui avait lieu dans le premier cas du n"* 5:2 a. En yertu des secondes équations (g) et (h), ou aura aussi
comme cela devait être
a*. Dans le cas de la verge simplement retenue par
ses deux bouts ^ où Ton doit avoir ^^^=0 pour
^ = o et pour a: == a ^ il en résulte
et, par conséquent,
La tangente au milieu de la courbe est horizontale, et les valeurs de Q et £ sont -7-7^, comme dans le premier cas; mais la fléchera pour valeur
en sorte quelle est quadruple de la précédente, et plus grande dans le rapport de 8 à 5, que celle du second cas du n" 522. Si l'on mène une tangente à la courbe élastique, par Tun ou l'autre des points A etB; que Ton appelle <t son inclinaison, et qu^on
64a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
désigae. par f rordonnée verticale du point de cette
droite qui répond à Fabacisse égale à ^ a, on aun
**°«* = ^' / = îûtang«i d'où Ton condnt
Dans le second cas du n* Sâa^ le rapport defkjse-
rajt g.
3*. Enfin , si la vei^e est encastrée à Textrémité A
et seulement appuyée à l'autre bout B, on aura
dr d'r
^s=:opour :r = o,et 7^ = opourar=a;oaea
déduira
et les équations (i) deviendront
Elles donnent pour x =? ^ a, la même valeur de jr, savoir
mais ce n'est pas la plus grande ordonnée. On am
aussi
p, iiy ^ Sy^
sorte que le poids q se partagera dans le rapport de
1 1 a 5 entre les points d'appui A et B.
3a5. Nous allons maintepant démontrer la formule
de Lagrange, citée précédemment.
Pour cela y considérons la quantité
1 — M 1 — aA CO8 0 4- A* '
cfoi est une fraction rationnelle par rapport à A , et dans laquelle 8 désigne un angle réel. Son développe-* ment suivant les puissances de h sera
I +^Aco8 9+2&*cosa3+ai^ cos39+aA4G08 4^-i-etc. ;
ce qu'on peut aisément vérifier; car si Ton multiplie cette série infinie par le dénominateur i — aA cos 0+A* de la fraction, on retrouve son numérateur, en observant qu'on a
2 co6w6cos9 = cos(n+i)fl-f-<^^('* — 0®^
quel que soit le nombre n. Si h est moindre que l'unité,' ^sstraction faite du signe, cette série sera conver-gente , et la fraction sera rigoureusement égale à son développement prolongé à l'infini ; à cause de
I— 2Âcosfl 4- A* = (i — *)•+ 4Asin»|fl, nous aurons donc, dans cette hypothèse,
la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier 71, depuis n= i jusqu'à 72= 00 . Quelles que soient la fonction y9 et la constante réelle a, on aura
donc aussi
Soit g une quantité positive et infiniment petite; cette équation subsistera encore en y faisant hz=s, i— ^g, puisqu'elle a lieu pour toute valeur de h moindre que l'unité. Pour toutes les valeui^s finies de n , on aura
pour des valeurs infinies de cet exposant, ^" pourra différer de l'unité , mais en intégrant par partie , on a
//a C08 ii(é — tf)dS*= i/é sin n(é— a) — 1 Ç^ sin n(ô — «yi;
en sorte que si/'d ne devient point infinie, entre les limites 6 = o et 6 ='7r, ni pour ces limites» l'intégrale
f 'y8 cos w (6 — a )rf6 , qui multiplie A", s'évanouira
pour 72=: 00 ; d'où il résulte qu'on pourra toujours remplacer A" par l'unité sous le signe 2. Au numérateur de la fraction comprise sous le signe f^ on aura I — A* = 2g, en négligeant g' par rapport à ag; dans le second terme du dénominateur » on pourra mettre l'unité au lieu de A ou i — g; et, de cette ma* nière , nous aurons
Le coefficient de ^^ô sous cette dernière intégrale est infiniment petit, excepté pour les valeurs de 6
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 64S
infiniment peu différentes de a ^ qui rendent son dénominateur infiniment petit ; cette intégrale est donc infiniment petite ou nulle , tant que la différence 0 — a 'est une quantité finie ; ce qui aura lieu dans toute l'étendue de l'intégration , lorsqu'on supposera a<C o, oua>>^; donc toutes les fois que la constante oL tombera en dehors des limites zéro et ^^ on aura l'équation
If'f^ + ^fo ^ ^^ '^^^ ~ "^^^^ ^ ^- ("*)
Si, au contraire, on a a > o et < 9r, il y aura des valeurs de 0 qui différeront infiniment peu de et; en faisant donc
9 = et 4- tt, é/ô = du,
l'intégrale dont il s'agit s'évanouira encore pour les valeurs finies de u, mais non plus pour les valeurs infiniment petites de cette variable, positives ou né-** gatives; à l'égard de celles-ci , on aura
par conséquent, le second membre de l'équation (i) devient
gdu
lorsque a tombe entre zéro et ^. Or, cette intégrale étant nulle pour toute valeur de u qui n'est point infiniment petite, nous pouvons maintenant l'étendre, sans en altérer la valeur, à des valeurs quelconques AeUf positives ou négatives, et la prendre, si pons
voulons, depuis u s= -~ oo jusqu'à i^= oo : on aura
alors
et finalement
y^'/y^+^J'f^ cos n (8 — a)d» = Trfa. (5)
Ce raisonnement conviendra encore au cas où a coïncide avec une des deux limites zéro ou ^sr ; mais si Ton a a = o, on ne pourra donner à uque des valeurs podtives, et seulement des valeurs négatives, si Ton a eL=z/7Cf afin que dans ces deux cas, la variable 8 qu'on a faite égale à ft-f-u, ne sorte pas des limites de l'intégration. De cette manière, l'intégrale relative à i^ se trouvera réduite à la moitié de sa valeur, ou à -j^; et si l'on représente par 6 et y les valeurs de fu qui répondent à oc =: o et a =^, il en résultera
Maintenant £ûsons
et soit aussi
La quantité x étant positive et moindre que la eons^
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 647
tante a^ mettons à la place àeet, dans Féqua-
tion (2) et — dans Téquation (5) ; en observant que les limites relatives à x' seront zéro et a^ nous aurons
— / ^xdx' + - 2 / ^x CO8 — i — -ï»— Vj/ = o , yaj o a J o a
— / çxdjf + - S / f X CO8 — ^ -dx = ^x ;
naj Q a J o û
et en retranchant ces deux équations Tune de l'autre, il vient
-if l^a/ sin^^—dx'j sin^^ = (px;
ce qu'il s'agissait de trouver.
5a6. Cette formule représente les valeurs de la fonction (px, pour toutes les valeurs de la variable X, qui sont positives et moindres que a, et même pour ^ = o et x=sa, lorsque çx sera nulle pour ces valeurs extrêmes. Il est important d'observer qile la série indiquée par X, finira toujours par être convergente; car pour de très grandes valeurs de n, l'intégrale relative k x' deviendra une très petite quantité, qui diminuera de plus en plus à mesure que 71 augmentera, et qui sera tout- à- fait nulle pour n =s 00 , comme on Ta vu plus haut au moyen de rintégration par partie. Cette remarque est nécessaire et suffit pour justifier l'emploi qu'on fera de la formule précédente.
Les différentes formules par lesquelles on peut ainsi représenter en séries de quantités périodiques, toujours convergentes, des portions de fonctions arhi--
traires contiuties ou discontenues ^ se déduisent des équations (5)^ que nous venons d'établir. Je me contenterai de donner ici deux de ces formules , qm nous seront utiles dans la suite ; pour de plus grands déyelopperoens sur cette matière, je renverrai à mes Mémoires sur le Calcul intégral^ qui font partie du Journal de V École Pofy'tecknique, et où Fou trouvera une théorie complète de ce genre de transformations.
Âpres avoir ajouté les équations (5) et retranché la première de la seconde , j'y mets 2I au lieii dea^ puis X + / et ^1:^+ / à la place de a: et j/, et ensôile ^x et Çjc' au lieu de (p(x + Z) et <p(a/-4- 0; les limites des intégrales relatives à af deviennent ^ l, et ces équations sont remplacées par celles-ci :
Partageons chaque somme 2 en deux autres , doot Tune se rapporte aux nombres n pairs, et l'autre aux nombres n impairs. Pour cela, soit i un nombre en- 1 tier quelconque ; et faisons successivement n = ai, 71 ss af — I ; nous aurons
7ii7r{x+l) , .. mx . ^iw(x + l) , ^. »»* cos ^^j is=(i)ico8-p, 8in ^^^ =(-.i)%in-^,
2/ ^^^ — âZ — ' a/ K-yr^^-^jT'
et de même pour les sinus et cosinus compris sous
les signes y"; par conséquent , on aura
^^^^^U -/^ ^1 \J ^?^ cos^dxj cos -p
^ ^f r^ / • 'Va:' A . rVx
r 7 ^l / ^^ sin —7- ^J^ Jsin -=—
les sommes 2 s'étendant à toutes les valeurs de i, depuis f=i jusqu'à î=qo. Ces équations auront lieu pour toutes les valeurs de «r qui seront comprises entre les limites =b L
Cela posé, si la fonction <px est telle que l'on ait <p (— x):^s — ^jc, il en résultera
I ^xdx;=zQy I çxcos--j'dx=±o^ j fxcos^ j- — dxssLO,
et, en outre,
1 ^x' sin -^^ ûù/ == 3 I ^;z/sin -^^ ifar' ,
au moyen de quoi la seconde équation (6) coïncidera avec la formule (a), en y changeant £X en /; et la première se réduira à
Si , au contraire, la fonction (px est telle que l'on ait
^ (— x) = ^o:, on aura
65o TRAITÉ DE MÉGANIQUE.
1 , ^x^sin — ~' é£r^= o , Ç f j/sin '^^ = o;
et les antres intégrales pourront s'étendre seulement depuis X = o jusqu'à or = /, en doublant les résultats. La seconde équation (6) rentrera dans Féquatiou (7), en y mettant Z-^o; au lieu de j:, et ^x à la place de ^ ( / — x )• La première équation (6) deviendra
(pa:=iy V'^'+|2(/j<pjc'cos ^^'dic')co8^.(8)
Ces formules (7) et (8) représenteront les valeursde ^Xj depuis or s=: o jusqu'à x = / ; celles qui s'en déduiront, en les différentiant par rapport à or , exprimeront, dans le même intervalle, les valeurs
de -j-. La formule (7) suppose ^x=:o pour jk:s=o, et ^=:o quand 0: = /; la formule (8) exige qoe
l'on ait ^^ = o pour jr = o et pour a:= /. Lorsque
ces conditions ne sont pas remplies, ces formules on leurs différentielles n'ont pas lieu pour les valeurs extrêmes de X.
337. Réciproquemeint, les formules de ce genre font connaître les sommes des nombreuses séries pé* riodiques que l'on a obtenues par différens moyens. Ainsi , par exemple, pour en déduire la somme de la série dont on a fait usage dans le n* 3^4 9 j'^' joute les équations (a) et (3) , après avoir mis — et à la place de « dans la première; il en résulte
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 65t
flfy^ + a2 (///« cos « Odô) cos n« == irja. Je prends ensuite yd:=0; on a alors
cos nir — I
quantité nulle pour tous les nombres pairs , et égale à -r- .^ pour 71 = ai — i . L'équation précédente devient donc
la somme Z s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier i\ depuis /= i jusqu'à £=00.
En multipliant par da et intégrant, on en déduit
^nn(2i— i)tf Wf .
On n'ajoute pas de constante arbitraire, parce que les deux membres de cette équation sont nuls, soit pour a = o, soit pour a = 7r; en sorte que cette équation a lieu pour toutes les valeurs de a, depuis Cl == o jusqu'à « s= ^ inclusivement. Si l'on y fait tt=s {•'7r-}-a, on aura
sin {ni — i) et = — ( — lycos (ni — 1) û> ,
et, par conséquent,
^(— i)'co8(at— i)i> » /^. ï -A
65a TRAITÉ DE MÉGANIQUE.
depuis « = — ^TT jusqu'à « = i^. Je muiti*
plie par dœ et j'intègre de nouveau; il en ré^
suite
^ ( — 1^8111 (ai — i)m wm^ iir^iÊ ^
(2t i)4 — ^ ~ li"^
ce qu'il s'agissait d'obtenir.
328. Si l'on met 2a au lieu de a , et ensuite ar'+n et a: + a à la place de x et a:', dans la seconde équation (5), et qu'on fasse ^(a + a:)=s¥x , on aura
' ^aj -^ ' aa J ^^ aa '
pour toutes les valeurs de x comprises entre dza. En faisant
^ nx
aa ' aa '
cette équation pourra s'écrire ainsi :
F^= ^/j/a:'é£r'+ ^2[yj[^Far'costt(ar'— a:)]]^;
w étant un multiple de «, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de u , depuis u zss e jusqu'à i£=:oo. Or, si la constante a devient infinie, la différence i des valeurs consécutives de u deviendra infiniment petite, et la somme 2 se changera en une intégrale prise depuis tt=€, ou ws=o, jusqu'à u=co. En faisant donc £Z = oo et£=:d^, mettant le signe / au lieu de 2, et supprimant le premier terme de la formule précédente, nous au-
rons
Fourier a donné le p'remier cette formule importante^ qui s'étend à toutes les valeurs réelles, positives ou négatives, de la variable a:, et convient, comme les précédentes, dont elle se déduit, à une fonction quelcouque For, continue ou discontinue.
^IM>>MM<W»»M»»)»<I^M<WI»»NW>W<IM<>M<WW<^^
