I-es éq!iations d'équilibre d'un corps solide

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i3

toujours qu'on ait remplacé les forces données P^ P'y P"y etc., par les trois groupes de forces du n'^^Sg»

i"*. Si le corps solide qui doit rester en équilibre renferme un point fixe, on prendra ce point pour l'origine 0 des coordonnées. Les forces dirigées suivant Taxe Ojc seront détruites par ce point; ce qui fera disparaître l'équation X = o. Pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe Ojr et comprises dans le plan des a: et jr, il ne sera plus nécessaire qu'on ait Y = o , et il sufEra que leur résultante coïncide avec l'axe Oj^, ou que la somme L de leurs momens, par rapport au plan des j^ et 2, soit égale à zéro. Enfin , pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe des z, relation Z =s o ne sera plus néces:$aire ; il suffira que leur résultante coïncide avec Taxe Oz ; ce qui exigera que les sommes de leurs momens , par rapport aux plans des^ et z , et des 30 et z, qui sont les quantités — M et N, soient égales à zéro.

Ainsi y dans ce premier cas, les trois équations d'équilibre qui resteront nécessaires seront

Elles signifient , efiectivement , que les forces don* nées ont une résultante unique , et que cette résultante vient passer par le point fixe 0. Cette force exprimera, en grandeur et en direction , la pres^ sion exercée sur ce point, et sera déterminée par les équations (a).

2**. Supposons que le corps solide soit retenu par un axe fixe, autour duquel il est assujetti à tour^ ner, sans pouvoir , glisser dasa le sens, de . sa ioa** I. 33

5t4 TKAITÉ DE MÉCAHIQDE.

euciir. Prenons cet axe pour celui des z; les forces parallèles à celte droite Oz ne pourront produire aucun mouvement , et les trois équations Z = o ^ M = n, N = o , relatives à leur équilibre, ne seront plus nécessaires. Les équations X=o et Y=o ue le seront pas non plus pour l'équilibre des forces comprises dans le plan des X et j' ; ea sorte que, dans ce cas, il n'y aura plus qu'une seule équatïoa d'équilibre, qui sera L = o, c'est-à-dire,

P(.rco>S-jcosa)-|-P'Cr'cosC"— ycos«') + etC.= 0. (5)

Mais si le corps avait la liberté de glisser le long de l'axe lixc, il faudrait en outre, pour enipécber ce mouvement, que la somme Z des forees parallèles à Or fut égale à zéro ; et il y aurait alors les deux équations d'équilibre

La. pression que l'axe Cxe éprouvera perpendiculairement à sa direction sera la résultante des forces

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i5

siste en ce que l'équilibre ait lieu successivement autour de trois axes fixes et rectangulaires , menés arbitrairement par ce point. Par conséquent, si ré-* quilibre existe autour de trois axes rectangulaires qui se coupent en un même point, il aura aussi lieu autour de toute autre droite passant par ce point.

3«. Je suppose que trois ou un plus grand nombi*e de points non en ligne droite, appartenant au corps solide , soient assujettis à demeurer sur un plan fixe dont la position est donnée ; et je prends ce plan pour celui des x et j. liCs forces parallèles à l'axe des z ne pouvant produire aucun mouvement, les équa-tions relatives à leur équilibre n'auront pas lieu; mais les trois équations

qui répondent aux forces comprises dans le plan des X et j*, seront nécessaires pour empêcher le corps de glisser ou de tourner parallèlement à ce plan fixe.

La force Z exprimera la pression totale que le plan fixe éprouvera. Si le corps est seulement posé sur ce plan, de sorte qu'il s'agisse, par exemple, d'un polyèdre dont une face soit en contact avec le plan des X et y^ il faudra que le signe de Z soit tel , que cette force appuie le corps contre ce plan. Il faudra , en outre, que cette résultante des forces parallèles à l'axe des z vienne percer le plan des x ^\ y dans l'étendue de la base du corps , sans quoi elle le détacherait de ce plan, en le faisant tourner autour de l'un dçs côtés de cette base. Qr, si Ton appelle x^ et

5i6 IKAITÉ DE MÉCANIQUE,

y, les cooriloiiuces du point où cette résuLtaute rencontre le pian des a: et y , ses momens par rapport aux plans des j: et s et des / et z seront Tij^ et Zx, ; ils devront t;tre égaux aux sommes des momens des composantes par rapport aux mêmes plans; et, d'après les valeurs de ces deux sommes qu'on a trouvées précédemment (n° aLîo), on aura

Zx, = — M, %j, = N.

Il faudra donc vériBer, dans chaque cas particulier, que les valeurs de x, et y, , tirées de ces équations , appartiennent à un point de la base du corps; condition d'équilibre qui ne peut être exprimée par des équations, non plus que celle qui est relative au signe de Z.

4°- Si les points du corps assujettis à rester sur le plan fixe des x et j' sont seulement au nombre de deux, ou bÏL'n s'ils sont tous situés sur une même droite, on prendra cette ligne pour l'axe des^; la résultante Z devra alors rencontrer le plan des a: etj

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Si<}

le plao fixe au point 0 , et devra avoir un aigoe convenable.

Ce résultat coïncide avec celui du numéro précédent; car si l'on suppose le corps A' fixe et terminé par un plan, que l'on prenne ce plan pour celui des x et j, et le point K (fig. 62) pour origine des coordonnées^ on devra faire , dans les équarlions de ce numéro, jcr, s=s o, j^« s=: o, z, s= o, a = 00% b = go''; ce qui réduira aux cinq équations précédentes, un parefl nombre des six équations relatives à l'équilibre du corps A. La aixièn^t de ces équations deviendra, en même temps,

en supposant qu'on ait c = o , ou que la partie KH de la normale soit l'axe des z positives; par conséquent, la pression exercée sur A', qui est égale et contraire à la résistance R , sera la force Z eu grandeur et en direction.

On peut remarquer, d'après cette énumération des différens cas d'équilibre, que les nombres d'équations relatives à un corps solide gêné par des obs* tacles fixes peuvent être tous ceux qui sont inférieurs au nombre six , correspondant à un corps entièrement libre.

1167. L'équation (5) relative à l'équilibre autour de Taxe des z supposé fixe , ne contient ni les composantes parallèles à cet axe, des forces dou« nées P^ P', F', etc., ni les coordonnées parallèles au même axe, de leurs points d application M^ M', M", etc. ; en sorte que l'équilibre ne serait pas

5i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

troublé, si l'on remplaçait ces forces et leurs pointa d'application par leurs projections sur le plan des X ct^; ce qu'on démontrerail d'ailleurs facilement fi priori.

Soient donc Q, Q', Q", etc., les forces P, F, P", etc. , projetées sur le plan des x et jr , c'est-iilirc, décomposées parallèlement à ce plan et transportées aux projections des points M, M', M", etc. , sur ce même plan. Dési(^ons par q, y", ç", etc., les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonuéfs, supposée fixe, sur les directions des force* Q, Q', Q'', etc.; et, pour fixer les idées, supposons que Q, Q', Q", tendent à faire tourner, dans le même sens , aufour de celte origine, et que Q'", Q", etc. , tendent à faire tourner dans le sens oppose. Pour réqtiillhre de toutes ces forces, il faudra, d'après le n" 47, que l'on ait

Q'/ + Qy+Q"7"-QV— Q"î"— e"=-=o, (6)

en considérant a. a', o". a'", etc.. comme des nu»n>

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. Sig

l'angle jO/^ soit aigu ou oBtus ea même temps que xOxg ; appelons a:, et jr^ les coordonnées OF et FH du point H ^ rapportées à ces nouveaux axes; nous aurons I comme on sait,

jr, =2jr COS /X + j: COS a , jr^ =^ COS A — JCCOSi/l.

Or, la perpendiculaire OK ou q, abaissée du point 0 sur HA, devant être une quantité positive, on aura

jf = zfc /, = rfc (^cosX — ûccos/i),

selon que Tordonnée jr, sera positive ou négative, ou, ce qui est la même chose, d'après le sens qu'on a supposé à l'axe Ojr^ , selon que la force Q tendra à faire tourner, dans un sens ou dans le sens opposé, autour du point 0. On a d'ailleurs

Q = P sinj., et, de plus (n^ 8)

COS a = sin^^cosA^ cos^ = sin^cos^t^;

il en résultera donc

Qy = db P(^çosa — xcos^).

Les forces Q' et Q" tendant, par hypothèse, à faire tourner dans le même sens que Q, on aura de même

QV = ± F(jr' COS a' — jç'cosê'), QY= ± P'Xy'cosa" — x"cosC'^);

et les autres forces Q'", Q'% etc., tendant à faire tourner en sens opposé^ on aura, au contraire.

TRAITÉ DE MÉCANIQCE.

Q'"^'" = =p ¥'" ( y" cos a'" — jc'"coaC"),

Ctf.

Oa prendra donc, en même temps, les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs; et en les substituant dans l'équation (G), elle dcvieH' dra l'équation (5); ce qu'il !f'agis»iait de Terifiep,

2(.>8. Le corps en équilibre étant toujours soumis à la pesanlcur, il faudra comprendre parmi les forces données P, F', P", etc., son poids appli<}ué suivant la verticale a son centre de gravité. Supposons, par exemple, quil s'agisse d'un corps pesant posé sur îin plan incliné et soutenn par une seule fore*. La figure 64 représente une section du corps passant par le centre de gravité G, et perpendiculaire au plan incliné; la longueur de ce plan est AB, sa base BC, et sa hauteur AC. On place l'origine O des coordonnées sur la verticale GH passant par le centre de gravité, et l'on nr(?nd les axes Qz et Ox □cmcndiculairc et

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5a i

^' =: o ; ce qui moatre d'abord que la force P' devra âtre comprise dans le plan des x et z ; el ^ en effet , cela est évidemment nécessaire pour que celte force et le poids du corps aient une résultante unique , perpendiculaire au plan incliné. Je supposerai que 0 soit le point où la direction de V rencontre la verticale GH, et je représenterai par OD cette direction. L'angle «'ou DOa: devra être obtus pour satisfaire k la première des trois équations précédentes ; j'appellerai J* l'angle aigu DOx' que fait la force P' avec le prolongement de Oor , de sorte qu'on ait

cosa' = — coscT.

L'angle a ou HOlr est le complément de l'inclinaison ÂB€ du plan ; en désignant la hauteur AC par h , et la longueur ÂB par l,on aura donc

h cos 6t = n;

d'où il r^ultera finalement

y = FcosJ^;

«quation d'équilibre qui fera connattre l'une des deux quantités F et J^, quand l'autre sera donnée.

Lorsque, par exemple, la force F sera parallèle au plan incliné , on aura ^ sr o , et , conséquem* ment,

ou, ce qui est la même chose ,

F = Psini,

5aa TRAITE DE MECANIQUE.

en appelant / l'inclinaison du plan. Si l'on appelle Q la pression que le plan éprouvera, et qui sera, dans ce cas , la composante du poids P suivant la perpendiculaire Oz , on aura, en même temps, Q = P cos i.

269. On fait ici abstraction du frottement qui s'ajoute à la force P' parallèle au plan incliné, pour empêcher le corps de plisser le long de ce plan. Si cette force P' est nulle, le frottement seul peut retenir le corps tant que l'inclinaison / u'a pas atteint une certaine Hmile. En désignant par A cette limite, c'est-àdire, l'angle / qui a lieu lorsque l'équilibre va commencer à se rompre, et supposant qu'à cet instant le frotteniL'Mt est une fracliony"de la pression , il faudra que la force^Q fasse exactement équilibre à la compo^aiile Psin .\ du poids du corps, parallèle au plan incliné. Par conséquent, on aura, àla fois^

Q^FcosA, /Q = PsioA; «a

STATIQUE , SEœNDE PARTIE. SaS

faces : on a aussi remarqué qu'il n'atteint le maximum de sa valeur qu'après que le contact du corps et du plan a eu lieu pendant un certain temps^ diflférent pour les corps de nature diverse; et ce n'est qu'à partir de ce maœimum que le frottement est proportionnel à la pression.

En admettant cette loi expérimentale, il en ré-* suite que si plusieurs corps de même nature , et dont les surfaces ont le même poli , sont placés sur un plan horizontal , et qu'après un certain temps on incline ce plan graduellement, tous ces corps commenceront à glisser sous un même angle X, quels que soient leurs poids et rétendue de leurs surfaces en contact avec le plan.

270. Lorsqu'un corps est posé sur un plan horizontal y la pression exercée par son poids P se distribue entre les points d'appui de ce plan ; mais quand leur nombre surpasse trois, cette distribution semble d'abord indéterminée; ce qui présenterait une difficulté que nous allons examiner.

Pour fixer les idées, supposons que ce plan horizontal soit la surface d'une table dont les pieds sont verticaux. Dans ce plan, menons deux axes rectangulaires Ox et Ojr (fig. 65). Soient C la projection du centre de gravité du corps sur ce plan, et A, A% A", etc., les points de ce même plan qui répondent aux pieds de la table. Désignons par x^ et^,, x et^, x' et y y x" eijr'^, etc. , les coordonnées de ces points C, A , A', A", etc. , rapportées aux axes Ox et 0;^. Pour que la table ne soit pas renversée , il faudra que le point C soit situé dans l'intérieur du polygone

5a4 TRAITÉ DE MÉCaHIQUE.

AA'A"A"'etc. Cette conditîoo étant remplie, le poidd P appliqué au point C se decoiiiposei-a eu forces parallèles, dirigées dans le sens de la pesanteur, et passant par les points d'appui A, A', A", etc. , lesquelles forces seront les charges que les pieds de la table auront à supporter. Soient Q, Q', Q'', fie. , ce» charges iiicoiiuues; d'après la tiiéorie des forces parallèles, nous aurons «^

1" = Q + Q' + Q"+ etc., 5

Px, = QjT + QV + QV + etc., P.r. = Qj + Oy + Q"/' + etc.

Or, s'il n'existe que trois points d'appui A, A', A", ces trois équations suffiront pour déterminer les charges Q, Q', Q'; mais s'il y en a trois ou uo plus grand nombre, le problème sera indéterminé, et l'on pourra prendre à volonté les valeurs de toutes les inconnues, moins trois, pourvu qu'il n'en résulte, pour ces trois inconnues, que des valeurs positives. Cette indétermiuatioB aurait lieu, en effet, s! la

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5a5

mination est un problème très difficile, dont la solution générale n'a pas encore été donnée , et qui appartient à la Physique mathématique. Nous nous bornerons ici à remarquer que tout est nécessairement déterminé dans la nature, et que quand quelque chose nous semble indéterminé, c'est que nous avons fait abstraction de quelque donnée du problème , c'est-à-dire , de quelque propriété de la matière , comme le degré de flexibilité de la table, dans la question présente.

TRAITS DE MÉCiBlQUE.