En faisant y pour abréger
Pcosct + Fcosa'4.F'cosci" + etc. = X, Pcose + Fcosg'4-P"cos^"+etc.=Y, Pcos5. + P'cosy + P''cosy' + etc. = Z,
P(a:cos ff — ^cosa)-f-F(a:'cos^'— ^'cosa')+etc.=L , P( z cos a — a:cosj^)+F(j^cos«' — ^a:'cosj.')+etc.=M, P( j" cos 7 — z cos€)-|-F(^cosy — ^2'cos €')+ etc.=N ,
ces équations d'équilibre deviendront
On peut remarquer que ces quantités L, M, N, ain&i
5o6 TBAITÉ DE MÉCANIQUE.
que Z, Y, X, se déduisent tes noes des auliies par la
règle du n' 33.
Ces six équations renferment des conditions d vquilibre communes à tous les systèmes de points matériels, entièrement libres; car, quelle que soit laoature d'un pareil système, ou la liaison mutuelle des points qui le composent, il est évident qu'on ne troublera pas leur équilibre en rendant leurs distances îuvarîables , sans changer leurs coordonnées, ni les forces qui les sollicitent. Par conséquent, les équations d'équilibre d'un système de forme invariable, qui ont lieu entre ces quantités , doivent encart: subsister pour tout autre système ; mais alors elles ne sont plus suffisantes; et il y faut joindre d'autres conditions spéciales pour chaque système en particulier, qui serviront, comme on le verra par la suite, à déterminer les positions relatives de ses différens points dans l'état d'équilibre.
262, Quand les forces données sont toutes parallèles entre elles, les angles qu'elles font avec chacun
P + F + F' -f^ etc. = o,
et les trois autres deviendront
(Px + P V+ Vx''+ etc.) cosC = (Pj+ Vf + Fy+etcOcos <i , (Pz + Vz + Vz" H-etc.)co8«= (ParH- Fj^+Fx^-f etcOcosy, (Pr + Py + P'y + e^c.) cofiy = (Pz4. Fi' +PV + etc.)co8 C.
Mais les équations d'équilibre des forces parallèles étant seulement au nombre de trois , il faut que ces trois dernières équations se réduisent à deux ; et ^ en effet, si on les ajoute après les avoir multipliées par cosp^, cos^, cosa, on trouve une équation identique; en sorte que Tune d'elles est une suite des deux autres.
Quand toutes les forces données sont comprises dans un même plan , on peut prendre ce plan pour celui des x eljr; alors les angles 7, y\ y^\ etc., sont droits, et les coordonnées z, z', :i\ etc., égales à zéro ; ce qui fait évanouir la troisième et les deux dernières équations (1). Dans ce cas particulier, comme dans le cas des forces parallèles , il y a donc seulement trois équations d'équilibre, qui sont
!263. Lorsque les forces données ne se font pas équilibre, on peut demander la condition qu'elles doivent remplir pour avoir une résultante unique , et quelle est cette résultante.
Pour répondre à cette question^ je désigne par R cette force; par a, 6, c, les angles que sa direction fait avec des parallèles aux axes OjT; G^, Oz, mlenées
5o8 TUAITÉ DE MÉCANIQUE,
par un de ses points , qu'on prendra pour son point d'applicalion , et dont les coordonnées, rapportées à CCS mêmes axes, seront représentées par x, , ^, , i,. Cette force, prise en sens contraire de sa direction, fera équilibre aux forces données. Les équations (i) auront donc lïeu en joignant à P, P', P", etc. , une force égale et contraire à R; par conséquent, on
X = R cos a
et, en oulrc,
Y=RcosA, Z = Rcosc, (2)
R (x, cos b — j,coàa),
M =:: R {Z, cos tl X, COS c) ,
N = R {jt cos c — z, cos b) , ■dire, en vertu des trois premières équations,
Xr. — Yx, 4- L = o, 1
Zx, — Xz, + M= o, [ (5) Yr. Z/. + N = o. )
STATIQUE , SEœNDE PARTIE. Bog
cette équation (4) soit satisfaite pour que les forces données aient une résultante unique: quand elle aura lieu, cette force sera déterminée, en gi*andeur et en direction , par les équations (2).
Si les trois sommes X, Y, Z, des composantes parallèles aux axes des oc j jj z, sont nulles, Féquation (4) sera satisfaite; mais alors la résultante sera une force infiniment petite, située à une distance infinie des points d'application des forces données, ou , plus exactement, ces forces se réduiront à deux, égales, parallèles, agissant en sens contraire, et non réductibles à une seule (n*' 44)«
Lorsque les trois sommes L, M, N, sont nulles^ l'équation (4) sera aussi satisfaite; et l'on voit, par les équations (3) , que la résultante passera par l'origine des coordonnées,
264» Quand la condition exprimée par l'équation (4) ne sera pas remplie , on y pourra satisfaire en joignant aux forces données une force convenable. Je supposerai , pour plus de simplicité, qu'elle passe par l'origine 0 des coordonnées; je la représenterai par Q, et par A, fi , v, les angles qu'elle fait avec les axes Ojc , 0/, O2. Les quantités L, M , N, ne changeront pas par l'addition de cette force , et les sommes X, Y, Z, augmenteront des termes Q cos A , Q cos jx, Q cos y. L'équation (4) deviendra donc
Q(LcosF +McosAt+NcosX)+LZ+MY+NZ = o;
en sorte qu on y satisfera d'une infînité de manières différentes , au moyen de la force Q et des angles X ^ l^fV y relatifs à sa direction.
5io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
I^ résultante R des forces Q, P, P', F', elc, et sa position, se détermineront au moyen des eannlious(33et (5), dans lesquelles on mettra X-f-QcosA, Y + Qcos^, Z + QcoRi-, au lieu de S, Y, l. Le» forces données P, P', P", etc., pourront donc être remplacées par cette résultante R et une force égale et directement contraire à la force Q; d'oii l'on conclut que quand des forces données ne sont point en équilibre , ni réductibles à une force unique , on peut toujours les réduire, d'une ioGoité de manières difiërentes, à deux forces seulement, qui ne seront pas comprises dans un même plan, sans quoi elles se réduiraient à une seule, contre l'Ii^'pothèse. C'est d'ailleurs ce qu'on voit immédiatement par la transforinatioa du u" aSy; car les forces données P, P', P", etc., pourront être remplacées par la resultante des forces parallèles à l'axe des z, et par celle des forces comprises daos le plan des a: et ^' ; et l'on pourra ensuite transformer, sans diûicullé, ces deux résultantes eu deux autres forces, d'une infinité de manières difTérenles. En cherchant la condition DOur
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5u
je désigne par X', Y', Z', L', M', N', ce qu'elles deviennent relativement à A' ; j'appelle x^^jr^^ z, , les coordonnées du point K rapportées aux mêmes axes que celles qui entrent dans ces diverses quantité; par le point K, je mène une droite HKH' perpendiculaire au plan tangent commun aux deux corps ; je représente par a^b^ c , les angles que fait la partie KH de cette droite , comprise dans A , avec des parallèles aux axes des x ^ j^z^ menées par ce même point K : toutes ces quantités sont données , et il s'agira de for^ mer les équations d'équilibre auxquelles elles doivent satisfaire.
Or^ le corps A exercera sur A', dans la direction KH'i une pression inconnue que je représenterai par R; il en éprouvera , en même temps, une résistance égale et contraire à cette force normale. Si donc on joint aux forces données qui agissent sur A une force R dirigée suivant KH > on pourra ensuite faire abstraction de A'; et, de même, si Ion joint aux forces appliquées à A^ une force R dirigée suivant KH', on pourra aussi considérer A' isolément. Il résulte de là et des équations (i) qu'on aura pour l'équilibre de ces deux corps les douze équations suivantes :
X +Rcosas=o, Y-|-RcosA=o, Z-j-Rcosc=o, X' — Rcosii=:o, Y' — Rcos6=o, Z' — Rco6c=o, L +R(ar, cosi — ^, cosa) =o, M +I^(^iC08a — a:, cosc) =o, N +R(^iCOsc — z, cos6) =0, L' — R(ac:,cosô — ^, cosa) s=o, M' — R(js, cosa — jr.cos c) =o, N' — R ( j,cos c — z, cos 6) =o.
5i2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
qui se réduiront à onze par l'élimination de R. Après — ^ .: »: ,. j'„- :i:i . ^.- ■: '
CCS onze équations d'équilibre auront été vérifiées, l'une des précédentes fera connaître la TaleuT de R, qui devra être une quantité positive pour que les deux corps s'appuient réellement l'un contre l'an Ire.
Ces douze équations donnent îmniédiatemeut
ce qui résulte aussi des conditions d'équilibre communes à tons les systèmes entièrement libres, comme celui des deux corps A et A' (n° 261).
On trouvera pareillement les équations d'équilibre d'un nombre quelconque de corps solides, dont plusieurs s'appuient l'un contre l'autre; et il est aise de voir que le nombre de ces éqaations sera égal à six fois celui des corps , moins le nombre de lenrs contacts.
