MB = AD, CF = CE — EF

il en résultera

CAD = CMB — ^MB.EF;

mais le produit MB.EF est la surface du parallélogramme MADB f ou le double du triangle MÂD ; on aura donc

CAD = CMB--MAD,

et , par conséquent ,

CMD = CMA + CMB ;

ce qu'il s'agissait de démontrer.

La figure suppose que la droite EF soit la diffé-* rence des perpendiculaires CE et CF; elle pourrait être leur somme y et Ton modifierait sans difficulté la démonstration précédente pour l'appliquer à cet autre cas. On prouvera aussi , de la même manière ^ que le triangle CMD est la différence des triangles CMA et CMB , quand le point C est placé dans l'angle AMB ou dans son opposé au sommet.

273. Par le centre des momens (fîg. 67) , menons un plan quelconque; projetons sur ce plan la droite AB qui représente la force P en grandeur et en direction; soit Q la force représentée de même par la projection A'B' de AB ; le moment de la force P sera le doublé du triangle CAB, et celui de la force Q le double du triangle CA^B'; par conséquent^ le centre des momens restant le même , le moment de la projection d'une force sur un plan passant par ce point ^^

63» TBAITÉ DE MÉCANIQUE.

est la projeclïon, sur ce ménie plan, du moment de

cette force,

Si l'ou appelle H le moment de la force P, et K celui de sa projection Q; que l'on élève sur les plansde ces deux momens des perpendiculaires CD et CE, et qu'on appelle J" l'angle DCE , cet angle sera aussi l'inclinaison de H sur K, et l'on aura ( n° lo J

K = li ces (T.

Pour une même force P, l'angle J^ et le moment H changeront avec la positiondupointCsurladroiteCE; mais cette droite restant la même, le produit H cos (T ne variera pas; car K ou le triangle CA'B' ne fera que se déplacer parallèlement à lui-même, sans cbanger de grandeur.

373. Au lieu d'une seule force, considérons on système de forces quelconques P, I", P", etc. Soient H , H', H", etc. , leurs raomcos par rapport au point C (fig. 68). Désignons par «T, S', S", etc. , les angles que les perpendiculaires CD, CD', CD", etc., aux plans de ces momens^ font avec un même axe CE ; par Q» Q'» Q"» etc. , les projections de P, P*, F', etc., sur le plan mené par le point C et perpendiculaire à cet axe; et par K, K', K", etc., les [Kt>iectioa$ de H^ H', H", etc. , sur ce même plan. Nous aurons

K=Hcos*f, K'zsH'coscT', K" = H"cos/", etc.

Si l'on voulait seulement .conoattre les aïres des projections d'après ceUes des surfaces projetées, il Cadrait conùdérer les incliaaisoDâ c^, j'', iT", etc. , ^mme des angles aigus; mais dans les usages qaç

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Ssg

nous ferons des projections des raomens, nous regarderons ces angles comme aigus ou obtns^ ou , autrement dit, nous prendrons pour les droites CD^ CD', QD'^y etc. , les parties des perpendiculaires aux plans des momens H, H'^ H", etc., qui font des angles aigus ou obtus avec Taxe CE , selon que les projections Q, Q', Q", etc. , des forces P, P', P*, etc. , tendront à faire tourner autour du point C^ dans un sens convenu, ou dans le sens opposé. Ainsi, dans la figure, les angles DCE, DTE, D"CE, étant aigus, et les angles D'^'CE , D'^CE, etc. , étant obtus, cela suppose que les forces Q, Q', Q*, tendent à faire tourner dans un même sens, et les forces Q'", Q*% etc. , dans le sens opposé. Les droites CD" et CD'" étant le prolongement Tune de l'autre, cela signifie que les forces P'' et P'" sont comprises dans un même plan passant par le point C, mais qu'elles tendent, ainsi que leurs projections Q'' et Q"', à faire tourner en des sens op* posés.

En appelant S la somme des valeurs positives du négatives de K, K', K'^, etc. , nous aurons

S = Hcos J'+H' coscT' + H' cos cr' + etc.;

abstraction faite du signe , S sera la somme des mo^ mens des forces Q , Q', Q", etc. , qui tendent à faire tourner dans un sens , moins la somme des momens de celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé ; d'après le théorème du n* 47 f 1^ quantité ± S exprimera donc le moment de leur résultante qui tendra à faire tourner dans le sens des forces qui répondent aux angles aigus cT, J^\ J"", ou aux angles I. 34

53o TRAITÉ DE MÉCAMQCE. ^B

obtus cT'", S""", etc., seloa que la valeur précédenta de S sera posilive ou négative.

Si l'on change à la fols toutes les droites CD, CD', CD", elc. , dans leurs prolongemens, les angles J, cT', cT', etc. , se cliangeront dans leurs supplémens , et S deviendra — S. Il eu sera de même lorsqu'on remplacera l'axe CE par son prolongement CE'.

La somme S, comme cbacune de ses parties, sera indiJpendanle de la position du point C sur l'axe CI-^; elle ne dépendra que du système des forces P, P', P", elc., de la position de cet axe et de sa direction perpeiuliculiiire au plau de projection. Dorcnavant nous appelleions cette quantité S le moment des forces P, 1'', P', etc. , par rapport à l'axe CE.

374- D'après celle déliai tion, les trois quanlitûs I., M, N, du II" 261 , seront les momens des forces P, P', P", elc. , par rapport aux axes des coordonnées positives de leurs points d'application.

Puur le faire voir, soit Q la projection de la force P sur le plan dcsx etj', et g la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction . (i««

STATIQUE, SECONDE PARTIE 53i

contraire Tune de lautre, et la force Q, dans le sens de Q cos/jl; on aura donc

Q^ = orQcosft — jrQcùsX.

En examinant les difTérentes positions que peut avoir le point A^ et les diverses directions qu'on peut supposer à la force Q, il est aisé de voir que cette équation subsistera quels que soient les signes de a: ^ j-, cos A , cos ft , pourvu que la force Q , transportée au point E ou F, où sa direction rencontre Taxe des x ou des j^, tende à faire tourner Taxe Ox des x positives , dans l'angle des xetjr positives, et, conséquemment , l'axe Oj' des jr positives, en dehors de cet angle, comme cela est indiqué par les flèches s et /• Si le contraire avait lieu, c'est-à-dire, si la force Q, ainsi transportée , tendait à faire tourner l'axe des j^ positives, dans l'angle des x et jr positives, et, par conséquent, l'axe des x positives, en dehors de cet angle, on aurait

Q^ = j^QcosA — arQcos;x,

quels que soient aussi les signes de x^jr^ cos A , cos f€. Il suit de là que si S est le moment des forces P, P', P^, etc. , par rapport à l'axe des z positives, et que Ton regarde les angles cT, cT', cT", etc. , du numéro précédent, comme aigus ou obtus, selon que les projections Q I Q'* Q"> ®*c. , de ces forces tendent à faire tourner Taxe des x positives , dans l'angle des coordonnées x et j* positives , ou en dehors de cet angle, on aura

S = Q (a: cos;x — jr cos A) + Q' (x' cos /jl' — y cos A') + Q" (x'' cos fi" —y cos A") + etc. ;

TRAITÉ fiîF , jii'; x",y', V', ^"; elc, étant ce que de-

viennent cc,j, A,«, relalivemeot aux forces Q', Q", etc.

Soient , de plus, a. G, y j a.', C, y'; a". G", y"; etc., les angles que font les directions des forces P, P', P*, etc. , avec ties parallèles aux axes des x , y, z ; on aura

Q=Psiiiy, Q'=P'smy', Q' = P'siny', cU-,

cosa :=suiycosA, cosa'^siny'cosA', c<M*''^sinY'co»X*, ete., cosC=sJnvcos^, co9S'=:siuy'co^', COsâ''=siDy'cos/»'', etc.;

et d'après ces valeurs, celle de S coïncidera avec la quantité L du n° 261. Ainsi L esticmomentdes force» P, P', P*, elc. , par rapport à l'axe des z positives ; et selon qu'il ist posîlifou négatif, ce .ijsième do forces tend à faire tourner le plan des oci?\z positives autour de cet axe , dans l'angle trièdrc des coordonnées positives , ou en deiiors de cet angle.

Maintenant , si l'on .substitue respect îveni en t les axes des s, x, y, positives, à ceux des x, j^ z, posî-.

système de forces tendra à £iire tourner le flan des jr et a: positives autour de cet axe , dans l'angle des coordonnées positives, ou en dehors de cet angle trièdre.

Les trois quantités L, M, N, sont donc, comme on Ta dit , les momens d un même système de force par rapport aux trois axes des coordonnées positives de leurs points d'application ; et les signes de leurs valeurs, telles qu'elles sont écrites dans le n° 261 , répondent à un sens de rotation connu , autour de chaque axe supposé fixe.

2^5. La première valeur de Qq du numéro précédent, est la même chose que

Q^ = ocP cos C — fjr cos a.

En appelant H le moment de P par rapport à l'origine des coordonnées , et cT l'angle compris entre une partie de la perpendiculaire au plan de ce moment et l'axe des z positives, on aura donc ( n* 272 )

H cos eT = P ( a: cos C — jr cos a);

ce qui suppose que cette partie de la perpendiculaire au plan de H, soit celle qui fait un angle aigu ou obtus avec l'axe des z positives, selon que la quantité comprise entre les parenthèses est positive ou négative. Soient eT, et J^^ les angles que fait la même partie de cette perpendiculaire avec les axes des j* et des a: positives ; on aura de même

HcoséT, = P(zcosa -— xcosy), H cos J^. = P (^ cos y — z cos S ).

534 THAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si doue OD fait , pour abréger ,

(icosC — ;'cosa)'+(scosa — xao&yy+^xcoty — zco>C)'=^*,

et qu'on regarde p comme une quautîté positive, il en résultera

H = Yp, a cause de

COS" J' + ces' J; + COS' <J^, =: I ;

par couséqucut , ou aura

COS cT = - (jT ces G — jr COS a ) ,

COS iT, = - (s COS a — X COS y) ,

COS J^, =1 -(j'cosy — s COS ff ) ,

pour déterminer sans ambiguïté les trois angles <f, eP, , (T.. L'angle cT sera aigu ou obtus , comme on l'a supposé , selon le sigue de x cos S — y cas a, elles

de plus les équations d'une droite menée par l'origine des coordonnées et parallèle à cette force, seront

(^ cos a =:ucos€, wcosa = ucosy;

et comme cette parallèle est aussi comprise dans te plan que l'on considère , il en résultera cette seconde équation de condition :

A cos a + B cos C + C cos ^ =s o. De ces deux équations, on tire

p ^___ A ( x cos C — jr oos a ) ""^ jr cos y — zcosb[ *

-j A (2 cos « — or cos 7).

jr cos y — X COS b '

et en substituant ces valeurs dans l'équation du plan^ elle devient

u(jrcoS y — Z COS C) -^-S^iz COS A — X COS >)+W^ar cos C— ;7t:OS«)=aEO.

Or, d'après les formules connues ( n* 17 ), les cosinus des angles cT, eT. , cT. » que fait la normale à ce plan avec les axes des u^ v^Wj qui sont aussi ceux des Xj yy z , auront pour valeurs les formules qu'il s'agissait de vérifier.

En vertu de l'équation H = P/),. la quantité p est la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de la force P. C'est aussi ce qui se vérifiera sans difiiculté, en prenant le pied de cette perpendiculaire pour le point d'application de P; car, si Ton appelle r le rayon vecteur de ce point, qui sera alors cette perpendicubire , et A , /ea , r> les angles que

£36 TRAITÉ I>E JÏÉCAHIQUE.

lait sa dircctio[i avec les axes des jt,^, z, on aura a' = rcosA, ^ = rcos/i, z = rcosy;

it en siibslituant ces valeurs dans celle de p*, et ayant éf^aid aux cqualions (a"* 6 et 9 )

(OS* :( + cos' Ç + cos* 5^ ;=: I ,

cos" ^ + cos'ft + cos' f ^ I ,

cos a 1.0s A + cos S cos ft -+- cos > cos i- ^ o.

p' :^ r" ou f = ^■■

27G, Les niomeiis d'un même système de forces pai- rappori à diflërens axes, jouissent de propriétés iL'marqiiahlcs qui sont une conséquence inimcdiate di; celUs dus projections des surfaces planes sur diflërens plans, que nous allons maintenant exposer.

Soient Ox, 0/, Oz , trois axes rectangulaires qui se coupent un un point O ( fig. 70 }. I^lcnons par ce point trois autres axes Ox', Oy', Oz' , aussi reclangu-

cos' a + cos' S -}- cos* 7. = i , ) cos* et' + cos' €' + cos' y =z i , > (i) cos' a" + cos' €" + cos' y = i ; )

et à cause que a/Oy, afOzf, yOz% sont des angles droits, on aura aussi

cos OL cos a' -f- cos € cos C -f- cos ^r cos y = o , I cos a cos a"+ cos € cos S^+ cos y cos 7" = o , ? (a) cos a' cos a"+ cos ff ' cos C + cos 7' cos 5." = o . )

Les neuf angles a, a', a", etc. , détermineront réciproquement les directions des premiers axes Ojc, Oj, Oz , par rapport aux seconds Ox', Oy, 0;^. De cette manière on aura d'abord

cos' A + cos' a' + cos' a" = I , ) cos' S + cos' C + cos' C = i, > (3) cos' y 4- cos' 5/' + cos' y' = 1 , î

et , en outre ,

cos a cos € + cos a' cos €' + cos a" cos ff" = o , j cos a cos y + cos et' cos y' + cos a" cos y"z=o,\ (4) cos Ê" cos y + cos S' cos y -f- cos ff " cos y'' = 0;)

équations qui seront équivalentes aux six précédentes, et pourront leur être substituées.

Soit a l'aire d'une surface plane terminée par un contour quelconque , et située dans un plan passant par le point 0 ; par ce point , élevons sur ce plan une perpendiculaire OD, et faisons

xOD = q, 7OD = q', zOD = q'.

Ces tiX)is angles aigus ou obtus , détermineront la di-

rection de OD et celle du plan de a ; s'ils se chaogeDf tous les trois dans leurs supplëmeas , la droite OD se changera dans son prolongement, et le plan de a reslera le même.

Appelons aussi p, p', p", les projections de a sur les plans ^O: , arOz , xOy, nous aurons ( n* i o ) p = a cos y, p' = a cos q', p' = n cos 'y'.

Soit, enfin, b la projection de a sur un quatriùmc plan, qui sera, si l'on vent , le plan^'Os', et c l'angle x'OD ; on aura aussi

h :=: a cos c, et , d'après la formule (2) du n* 9 ,

«:os c = cos q cos a + cos q' cos Ç -\- cos 5* cos y ; (5) d'où l'on conclut

b^= pco&a-^p' eosê + /j''cos y; (6)

équation qui fera connaître la projection d'une aire a sur un plan quelconque , lorsque l'on connaîtra ses

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 53g

trois plans ocOj', ûcOz, jOz^ et ajoutons ensemble les projections faites sur un même plan ^ en ayant égard à leurs signes , ainsi qu'il vient d*être dît. Soient A , A', A", les trois sommes qu'on obtiendra de cette manière ; soit aussi B la somme des projections de a^ a\ et y etc. , sur le plan ^Oz' ; en formant pour chacune de ces aires ^ une équation semblable à l'équation (6), et ajoutant ensuite toutes ces équations , on aura

B = Acosa + A'cos^ + A^cos^.

Représentons encore par B' la somme des projections de ay a! y d'^ etc. , sur le plan x'Oz\ Il est évi* dent que la valeur de B' se déduira de celle de B , par la substitution de l'axe Oy perpendiculaire à ce plan , à l'axe Ox' perpendiculaire au plan yO:^, c'està dire^ en mettant dans la formule précédente et', C, y, au lieu de a, S, y, ce qui donne

B'^ss A cos a' -I- B cos ^' + C cos y.

Si l'on représente de même par B'' la somme des projections de a, a' , d'y etc. , sur le plan x'Oy, sa valeur se déduira de celle de B , en y substituant a!', C, y', au lieu de (t,Ç , y; d'où il résultera

B"= A cos a" + B cos g^'^- C cos y".

De ces valeurs de B^ B', B% et en ayant égard aux équations (3) et (4) , on tire réciproquement

A = Bcosa + B'cosa' + B"cosa^ ) A'=zBcos€ + W cosC + V' cosC, > (7) A^=Bcos>+B'cos>'+B^cos/. )

54o TRAITÉ DE MËCANIQOE.

Ces diÛ'ereates équatioDS nous moolreol que les pi'ojt-ctions des sarfaces planes sor di0ëreus plans, suivent les mêmes lois que celles des ligues droites sur des droites difiereutes.

278. Eu faisatit la somme des carrés des valeurs de B, B', B", il vient, d'après les ëqualions{5) el (4),

ce qui fait voir que l;t somme des carrés de ces trois quantités B, B', B*, ne varie pas avec la direcliou des trois plans rectangulaires de projection auxquels elles se rapportent. Dans le cas particulier où tontes les aires n, a, a', etc. , Kont dans un même plan , cette somme n'est autre chose que le carré de l'aire totale « -f- rt' + (/ -i- etc. ; et si l'on prend ce plan pour celui des axes Ojr et Os, par exemple, on aura évidt:mraent

A = rt + a' + «'-+- etc. , A':=o, A" = o. Clierclions actuellement ce que la même soim

grande somme des projections sor un même plan ^ des aires planes que l'on considère dans l'espace.

2jg. Le plan yOz' qui répond à cette plus grande projection ^ jouit de propriétés importantes en mécanique , que nous ferons connaître dans la suite de ce traité. Sa position est facile a déterminer , d après les équations B^ = o et B'' = o ^ qui le caractérisent.

En effets les équations (7) se réduisent alors à

A = B cos a , A' = B cos C , A^ = B cos y ;

d'où Ton tire

A cos a =

cos

cos y =

Lors donc que l'on connaîtra les sommes A, A', A', des projections sur trois plans rectangulaires jOûc ^ jrOz, xOjTf choisis arbitrairement , on pourra immédiatement déterminer la direction du plan yOz' de la plus grande projection , au moyen des trois angles tt^ S f y, qui se rapportent à la droite Oo^ perpendiculaire à ce plan. Quant a sa position absolue dans l'espace f il est évident qu elle est indéterminée ; car les projections de chacune des aires a, c^, dy etc. , et^ par conséquent^ la somme de ces projections, sont les mêmes sur tous les pians parallèles.