La somme des projections des aires a^ a

54a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

fi', etc. , est égale sur tous les plans également inclines sur celui de !a plus grande projeclion.

Pour le démontrer, prenons le plan pcrpendicul.iire à la droite OD; désignons par C la somme àea projections de a, a', a', etc. , sur ce plan ; soient toujours q, </, tj', les angles que cette droite OD fait avec les axes Oj", 0/, Os, el c l'anjjle x'OD qui mesure l'inclinaison de ce plan sur celui de la plus grande projeclion. On aura , d'après oe qu'où vient de trouver ( ii" 277 ),

: Acosi/ -j- A'cosç' -|- A'cosy',

En substituant Bcos a, Bcas€, Bcosj-, à la pla^* de A, A', A', on aura donc

C = li (cos a cos q ■+■ cas ë ces q' -J- cos y cos a') ,

ou bien , en vertu de la formule {5}, C = B cos c , et, en mettant pour B sa valeur,

C = V'Â' H- A" -i- A" cos c;

droites qui représentent , en grandeur et en direction , les forces P, P', P', etc. , que l'on a considérées précédemment. Leurs momens L, M , N, par rapport aux axes 0^ , 0/, Ox , des coordonnées positives de leurs points d'application ( n® 274 ) seront alors les sommes des projections de a^ dy a' y etc., sur les plans xOfy xOZf jOz\ et voici les conséquences qui résultent des propositions qu'on vient de démontrer :

I*. En appelant E le moment des forces P, P', P', etc. , par rapport à un axe passant par le point O, qui fait avec les axes Oo:, Ofy Oz, des angles 6 , e', 6% aigus ou obtus ^ on aura

E = N 00s € H- M cos ê' + L cos 6^

i"*. Parmi toutes les directions autour du point 0, de l'axe du moment E, il en est une pour laquelle ce moment est le plus grand possible et égal à

V^L* -[- M* + N*. Par rapport à tout autre axe, passant toujours par le point 0 et perpendiculaire à celui du plus grand moment, le moment E est zéro,

et il est égal à * V^L* + M* + N* cos cT, relativement à un axe qui fait l'angle cT avec celui du plus grand moment.

3*. Enfin, si l'on appelle a, ^, 5^, les angles que fait l'axe du plus grand moment passant par le point 0, avec les axes O^r, O^-, Oz, des momens N, M, L , et que l'on désigne par G la grandeur de ce plus grand moment , on aura

cos a = g;, C06b = ^, C0S7^=g,

su TRAITÉ DE HËCANIQCTE.

et , en même temps ,

G = \/L" + M- 4-T^' d'où il résulte cfu'en prenant sur les axes Ojt, O^", Oî, à partir du point 0 , des droites proporlionnelles aux moniens N, M, L, et actievant le parallélépipède dont ces droites seront les trois cotés adjacens, U longueur de sa diagonale représentera la grandeur du plus grand moment, et cette droite sera l'axe de ce moment principal.

Ces théorèmes remarquables sont dus à Euler. lU établissent une parfaite analogie entre la conipusitioo des momens et ccUe des forces; analogie qui tient à ce que les forces étant représentées par des lignes droites , les momcns sont exprimés par des surfaces plantas, qui se projettent sur des plans diflereiis, de U même manière que les lignes sur des droites tlifTéreutes ( n" 277 )■

282. Le point 0 et le système des forces P, F, P', etc., étant donnés , j'appellerai moment j/rinçiBai

égaux à zéro ; car , à cause de

les équations R = o et G = o ^ entraîneront les six équations d'équilibre du n* :26i •

On en peut conclure que pour qu'un système de forces fasse équilibre à un autre, il est nécessaire et il suffit : i"". que les résultantes R qui ont lieu dans ces deux systèmes soient égales et contraires ; 2*. que, pour un même point 0 , leurs momens principaux soient égaux et répondent à des axes dirigés en sens contraire, ou dont l'un soit le prolongement de l'autre. La résultante R et sa direction , le moment principal et la direction de son axe, resteront les mêmes, dans toutes les transformations qu'on peut faire subir à un même système de forces, et, généralement, pour deux systèmes de forces équivalens.

Soient a, b , c, les angles que la force R fait avec les axes Ox, Ojr, Oz, on aura

cos a = ^ , cos ^ = g- , cos c = g-.

Soient aussi ro l'angle compris entre sa direction et l'axe du moment principal; a, ^, >, étant les angles que fait cet axe avec Ojc, Oj', Oz, nous aurons

cos cj = cos a cos a + cos b cos € + cos c cos y,

ou , ce qui est la même chose ,

XN -h YM 4- ZL cos 0 = g^ .

Il s'ensuit donc que la condition d'une résultante I. 35

aique qui est exprimée ( n" 363 ) par l'équatioa XN + ÏM 4- ZL = o ,

en ce que l'axe du moment priacipal G et la n 1 de la résultante R doivent se coupera angle it. est ce qu'on vérifie , en eflét, en observant 3 si les forces P, ¥', P", etc., dans leur véritable isitioD, ont une résultante unique, cette force doit e égale et parallèle » R et que son moment par rapport au point 0, do i être le moment priaci-

pal G ; en sorte que i moment priacipal est

lors perpendiculaire à ; résultante transportée

a >inl 0 parallèlement à Ile-même; mais ce raisonnement ne suffirait pas ptour prouver que réciproquement, quand l'équation précédente a lieu, les forces données ont une résultante unique.

383. Je transporte le point 0 en un autre point quelconque que j'appelle 0, ;je désigne par a?,, jr,^ z,, les coordonnées de 0,, rapportées aux axes Ox, Oj; Oz, et par L, , M,, N,, ce que deviennent L, M, N , relatiremeot à ce point 0, : les valeurs de ces dernières quantités se déduiront des premières ( n" 261 ) , en y mettant a: — x,, J" — J', t 2 — z, , à la place de x , ^, z j et il en résultera

M, = M -(- Zx. — Xz„ [■ (a)

N. = N + Yz, — Zj,. )

Ces formules montrent que quand P, P', P^, etc. , se réduisent à des forces égales, parallèles et dirigées en sens contraire , mais aoa directement opposées ,

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 547

auquel cas on a X = o ^ Y = o ^ Z = o ^ les quantités L, 9 M, y N, ^ sont indépendantes des coordonnées du point 0, ; en sorte que la grandeur du moment principal et la direction de son axe ne varient pas avec la position de ce point. En effets quelque part que soit placé le point 0, , il est évident que l'axe du moment principal des deux forces parallèles qu'on peut substituer aux forces données P, P', P^, etc. , est la perpendiculaire à leur plan; et nous savons d'ailleurs (n^ 4^) que la somme des momens de ces deux forces qui sera le moment principal des forces données, est une quantité constante.

Dans tout autre cas , le moment principal change avec la position du point 0, ; et l'on peut demander quel doit être ce point, ou ces points, s'il y en a plusieurs , pour lesquels ce moment est un minimum. En le désignant généralement par G. , c'est-à-dire , en faisant

G.* = W + M,* -h N.% nous aurons

Si Ton égale à zéro ses trois différences partielles par rapport à or, , j*,, z, , afin de déterminer sa valeur minima , et si l'on observe que

on obtient trois équations qu'il est facile d'écrire sous

cette forme :

R'x,=X(X^. + Xr. + Z2.) + YL — ZM,

R'j, = Y {Xr, +X;-. +Zs. )H-ZN — XL,

= Z ( Xx. + Y^, +Z3, ) +XM— YN.

on ajoute ces trois équations après les avoir ,1 ées par X , Y, Z, on trouve une équation itique; il s'ensuit donc que l'une d'elles est une lite des deux autres; et comme les coordonnées uTu "i> "^s'y ™° u'au premier degré, elles

appartiennent à une Iroile qui est ie lieu des

centres des moroeas , ipport auxquels le mo-

ment principal est au un. Il n'est pas nécessaire

d'examiner lequel a I du maximum ou du minimum; car il est évider la valeur de G, croit in-

définiment avec les va i x,, j^,, z,, et n'est pas

susceptible de mojcinuà

284' En éliminant la quantité Xx, + Y^, -(- Zz, , entre les équations précédentes, prises successivement deux à deux , on trouve

xr, Y:r, + L = nHi|)L+i^ i

Zx.-X..H-M = lffi+.^L±J^| (A)

ïz, zr, + N = Ml+^+H);^

équations qui appartiendront aux projections sur les trois plans des coordonnées du lieu des centres des momens principaux minima.

On en déduit

f, NX + MY + LZ , ,

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 54^

pour la valeur du moment principal nUmmnm^ qui est ainsi la même pour tous les centres 0,.

Si Ton appelle a,. Ci 9 >,, les angles que l'axe du moment G, (ait avec des parallèles aux axes Ox^ O7 , Oz, menées par le point 0,, on aura

cosa, = g-, cosb, = ^, cos)., = g^,

quel que soit le centre des momens ; et , d'après les équations (rt), (6), (c), il en résultera , en particulier, pour un point O, appartenant à la droite déterminée par les équations (6),

cosa, = ^, cosff, = g:, cos>, =g-;

ce qui montre que les axes de tous les momens principaux minima , dont la valeur commune est donnée par la formule {c), sont paraUèles enti^ eux et à la direction de la force R.

Quand les forces données ont une résultante unique 9 il est évident que la plus petite valeur de G, doit avoir lieu lorsque le point 0, est pris sur sa direction ; ce qui rend cette valeur égale à zéro. Réciproquement y si la valeur de G, est nulle par rapport à un point 0, ^ on en conclura que les forces données P, P', P, etc. , ont une résultante unique, passant par ce point; car si elles se réduisaient à deux forces non comprises dans un même plan y on pourrait faire passer l'une d'elles par le point 0,y et réduire leur moment principal à celui de l'autre force , lequel ne serait pas zéro^ contre l'hypothèse. On conclut de là que la condition néces^

55o TKAITÉ DE MÉCANIQUE.

sairt' et siillis;inte pour que les forces données aient une résultante unique, consiste en ce que leur moment principal puisse être égal à zéro. Ce moment (jtant alors un mini/num , la conrlitioa doQt il s'agît ^LTa exprimée par l'équation

LZ -f- MY + NX = G,

d'après la formule (c) ; et le point O, auquel il se rapport(^ , appartenant 3 cette résultante, les équations de la droite suivant laquelle elle est dirigée , seront

\j, — Yo;, + L = D, Z.r, — Xz, + M:= o, \z, — Zjv, + N = o,

cil vertu des équations (b). Ces résultats coïncident ;ivec ceux du n° a65 qu'on a trouvés par d'autres considérations.

llt^t¥Vy*éVkV^t¥WkMy¥WVW^¥VVt/t0WywyV¥yV¥^fVt^^fi^n^^0l^fiMt^n^^nMtt*n^nAMMk^^^Min^^Mi^^^M^f^MyiA^