m'", m] . <r/''(m"', m^ '"(m'", m") H- etc. = o

es ■virtuelles de M', M', lions tics forces données ur ces points matériels.

ons: en observant que :me chose que [m', m]

et {m, m), et de même pour toutes les notatïous semblables ; et en substituant la variation totale de chaque distance a la somme de ses variations partielles, uou^ aurons

Pp + Vp + P>"+ PV+ etc. \

+K,m-]./Cm',r«-)-|-etc. \

-f-elc. = o J

335. Jusqu'ici les déplacemeos MN, M'N', M"N",ettt (6g.83),6ont iodépendans entre eux; et Téquatioa (a) suppose seulement que ces points n'ont pas quitté les surfaces ouïes courbes données, sur lesquelles ils sont obligés de rester ; mais si nous supposons, en outre, qu'en vertu àtÊBe& dcplacemeus, les points da système

sont déplacés simultanément. Alors , nous désignerons par (m, m!) la distance de deux points quelconques M et M'; en sorte que (m^ ni')^ (m! , m!'), etc.» soient de même les distances de M et M', M' et M'', etc. Nous emploierons la caractéristique ^y , pour indiquer les Yariations de ces distances ^ relatives au d&* placement du point M; la caractéristique J^/, pour indiquer celles qui ont lieu quand c'est le point M' qui se déplace ; la caractéristique cT/^ pour indiquer les variations provenant du déplacement de M'' ; et ainsi de suite. Enfin, nous réserverons la caractéristique /, sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance de deux points , résultant de leurs déplacemens simultanés.

Puisqu'on suppose , par exemple , que M a été transporté de M en N et M", de M' en N^ nous aurons

/ (m, mO = MM' — NN',

cT, (m, mO = MM' — NM'/

cr/(m,m') = MM' — MN';

U est important d'observer que la variation totale, indiquée par J^, est égale à la somme des variations partielles , indiquées par J^^ et ^J ; de manière qu'on a , pour deux points quelconques,

J'Çm, m') = cT/m, m') + J'/Çm, m");

équation qui résulte de ce que les déplacemens de M et M' sont infiniment petits , et qui n'a lieu que dans cette hypothèse. En efiet (m, m') est une fonction des coordonnées de ces deux points; ces variables pren-^

6^0 TRAJTÉ DE MltCANIQtC.

lequatîon (a) toutes les fois que la longueur totale de . ce fil ne variera pas.

Concluons donc, enlîn,

1°. Que l'équation résultanle du principe des vitesses virtuelles a Heu pour loiis les mouvetnens înfîniment petits qu'on peut donner à un corps solide, libre ou gêné par des obstacles Bxes; car dans tous ces iDOUvemens les distances respectives des points de ce corps sont invariables.

2'. Que cette équation a aussi b'eu pour tous les mouvemens infiniment petits que peut prendre un système de points ou d'anneaux liés par des fiU flexibles, pourvu que ces (ils restent droits ou tendus. Quand cette condition n'est pas remplie, les leasions ne disparaissent pas toutes dans l'équation (fl), et, conséquemmeul, l'équalion Çù) n'a plus lieu.

556. Il faut encore démontrer que, re'ciproquemciit, quand l'équation (b) a lieu pour tous les mouvemens infîaiment petits qu'on peut faire prendre au système des points M, M', M", etc., les forces données P, P', F', etc. , sont en équilibre , ainsi tjœ nous l'avons énoncé précédemment (n' S5iJ.

Supposons pour un moment que l'équilibre n'ait pas lieu. Les points M, M', M", etc. , ou une partie d'entre eux, se mettront en mouvement, et, ,dans le premier moment, ils décriront simaltancment des droites telles qne MN, M'N', M'TT', etc. ; ou pourra donc réduire tous ces points au repos, en leur appliquant des forces convenables, dirigées suivant les prolongemens de ces droites, eu

iiiiJniment voisin de M , et appartenant à la surface ou à la courbe sur laquelle ce point IVl est astreint à demeurer, s'il n'est pas entièrement libre. Soient />, tf t\ t'^ etc. , les projections de MN sur les directions des forces P , [w, w^] , [/w , m''] , \jn , m"^ , etc. ; nous aurons (n® Sg),

Vp + {m,m'].t+ [/», m"] . €+ [m, m'"] . i'+ etc.= o.

Mais, à cause que la ligne MN est infiniment petite , il est aisé de voir que sa projectioà sur la ligne MM' n est autre chose que la différence des deux distances MM' et NM'; car si l'on abaisse du point N (fig. 83) la perpendiculaire NH sur MM', la droite MH sera cette projection , et Ton aura

MH = MM' — HM'.

Or, on a aussi

HM' = \/(jmy — (NH/ = NM',

en négligeant les infiniment petits du second ordre ; on aura donc

MH = MM' — NM .

D'après les notations convenues, cette équation est

et l'on aura de même

t!=aj^^{m, m") , t" = S'^(m, m'") , e!c. ;

par conséquent, Tëquatiou d'équilibre deviendra

P/) + [/n , m'] . J^Xw» m') 4- [m , m"] . J^/m , m") + [/« , m'"'] . «T, {m , m'") + etc. *•

qu'on ait, ou R = o , ou MN = o ; ce qui signifie , dans l'un et l'autre cas, que le point M ne peut preodre aucun mouvement : il en est de rnème k l'égard de tous les autres points; par conséquent, le système entier est en équilibre; et c'est ce qne nom nous proposions de démontrer.

337. Lorsqu'il sera question des fluides, nous ferons voir, en partant de leur propriété fondamentale, que le principe des vitesses virtuelles a aussi lieu daoï l'équilibre d'un système de forces dont les actions se transmettent par l'intermédiaire d'un fluide contenn dans un canal ou dans un vase de forme quelconque. De cette manière, la démonstration du principe général de l'équilibre aura toute l'étendue que l'oa peut désirer; car les verges inflexibles, les 6U tendus, les fluides contenus dans des canaux, sont les difierenta sortes d'intermédiaires qu'on peut établir eatre des ' points matériels, séparés les uns des autres, pour •! transmettre l'aclion des forces de l'un de ces pointi à un autre ; et si d'ailleurs , parmi ces points, il r en a qui soient immobiles, d'autres par&itement lilûes, et d'antres assujettis à rester sur des surfaces ou sur des courbes données, on aura le système de points maté* riels le plus général qu'on puisse avoir besoia fie considérer. Toutefois, je vais donner une autre démonstration dn même principe , que l'on doit k Lagrangn^ et qui repose sur des notifms plus élémentaires qae la précédente; die est fondée sur U possibilitë ia remplacer toutes les forces appliquées à un sjrtènt quelconque de points matériels, par un seul pcùA agissant comme on va d'abord l'expliquer.

338. Si un point M ( fig. 84) est sollicité par une force P dirigée suivant la droite MA , on peut d^abord supposer que cette force soit appliquée au point A p et agisse au moyen d'un cordon MA attaché à ce point M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un fil qui s^enroule alternativement sur une moufle fixe et sur une moufle mobile, et soit attaché par Fun de ses deux bouts à Tune ou à l'autre de ces deux mouflet ; celle qui est fixe répondant au point A, et celle qui est mobile au point M. En suspendant verticalement un poids K a lextrémité libre du fil, la tension sert égale à K dans toute sa longueur. Si les dimensions des poulies sont regardées comme infiniment petites^ les tensions de toutes les parties de ce fil , qui abou« tissent à la moufle mobile , auront la même direction ; en appelant 1 leur nombre, leur résultante sera égale à îK , et agira sur le point M suivant la direction MA; par conséquent, si l'on a iK s: P, ou pourra remplacer l'action de la force P par celle du poids K.

11 en sera de même k l'égard des autres forces P', P'^, etc., appliquées à des points M^ M'^, etc. , suivant des directionsM'A', M"A", etc.; chacune d'elles pourra être remplacée par un poids égal à un sous-multiple de son intensité , agissant comme on vient de Texpliquer pour la force P. De plus, il est aisé de voir qu'on pourra toujours faire passer successivement, comme le représente la figure 85, un seul et même fil sur toutes les moufles fixes en A, A', A'^, etc., et sur toutes les moufles mobiles attachées aux points M, M', M*', etc. Supposons donc que 1, i', !\ etc., sont I. 43

(les iiombr«s entiers, et qu'on ait

,K = P, i-K = P', ï"Ks=F', etc. (rf)

En suspendant verticalement le poids K à l'extrémilé libre de ce fil , le système des forces données P , P', P", etc. , se trouvera remplacé par ce seul poids, dont l'action sera transmise aux points M, M', M", etc., par l'intermédiaire de ce fil , et des moufles (ixes et mobiles. A la vérité, les équatiuus (d) supposent les forces P, F, P", etc. , commensurables; mais cette hypothèse est loujoui-s admissible» puisque leur commune mesure K peut être un poids aussi petit qu'on voudra , et même ïaGniment petit, si cela est nécessaire.

539. Concevons actuellement qu'on imprime aux points M, M', M", etc., un mouvement qai soil compatible avec les conditions du système, ainsi que le mouvement directcnient contraire ; soient Ti, N', N", etc., leurs positions après un temps infiniment petit; et appelons, comme précédemment, p, p', p", etc., les projections de MN, M'N', M"N", etc., sur les directions de P , P', F', etc. , on sur leurs prolongeraens.

Le point N étant projeté en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A à M sent raccourci d'une quantité AM — AN, pour lafjaeUe on pourra prendre Ma, en négligeant les tnfioîment patits du second ordre ; ce cordon serait , an contraire, allongé de Ma, si le point a tombait sur le prolongement de AM; d'où l'on conclut qu'à raison du déplacement de M, le poids K descendra

dans le premier cas, et montera dans le second, d'une quantité égale au produit de Ma et de i; ce qui revient à diFe, d'après le signe de p (n* 33 1), que la variation positif e ou négative de sa hauteur verti^ cale sera exprimée par ip,SL raison de ce seul déplacement. Il en sera de même par rapport à tous les autres points M', M'', etc.; par conséquent, si Ion désigne par Ç une quantité infiniment petite, qui représente, selon qu'elle sera positive ou négative, la quantité to^ taie dont le poids K descendra ou montera, par suite des déplacemens simultanés de tous les points du système, nous aurons

}^ =1 ip + fp + ly -f- etc.

Or, le poids K tendant à descendre, et étant la seule force qui agisse sur le système, il est évident que rien ne l'empêchera de produire le mouvement que nous considérons, si celte valeur de ^ est positive; et que, si elle est négative, rien n'empêchera le poids K de produire le mouvement directement contraire, qu'on suppose également possible , et pour lequel ^ changera de signe. Pour que l'équilibre ait lieu, il est donc nécessaire que ^ soit zéro. Réciproquement, le poids K ne pouvant produire aucun mouvement quelconque, sans descendre d'une quantité infiniment petite dans le premier instant, il s'ensuit qu'il n'en produira aucun, et que Féquilibrc aura lieu, si l'on a ^ = 0, pour tous les déplacemens des points M, M', M", etc., infiniment petits et compa»tibles avec les conditions du système.

Maintenant, si l'on multiplie par K l'équation

ip + Cp' ■+■ i"p" + etc. = o ,

nécessaire et suffisante pour l'équilibre, et qu'on ait égard aux équations (d) , elle se changera dans l'équatioQ (b) du principe des vitesses virtuelles , qu'il s'agissait d'obtenir.

340. Cette démonstration ne suppose pas le principe préalablement démontré pour un point matériel isolé. Si le système se réduit à un seul point M auquel sont appliquées les forces P, P', P", etc. , données en grandeur et en direction, on substituera à leur action simultanée celle d'un seul poids K , comme dans le n' 538; et, dans le cas de l'équilibre de ces forces, le principe des vitesses virtuelles se déduira de cette substitution par le raisonnement qu'on vient de faire : or, ce principe fournira immédiatement les équations d'équilibre du point M, assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe , on eotièrement libre (n" 5g}. Dans ce dernier cas, en considérant Tune des forces données comme étant égale et contraire à la résultante de toutes les autres , on en déduira les règles de leur composition et de leur décomposition , et le théorème du parallélogramme des forces. Eo appliquant ce principe à l'équilibre de trois forces parallèles, dont l'une est, par conséquent , égale et contraire à la résultante des deux autres, on en conclura également les règles de la composition et de la décomposition des forces parallèles.

On déduit aussi , sans difficulté, du principe général des vitesses virtuelles, les équations d'équilibre

d'un corps solide entièrement libre ^ que nous avons trouvées d'une autre manière dans le n* 260*

En effet , nous pouvons d'abord supposer que tous les points de ce corps décrivent des droites égales entre elles et parallèles à l'un des axes des coordon-* nées. En appelant h la longueur de ces droites , et oc , a', a!\ etc. ^ les angles que leur direction commune fait avec celles des forces données^ nous aurons

/> = ^ cos a , p'^=zh cos <t\ />" = h cos a", etc. ,

pour les vitesses virtuelles des points M, M\ M", etc.^ du corps solide, projetées sur les directions des forces P, P', F', etc., appliquées à ces points; donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (6), et supprimant le facteur h , comme à tous les termes , on aura l'équation d'équilibre

P cos ût + P' cos a! + F' cos a" + etc. = o.

En considérant successivement les mouvemens du corps parallèlement aux deux autres axes des coordonnées, on obtiendra de même les deux autres équations d'équilibre semblables à celle-là.

Nous pouvons aussi iiaire tourner le corps autour de l'un des axes des coordonnées. Pour former l'équation qui correspondra à ce mouvement, je représenterai les coordonnées des points M, M', M*, etc., et les angles que font les directions des forces P , P', F, etc., avec celles de ces coordonnées, par les mêmes lettres que dans le vfi 260. En supposant que la rota^ tion ait lieu autour de l'axe des z, chacun de ces points décrira un arc de cercle parallèle au plan des

.r cl j', qui aura pour rayon la perpendiculaire abaissée de ee point sur cet axe. De plus, par la nature du corps solide, l'angle décrit par cette perpendiculaire sera le même pour tous ses points. Si donc on le suppose inHaicnent petit , qu'on le désigne par cd , et par r, r*, r", etc. , les distances des points M, M', M", etc., à l'ax» des z, on aura ra>, j^ai, i^'ai, etc. , pour leurs vitesses virtuelles ; et en appelant aussi ^, ^^ J^', etc., les angles aigus ou obtus que font les directions de ces vitesses avec celles des forces P, P', F', etc. , il en résultera

i> cos/', etc..

p^rcocosS", p'=r'atcos cf', p'z

pour les projections de ces mêmes vitesses sur les directions de ces forces ou sur leurs prolongemens.

Soient , en outre , a, h,c, les angles compris entre la direction de la vitesse rai et des parallèles aux axes des a:, j', 3, menées par le point M; les mêmes angles relatifs à la direction de la force P étant a, 6 , ■} , on aura

cos<r = cos<!ZCOsaH-cos & cos C-f-cosccos y ;

mais à cause que la vitesse ra est tangente ëa M , aa cercle du rayon r qui a son centre dans l'axe des z, il est aisé de voir qu'on a

cosi=±-, cosa = a=-, cosc^o.

cl, par conséquent,

p =s r«cos (f = dz(x cos € • On aura de mcme

■ ^COS a)«.

p' Z=: dtZ (x' COS ff ' — jr C08 *')«,

p" :==dz [x' cos Ç' — ycos «'>,

Les signes dépendront du sens de la rotation ; et Ton devra prendre, à la fois , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs ; en les subs^ tituant donc dans Féquation (i) et supprimant le facteur zka>, commun à tous les termes, nous aurons

p(^cosC— ^cos a)+p'Çx cos C — -y cos a')-f%tc.=;=o.

Cette équation d'équilibre est celle des momens par rapport à Taxe des z, autour ducpiel le mouvement a eu lieu ; on obtiendi^ de la même manière les équations des momens par rapport aux axes des X et des^, en faisant tourner successivement le corps solide autour de ces deux droites.

341 • On peut donner à Téquation (b), une forme différente qui en rendra les applications plus faciles.

Pour cela , soient x,j', z, les coordonnées du point M dans sa position d'équilibre ; ^+ J^x, j^ + jy , z + J^z, ce qu'elles deviennent quand on transporte ce point matériel dans une position N infiniment voisine ; X , Y, Z , les composantes de la force P suivant les prolongemens des x ^ y^ z, dans le sens positif; ces quantités infiniment petites J^x, Jy-, J^z, seront les projections de la vitesse virtuelle MN sur les direc* tions de X, Y, Z ; et /7 étant toujours sa projection 9ux: la direction de P, on aura (n* 33i)

Pp == \<^x + YJir + 2^z.

En désignant par les mêmes lettres avec des accens.

les quantités analogues qui réponilent aux points M',

M", etc. , on aura aussi

P-/ = XVa^ -H \'J>' -h yJV, ■

etc. ; ^^

et si l'on ajoute ces équations et la précédente « od pourra écrire

Vp + P>' + P>' + etc. =S (X^ + Wj- + ZJi) j

la somme S s 'étendant à tous les points M , 51' , M"» etc. , du système , et se composant , par conséquent, d'un nombre de parties semblables, égal à celui de ces points. De cette manière, l'équation (6) prendra la forme :

2(XJ'jc + ^Jy + Z<rs) ï= 0, (e)

qu'il s'agissait de lui donner.

Or, quelle que soît la liaison des points da système, on peut toujours l'exprimer par une ou plosienn équations entre leurs coordonnées. Soient donc L , L', L", etc., des fonctions données de x, ;-, z, x', y, etc. , ou d'une partie de ces coordonnées; et supposons que ces équations soient

L = o, L' = o, L" = o, etc. (/)

Les déplacemens simultanés de tous les points du système devant être compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti, il faudra que les coordonnées X, ^, z , y, y, etc. , de M , M', M", etc. , et les coordounées x-f-jx, /-|-<0'» s+J^z, x'+eTx', etc..

STATIQUE, SEœNDË PARTIE. 681

de N , N', N", etc. , satisfassent successivement a ces ^ équations ; par conséquent, en négligeant les infiniment petits du second ordre , nous aurons

É cT^ + IcTr + g cTz + g,J^x'+etc.=o,

Si l'on change en même temps le sens des déplacemens de tous les points du système , les signes de J'Xy S^y éTz, i'x'f etc., changeront tous à la fois, et ces équations seront encore satisfaites; en sorte que le mouvement infiniment petit auquel elles répondront, et le mouvement directement contraire, sont également compatibles avec les conditions données , comme le suppose implicitement l'énoncé du principe des vitesses virtuelles (n** 35i).

Cela posé , au moyen de ces équations {g) , on éliminera, dans chaque cas, de Téquation (e), un nombre des quantités J^jc, jy, ^z, J^x', etc., égal à celui des équations (y*) ; celles de ces quantités qui resteront ensuite dans le premier membre de Féquation (e) , seront indépendantes entre elles ; on devra donc égaler séparément leurs coefSciens à zéro ; ce qui fournira toutes les équations d'équilibre du système , dont le nombre sera égal à trois fois celui des points maté* riels M, M', M'', etc., moins le nombre des équations (y). Lorsque les positions de ces points, c'est-à-dire, les valeurs de leurs coordonnées x, j^p z, x\ etc..

68a TKAITÉ DE MÉCANIQUE,

seront données, il faudra que les composantes des forces P, P', P", etc., satisfassent à ces ë<]aatioDs d'équilibre; quand, au contraire, oa donnera ces forces en grandeur et en direction, et que les positions des points du système seront inconnues, ces mêmes cquotîoQS, jointes aux équations (/"), serviront à déterminer toutes leurs coordonnées.

34a- Les équations (e) et (g) étant linéaires par rapport à j'jr, J'f, ^z, faf, etc., l'éliminalion d'une partie de ces quantités pourra se faire, d'après la méthode connue, en ajoutant ces équations après avoir multiplié les équations (g) pardes facteurs indéterminés, et en égalant à zéro, dans cette somme, les coeOiciens de celles des quantités S'a- , S'y, êz , «Tx', etc., qu'on voudra éliminer. Les coefBciens des quantités restantes devant ensuite être aussi ^anz à zéro, il s'ensuit qu'on devra égaler à zéro les coelficiens de toutes les quantités ^x, S'y, ^z, S'cc\ etc., indislinctemenlj dans la somme dont il s'agit; d'où il résultera un nombre d'équations égal à celui des coordonnées , entre lesquelles il restera , dans chaque cas, à éliminer les acteurs indétenninés , ponr avoir les équations d'équilibre du système.

En désignant par X, X', A", etc., les facteurs par lesquels on multipliera les équations {g) , on aura , par ce procédé ,

-g^-^-'^ -^ +etc. = o,

pour les équations provenant des coefficiens de Sx^ SjTf J^z 'y on aura de même

X'H-A§ + ^'g-f-V'^ + etc. = o, Y'+A^H-A'^^+X"^ + etc. = o, \(h') Z'+A§+A'f + A"^ + etc. = o,

pour celles qui proviennent des coefliciens de J^a^, Jy, «Tz' ; et ainsi de suite.

Au lieu d'éliminer simplement A, A'^ X", etc. ^ on pourra tirer de ces équations les valeui*s de ces in«connues; nous allons expliquer comment on en déduira ensuite y en grandeur et en direction , les forces provenant de la liaison des points du système, qui agissent sur tous ces points et font équilibre aux forces données P, P', P", etc. La détermination de ces forces inconnues est une partie importante du problème de Téquilibre, dont la solution complète et générale se trouvera ainsi comprise dans Tensemble des équations (f) , (A), {h') , etc.

343. Si l'on suppose que tous les points du système, moins le point M, soient rendus fixes, l'équilibi^ ne sera pas troublé. En vertu de l'équation L = o, le point M sera alors astreint à se mouvoir sur la surface dont L = o est l'équation , et dans laquelle les coordonnées x,jr^ z, seront seules variables. Or, en désignant par u la résistance de cette surface, laquelle sera dirigée suivant une des deux parties de la normale en M , on pourra remplacer cette surface , ou l'équa*

tion de conditioQ L=:o, par celle force inconoue. De même, on pourra remplacer L' ^ o par une force f/., normale à la surface qui répond à cette équation; L" = o par une force fi, normale à la surface correspondante; et ainsi de suite. Donc, en jolgoaat à la force donnée P, ou à ses composantes X, Y, Z, ces forces normales fi , f/., , fi^, etc. , on pourra en- < suite considérer le point M comme entièrement libre ' et isolé. Par conséquent, si l'on désigne par a, b, c, les angles que fait la direction de la force f* avec des parallèles aux axes des x, y, z, menées par le point M; par a, , b,, c,, les mêmes angles relatifs i la force fJt, ; et ainsi de suite , nous aurons

X + ^ cos fl+f(, cos fl,4-/t, cos (z,+etc.=:o , Y ~\-fi. cos b-^fi, cos i, + ^i cos A,+etc.=o , Z +/* cos c +u, cos c, 4-ft, cos c, +etc.=!0,

pour les trois équations d'équilibre du point M. De plus, sil'on fait ^ pour abre'ger.

'=v/(0+d7)-+(gy- '.=v/(f)'+Q+(fy,

on aura aussi , par les formules connues (n* a i).

i dh , ï dh 1 dL

cas /ï = - j - , cos o = - j- , cos cs= -y-,

f dx^ 9 dj f dz ^

idV , 1 dV I dV

COSa.ts— j— , COS£?,= - j— , COSC,=s--;7- , * B,é/jr ' 'i HT », or '

COS a.= - 3- , cos ^,= - -y-, cos c.=- -r- •

■ w» dx^ ■ »* 4r F, d* '

etc. ;

ce qui changera les trois équations d'équilibre en celles-ci :

X4-^— -^îîi— 4-^— ^etc — o ^ ^ f dx^ f, dx ^ f. dx ^ ^^^- — ^^

, i« JL , u. dV , 4«> dV , -

■h- 7 — H --j h — rï h etc. = o,

^ f djr ^ 9, djr * f^ djr ^ '

Or^ en les comparant aux trois équations (g) avec lesquelles elles doivent être identiques , on en conclut

fjL = vX, Atf = >'i^'» f*t = J'*^''- etc.

Ainsi ^ par rapport au point M, les forces provenant de sa liaison avec d'autres points du système, sont exprimées par les produits fA , v,A', v^\", etc. ; ces forces devant être des quantités positives , on don** nera aux radicaux y , v^, v^^ etc., les mêmes signes qu'aux quantités A, A', A'', etc., et leurs directions seront complètement déterminées par leséquations (i).

Si Ton appelle de même fe", ju/^ fi^', etc., les forces provenant de la liaison du système, qui agissent sur le point M' et sont normales aux différentes surfaces

sur lesquelles il est oblige de se mouvoir, quand tous les autres points M, M", M'", etc., sont rendus fixes, on trouvera pareillement

fc' = v'^, fi.,' = v.'A', /:(,' = r.'X", el en faisant pour abréger.

■•=v/(iyT(l^)+(^)->

etc. -

On obtiendra de même les expressions des forces relatives aux points M", M"*, etc.

544- £n comparant les valeurs de /k et /j.% on a ^1 fi.v' = fi.'v; "

de sorte qu'elles sont entre elles comme les quantité c et /. Lors donc que deux poiuts matériels M elM' sont liés entre eux, el, si l'on veut, à d'autres points en nombre quelconque, par une équation L^ o, il en résulte, dans l'état d'équilibre, des forces /a et fi! appliquées à M et M', dont les grandeurs sont entre elles comme » et i>', et qui font arec les axes des coordonsées , des angles dont les cosinus sont

pour la forcer, et

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 687

i dL i dh i dL

v'daf' f' df f' dz"

pour la force f/!. Le sens et la grandeur de ces forces dépend du signe et de la grandeur d'une quantité A qui se déduit, dans chaque cas, des équations d'équilibre.

La considération des surfaces sur lesquelles chacun des points d'un système conserve la liberté de se mouvoir, lorsque tous les autres sont supposés fixes, détermine les (directions normales des forces provenant de la liaison de ces mobiles, pour chacune des équations par lesquelles cette liaison est exprimée (n* 290); mais on n'en peut conclure aucun rapport entre les forces relatives à deux points matériels liés par une même équation ; et c'est le principe des vitesses vir* tuelles, ou les équations (A), (A'), elc. , qu'on en a déduites, qui fait connaître ce rapport à pnbrî, daus le cas de l'équilibre.

345. Pour donner une application de ces formules, reprenons lexemple du polygone funiculaire que nous avons déjà considéré dans le § I'"' du chapitre précédent ; et supposons que les points matériels M, M^, M'', etc. , soient les sommets successif de ce polygone.

Si l'on appelle /, /', T, etc. , les longueurs données des côtés MM', M'M", M"M"^, etc., les équations (/), seront , dans ce cas ,

L = v/(x — x'Y + {j—fT +{z—z')-^ Z= o,

TBAITÉ DE MtCiKIQCE.

d'où

il résultera

rfr"

dL-

etc,

et loutes les autres différences partielles de L, L', L", etc., qui entrent dans les formules precédeotes, » TOiit égales à zéro.

Eu considérant les deux points M et H', <hi atm

où l'on prendra les signes supérieurs ou ÏDférieon, selon que la valeur de A sera positive ou négatire. On conclut de là et des équations précédentes, que les points M et M' seront sollicités par des forces égales d contraires, dirigées suivant la droite MAI' oa snivïot ses prolongcmens, et dont la quantité A, abslraclion faite du signe, sera la grandeur commune. 11 en sera de même à l'égard des points M' et M", M" et M'", elc; en sorte que dans l'état d'équilibre, les quantités A, A', a", etc., exprimeront les contractions ou les teo* fiions des côtés successifs MM', M'M", M"M*, etc. Commeon aura, d'après les équations (ij,

cosa=±^", cos6=±''X-, ccy&c^=h~-,

et qu'on devra prendre les signes supérieurs ou inférieurs, selon que la valeur de A sera positive ou négative, on en conclut, par exemple, que I.i force ap-

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 68g

pliquée au point M sera dirigée de M vers M'^ et ex« primera une contraction du côté MM', quand cette valeur sera négative , et que cette force agira dans le sens opposé et exprimera une tension , lorsque la valeur de A sera positive. L'un ou l'autre de ces deux cas sera possible , si les côtés du polygone sont des verges inflexibles , jointes par des charnières; et le second cas pourra seul avoir lieu, si les côtés sont des fils flexibles.

Les équations (h), (K)^ {h"), etc., pourront s'écrire

ainsi

etc.

Les trois premières montrent que la tension A sera la résnltante des forces X, Y, Z. En les ajoutant aux

tyo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

trois suîvai^tcs , on aura

ce qui fait voir que la tensioD A' sera la résutlaatc de X', Y', Z', eî des Torces X, Y, Z, transportées au poiut M', parallèlement à elles- mêmes. En conlinuaut de même, on aura pour la tensioa d'un côte quelconque la même valeur que dans Ie'n° 287.

Le nombre des sommets M, M', M", etc., étant désigne par «, celui des équations précédentes sera 3«, et celui des tensions A, y, A", etc., égal à n — I. En éliminant ces quantités, on aura donc un-f- I équations d'équilibre, lesquelles, jointes aux n— I longueurs données /, l', I", etc., des côtés du polygone, suffiront pour déterminer les Sncoordoanées de ses sommets, et, par conséquent, sa figure d'équilibre. Mais ce calcul n'aurait aucune utilité; et il vaut mieux, comme uous l'aTOOS fait dans le n° 386, tracer successivement les c6tés du polygone funiculaire , d'après les grandeurs et les directions données qui agissent à ses dïfie'rens sommets.

546. Dans le cas d'un système qudconque de points matériels M, M', M", etc., si les forces données, qui sont appliquées à ces points, proviennent de leurs attractions ou répulsions mutuelles, et de forces semblables qui émaneut d'un ou plusieurs centres..

on aura

^(S.da:+Ydj+Zdz)=rd(p(a:,jr, z, x',^', z', etc.);

(P désignant une fonction donnée des coordonnées de M , M', M", etc. I dépendante de la loi de ces forces par rapport aux distances.

En effet, a l'égard des forces provenant dos centres fixes, cela résulte de ce qu'on a vudans le n*" i58. Supposons 9 en outre, que U exprime l'action mu-tuelle de M et M', qui sera attractive , pour .fixer les idées. Soit aussi u leur distance mutuelle, de sorte que U soit une fonction donnée de 1^, et qu'on ait

u- = c^'— jcY + (y—rY + (z'~ zy.

Les cosinus des angles que fait la droite MM' avec des droites menées par le point M, suivant les directions des x,jr, z, positives, seront

en les multipliant par U, on aura les composantes de cette force appliquée au point M et dirigée suivant MM\ Celles de la même force U , appliquée au point M' suivant la direction M'M, seront égales et contraires; et de là on conclut

?[(y-x) (^-dlr') + {j'—j) (dr—dy) + {z'—z) (^«— rf/)].

pour la partie de la somme 2 qui provient de l'action et de la réaction de M et M'. Or, en différentiant la valeur de u*, on a

éga TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

ui}u=ix'-x)(dx'~dx)+{y—jr]{dy~dj)+(l^sKds'~Jz);

ce qui réduit la quanlité précédente à — Urfa, c'eslà-dire, à la différentielle d'une fonction de«. Il en sera de même pour les parties de la somme 2 provenant des actions mutuelles des autres points du système; par conséquent, sa valeur entière se composera de termes qui seront tous des dillérentielles exactes, et cette valeur sera aussi la différentielle d'une fonction donnée des coordonuées de tous ces points.

En vertu de l'équation (e), cette fonction, que nous représentons par ^, sera un majcinuim ou un minimum, relativement aux valeurs des coordonnées qui répondent à une position d'équilibre du système; et, réciproquement, si l'on détermine le maarimuni ou le minimum de la fonction ip, en ayant égard aux équations (^f) qui peuvent être données entre les coordonnées, les valeurs qu'on obtiendra pour ces variables répondront à des positions d'équilibre.

On conclut de là que quand le système des points M, M',M", etc., est en mouvement, de sorte que lears coor^ données, et, par suite, la quantité 7> soient des fonctions du temps , cette fonction ^ atteindra son maximum ou son minimum, toutes les foi^ que le système passera dans une position où il resterait en équilibre, si les points qui le composent n'avaient pas de vitesses acquises.

347- Il y 3ui^ entre le maximum et le minimum de la quantité ^ une différence esseatidle,'à laquelle U importe d'avoir égard , et que nous alltMS expliquer..

On dit que l'état d'équilibre d'un corps ou d'un sys-

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 693

teme de corps est stable, lorsqu'en écartant un tant soit peu ces mobiles de leurs positions, ils tendent à y revenir, en faisant de petites oscillations que les frottemens et les résistances des milieux finissent toujours par éteindre ou rendre insensibles. L'équilibre est non stable ou instantané, lorsque le corps ou le système de corps qui est dans cet état, tend de plus en plus k s'en éloigner , et finit par chavirer, dès qu^on l'en a un peu écarté. En ne supposant aucun frottement qui puisse y jusqu'il un certain point, retenir les corps dans leurs positions, ce second état d'équilibre est un cas purement mathématique, qu'on ne saurait jamais observer, puisque la moindre force perturbatrice suffirait pour le détruire.

Cela posé, les équations fournies par le principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la même chose, par la condition du maximum ou du minimum de la fonction ^ , sont communes à ces deux états ; mais le maximum convient à la stabilité, et le minimum à l'équilibre instantané; et c'est, en effet, ce que nous ferons voir dans un autre chapitre , où nous considérerons la nature du mouvement qui a lieu lorsqu'un système de points matériels a été très peu écarté d'un état d'équilibre quelconque. En attendant, nous all6ns donner des exemples de ces deux états d'équilibre dans le cas d un système de corps pesans, et faire ODnnaltre d'abord une propriété de son centre de gravité.

348. Supposons donc que la pesanteur soit la seule force apjdîquée aux points M , M', M'', etc. , lesquels seront les centres de gravité de corps dont nous

représenterons les poids par 'js-, 'sr , ts", etc. En prenant la pesanteur verticale et dirigée dans le sens de cette force, nous aurons

Z = ijîr , Z' =: le-', Z" ^ ta-", etc. ;

les autres composantes seront toutes nulles , et U eu résultera J

df = 'O-dz + for'dz' + 'a''dz' + etc. m

Mais en appelant n la somme des poids 'S', -v', <sr*, etc., et z, l'ordonnée de leur centre de gravité, verlîcale et dirigée dans le sens de la pesanteur, on a aussi (n" ii/f)

riz, ^= mrz -{• isr'z' + 1B-V + etc.;

on aura donc

rfip := nrfz, , p = c 4- nz. ;

c étant une constante arbitraire.

Or, on conclut de Xo., i'. gue l'oi-donnée s, est ia quantité qui devra être nn maximum ou un minimum, lorsque le système sera en équilibre , et réinproqucment; a', que le maximum de je, répondra an cas de l'équilibre stable, et son minimum au cas de l'équilibre instantané.

Ainsi, la condition d'équilibre d'un système qtwlconqne de corps pesans> consiste en ce que le centre de gravité du système entier soit le pins bas ou le fdm bant possible ; le plus bas quand l'équilibre est staUe, et le'plus haut quand il n'est qu'instantané.

549. D'après ce théorème « si ane cbatne pesante , attachée par ses deux bouts à des points fixes , est en

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6qS

équilibre, son centre de gravité sera le plus bas possible; ce qui s'accorde avec le résultat du n"* 296.

Si un point matériel pesant est pose sur une courbe, et qu'en plusieurs points la tangente soit horizontale, l'ordonnée verticale du mobile , comptée dans le sens de la pesanteur, sera un maximum dans ceux de ces points oii la courbe est concave par en haut, et un minwtum dans ceux où elle tourne sa concavité par en bas; par conséquent, les premiers seront des positions d'équilibre stable, et les derniers des positions d'équilibre instantané.

Si l'on pose un ellipsoïde homogène et pesant, sur un plan fixe horizontal , son centre de gravité, ou de figure, sera le plus bas possible lorsque l'ellipsoïde touchera le plan fixe par lune des deux extrémités du plus petit de ses trois axes ; et alors l'équilibre sera stable. Quand il le touchera par l'une des extrémité du plus grand de ses trois axes, son centre de gravité sera le plus haut possible ; et l'équilibre ne sera qu'instantané. Enfin , si le point de contact est une extrémité de l'axe moyen , l'élévation du centre de gravité sera un minimum pour une partie des sections du corps, et un moûcimum pour les autres sections; par conséquent, l'équilibre sera stable ou non stable, se^ Ion que les déplacemens auront lieu dans le sens des premières sections ou dans le sens des dernières. Tout cela étant évident, à priori, peut servir de vérification au théorème du numéro précédent.

Supposons encore qu^on ait versé dans un vase deux liquides homogènes et pesans. Si la surface de séparation et celle qui termine le liquide supé-

t toutes deux horizontales, et que ce lî- , it celui qui a la moindre densité', le centre

é de ces deux liquides sera le plus bas pos- ■ il est aisé de voir qu'en ioclinant ou coure ou l'autre des deux surfaces, on élèvera le centre de gravité du sjslème. Ces deux étant toujours borizontales, si le liquide le moi ( nse est au-dessous de l'auti-e , ou verra de

même que le centre ''" Mté du système sera le

plus haut possible, l -quent, pour l'équilibre

de deux liquides supe , il est nécessaire et il

sufTit que chacun d'ei t terminé par un plan

horizontal; mais, pour bilité, il faut, de pins,

que ce soit le liquide le pms dense qui occupe la partie inférieure du vase. Quand la différence des deux densités est peu considérable, il est possible, avec beaucoup de précaution, de faire surnager le liquide le plus dense; maïs cet équilibre non stable ne peut se maintenir assez de temps , pour être observé , qu'à raison du frottement des deux liquides contre les parois du vase.

FIN DU PREMIEB TOLDIfE.

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