BC = A, CD = A

celle de J • réfmi- ]

la composante de R suivant C\ sera R-, et celle c

P suivant CD aura Pr pour valeur. Poar l'éfiiii-

libre, il faudra que ces deux composantes soient égales; en sorte que l'on aura

Pa = Rh.

Si l'équilibre se rompt, et que le poids H glisse d'une quantité y sur le plan CB, le poids P glissera de li même quantité , mais en sens contraire , sur )e plan AC; et en appelant a, la hauteur verticale dont le poids R se sera élevé ou abaissé » et C celle dont le poids Fse sera abaissé on élevé, il est aisé de voir que Ton aura

d'où il résulte

PC = Ra ,

comme dans les exemples précéAis : mais ici a et C sont les projections verticales des espaces^ décrits simultanément par les poids R et F» tandis que y dam le cas précédent , a et € étaient ces espaces i

STATIQUE, SECONDE PARTIE. GSy

53o. D après ce qu'on a vu dans le n^ 49 f <lcux forces qui se font équilibre par riutermëdiaire d'un levier quelconque, sont en raison inverse des espaces infiniment petits, projetés sur leurs directions respectives, et que peuvent décrire en même temps leurs points d'application. Cet énoncé est celui qui convient à tous les cas. Ainsi , en appelant P et R la puissance et la résistance en équilibre par l'intermédiaire d'une machine quelconque, supposant qu'eu imprime un mouvement infiniment petit à cette machine , et désignant par ^ et a les projections sur les directions de ces forces, des espaces qui seront décrits en même temps par leurs points d'application , où aura toujours

PS = Qa ;

à quoi il faut d'ailleurs ajouter que l'une des projections devra tomber sur la direction même de la force correspondante, et l'autre sur son prolongement, ainsi que cela a lieu dans le levier.

Dans la pratique, il suffira que le mouvement imprimé à la machine soit seulement très petit. En mesurant les longueurs des projections C et et, on en condura immédiatement le rapport de la puissance à la résistance, sans rien connaître de la composition particulière de la machine.

33 1. Non seulement cet énoncé convient à une macliiue quelconque, mais il s'étend aussi à un nombre quelconque de forces en équilibre. Soient donc, en général, M, M', M", etc. (fig. 8^), un système de points matériels liés entre eux de telle manièixî qu'on

r TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

^ ; supposons que des forces P, P', P", etc.,

agissent sur ces points, suivant les directions MA, M'A', M" A", etc.; faisons subir à ces points des déplacemens innniment petits et compatibles avec les condilioDS du système, de sorle qu'ils soient transportés en N, N', N", etc.; projetonsN, N', >'', etc., sur les droites MA, M'A', M"A'', etc,ena, a^^ a*, etc., et posons

Ma = p. M'a' M"a" =: jf', etc.

En considérant ces prc sp, p', f^, etc., comme

des quantités positiv égatives, selon qu'elles

tombent sur les directions des forces correspondantes, ou sur leurs proloDgerai ;, lous aurons

tp + Py + , + elc. = o, ■

lorsque l'équilibre aura lieu; et réciproquement ÎIt aura équilibre , quand cette équation subsistera pour tous les déplacemcns compatibles avec les conditioEis du système.

Les droites infiniment petîtesMN, MTÎ', M"N", etc., sont ce qu'on appelle les vitesses virtuelles des points M, M', M"> etc.; dénomination qui provient de ce qu'elles sont considérées comme les espaces qui seraient parcourus simultanément par les points du système , dans le premier instant où l'ëquilibre vieD- 1 draît à se rompre.

On doit observer que le principe des vitesses virtuelles , contenu dans la formule qn'oD Tient d'écrire, donne seulement les conditions d'équilibre qui peuvent être exprimées par des équations.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 66i

mais non pas celles qui sont relatives à la direction de certaines forces, et à l'étendue dans laquelle elles doivent rencontrer un plan fixe (n* 366). Les mouvemens compatibles avec les conditions du système , qui donnent lieu à des équations d'équilibré , sont ceux dont les mouvemens directement contraires sont également possibles. Mais, par exemple , si un point matériel esl posé sur un plan fixe , le mouvement sera possible dans ce plan , suivant chaque direction et suivant la direction contraire ; et perpendi* cnlairement a ce plan, il ne pourra avoir lieu que dans une seule direction. Or, la considération des mouvemens dans le plan, donnera lieu aux conditions d'équilibre qui s'expriment par des équations, et la considération du mouvement perpendiculaire déterminera seulement la direction de la force normale , qui doit être contraire à celle du mouvement possible. Dans l'énoncé du principe des vitesses virtuelles, on suppose implicitement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du système , et le mouvement directement contraire , sont également possibles; en appliquant successivement l'équation précédente à ces deux mouvemens, les quantités p, p'f P*\ 6^c. , changeront toutes de signe , et il n'en résultera qu'une seule équation d'équilibre.

Si la force P, est la résultante de plusieurs forces données Q, Q', Q", etc. , et qu'on représente par q, q^y q'', etc. , les projections de MN sur leurs directions; on aura (n® 54)

Pp = Qî 4. QY + W-t-etc. ;

662 thaitiï df. mëcanique.

en sorte qn'on pourra remplacer dans Tëqualion précédente, le ferme Vp relatif à la force P, par celle somme de termes de la même nature, qui répondent à SCS composantes; et de même, par rapport aux forces P, P', P*, etc. , si elles sont aussi les résultante de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesses virtuelles , dans le cas d'un point isole en équilibre, est, comme on l'a vu dans le n" 5g, une conséquence de celle deroière équation, soit qu'il s'agisse d'un point entièrement libre, ou qu'il soit assujetti à demeurer sur une sorface ou sur une courbe donnée, il s'agît actuellement de démontrer ce principe général, dans le cm d'un système quelconque de points matériels M, M', M'', etc.

332. Supposons ces points liés entre eux par des vcrgfs inflexibles ou par des lils flexibles, dont les uns soient fixement attachés à ces points, tandis que d'autres les traversent comme des anneaux mobiles. Dans ce dernier cas, ces points ou auoeaux oa( la liberté de glisser le long des fils qui les traversent, et que l'on suppose, pour cela , parfaitement flexibles.

Après qu'on a appliqué les forces données P, Vf P', etc., aux points M, M', M", etc., et que Téquilibre s'est établi, il est clair que les fils qui joigoeot ces points deux à deux , éprouveront chacun une tension particulière, c'est-à-dire, que chacun de fxs lils sera tiré à ses deux extrémilés par des forces égales et contraires, dirigées suivant ses prolongemens , ainsi qu'on l'a déjà dit dans le cas du polygone funiculaire (u" 285). L'intensité de cette force sera la me-

STATIQUE , SEœNDE PAKTIE. 663

sure de la tensioa inCoanne que ce fil éprouve. Un (Il qui ne serait pas tendu, ne contribuerait pas k l'équilibre, et Ton pourrait en faire abstraction.

La tension peut varier d'un fil à un autre ; mais s'il « s'agit de deux fils qui sont le prolongement l'an de l'autre à travers un anneau, la tension est la même dans ces deux parties d'un même fil qui doit nécessairement éprouver une égale tension dans toute sa longueur (289). Ainsi, par exemple, si M est un anneau traversé par le fil M'MM'', la tension de MM' sera égale à celle de MM'.

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un même anneau , la tension est la même dans les deux parties de chaque fil , et peut varier d'un fil à l'autre. Si donc, outre le fil M'MM'^, il passe encore un fil M'^'MM'^ dans l'anneau M, la tension sera la même dans les deux parties MM'^' et MM'^ de ce dernier fil^ et, en général, elle sera difiërentede celle des deux parties MM' etMM'', du premier fil. Et si un autre fil^ tel que MM^, vient aboutir au même anneau M auquel il soit fixement attaché , ce fil aura sa tension particulière, généralement difiërentede toutes celles des autres fils qui aboutissent au même point M.

Observons encore que si M' est un anneau ainsi que M, et que le fil M'^MM', après avoir traversé l'anneau M, passe encore par l'anneau M' pour aller aboutir au point M^'', la tension sera la même dans ' les trois filsM'TVI, MM', M'M'"; car alors ces trois (ils n'en font qu'un seul M'^MM'M'". En général , lorsqu'un fil est pai'tagé en plusieurs parties , par des an-

Ea considéraut les autres points M', M", M'", etc. , I 4u système, od aura pour chacun d'eux une equa- I Uon par itle à celle-ci ; ces équations serout

P'/jM «', m]. J/(m', ra)4-[m', m"]. //(m', m*^

+ [m', /n'"] .cT/ (m', m'") -f- etc. =o, P^/j"-|-[m", m\,S'l'(m", m)H-[m", m'] . <r,"(m", m')

+ [m", m"^.^"(ni", m"')-\- etc. ==o,

p', p", p"'y etc., étant l( M"',elc., projetées suri P', P", P'", etc., qui agi:

Ajoutons toutes ces [m, /»*] et {m, m') soni.