Inversion des échelles. — Reprenant l'équation

(*) Annales hydrographiques ; 1894.

upposons qu'on la résolve par rapport à a,. Elle devient alors

Les fonctions/, et/2 sont dites inverses l'une de l'autre.

Fig. io.

itOO

On pourrai l construire l'abaque de l'équation mise sous cette

nouvelle forme ainsi qu'on l'a fait précédemment, mais si le premier abaque a déjà été construit, l'établissement du second est immédiat. Il suffît, en effet, après avoir disposé le long d'un axe une échelle régulière pour a,, d'inscrire de l'autre côté de l'axe les valeurs correspondantes dea2, relevées sur le premier abaque.

Les échelles qui accompagnent l'échelle régulière sur l'un et sur l'autre abaque sont dites, comme les fonctions correspondantes, inverses l'une de l'autre.

Par exemple, si l'on opère l'inversion de l'échelle de l'abaque de la fig. 8 on obtient l'abaque de \&fig. 10, qui se rencontre dans le Cours cV Artillerie du commandant Jouffret (1 ).

11. Abaques à deux échelles irrégulières. Echelles logarithmiques. — L'équation entre a, et ou peut encore être mise sous la forme

/i(ai) =/2(a2),

soit qu'on ne puisse, par les procédés de l'Algèbre élémentaire, dégager du signe fonctionnel ni a, ni a2, soit qu'on ait intérêt à adopter pour l'une des variables une échelle spéciale. Il arrivera notamment que, en vue d'avoir pour l'une des variables une approximation relative constante, on la représentera par une échelle logarithmique.

La construction de l'abaque dans cette hypothèse est tout aussi simple. Il suffît de placer, de part et d'autre d'un même axe, les échelles définies par

#=Vi(ai) et ^ = </2(as)- Voici, à titre d'exemple, l'abaque de l'équation

tang o^ = sina2,

dressé par M. Lallemand avec 1= om, i {fig- 1 1).

(') Cours d'Artillerie : Les Projectiles, p. 118. (Fontainebleau, 1881.) Le commandant Jouffret considérant non pas la valeur absolue des écarts, mais ces écarts eux-mêmes pris avec leur signe, l'échelle se reproduit symétriquement de part et d'autre du zéro, les cotes de l'échelle du nombre probable des coups étant diminuées de moitié.

Si. l'équation étant mise sous la forme (i) ai=/2(a2),

on adopte pour la variable a, l'échelle (•2) ^ = ?i(ai),

l'échelle de la variable a2 s'obtiendra par l'élimination de a, entre

Fig. it.

équations (1) et (2), ce qui donnera

x == cp2(a2).

Si l'élimination peut se faire sous cette forme explicite, on est ramené au cas précédent. Sinon, après avoir construit l'échelle (a,), on calcule les valeurs de a, qui, en vertu de l'équation (1),

correspondent à un certain nombre de valeurs de a2 et, en face des points ainsi obtenus sur l'échelle (a,), on inscrit ces valeurs de a2. On obtient de cette façon l'échelle (a2) sans avoir eu à effectuer l'élimination algébrique destinée à faire connaître l'équation (3).

Exemple : Abaque auxiliaire pour le calcul de V erreur probable d'une nivelée. — Dans la détermination de l'erreur accidentelle probable d'une nivelée par diagrammes anamorphoses, l'abscisse X et l'ordonnée Y, à l'origine, de la droite de répartition sont données, en décimillimètres, par les formules

en fonction de l'erreur probable 7), qui est représentée par une échelle logarithmique.

L'abaque de l'équation (2) se construit immédiatement, / étant le module, au moyen des formules

x — Zlogï], x — Z(log665 — logY).

En prenant l = iicm,on obtient ainsi l'échelle de gauche de la fig. 12 (1). Pour construire directement l'échelle (X) de l'équation (1), il faudrait, après avoir éliminé r{ entre cette équation et l'équation

X= /logT),

ce qui donne

X = 6,44 X IOTt / 2,823 — -y,

tirer de là x sous forme explicite, ce qui ne se peut pas. On est donc obligé de procéder comme il vient d'être dit, c'est-à-dire de calculer les valeurs de X pour un certain nombre de valeurs de r{ et de marquer les points correspondants en se servant de l'échelle de rr On obtient ainsi l'échelle de droite de la fig. 12.

Remarque . — Nous avons supposé jusqu'ici que les échelles étaient toujours construites sur des droites. C'est en effet ce qu'il y a de plus simple; mais rien, le cas échéant, ne s'opposerait à

(') Cette figure reproduit Va fig. 77 du Traité de nivellement de haute précision de M. Lallemand.

ce qu'elles fussent disposées le long d'une courbe, si, par exemple, les valeurs de l'une des variables provenaient d'un premier abaque où cette variable serait nécessairement représentée par des points cotés distribués sur une certaine courbe.

12. Abaques cartésiens à deux variables. — ■ On peut affecter à chacune des deux variables une échelle régulière en établissant le lien entre points correspondants par l'intermédiaire d'une courbe.

Imaginons que l'on porte sur deux axes rectangulaires Ox et Oy

les échelles

x — ^a, et y = /2a2?

et que, par les points de division marqués sur chacun de ces axes, on leur élève des perpendiculaires.

Si les valeurs a, et a2 satisfont ensemble à l'équation

les perpendiculaires élevées aux axes correspondants par les points cotés a, et eu se coupent en un certain point. Les points répondant ainsi aux divers couples de valeurs a, et a2 satisfaisant à

l'équation (i) sont distribués sur une certaine courbe C qui, rapportée aux axes Ox et Oy, a pour équation

Les divers points de la courbe C, déterminés individuellement, sont facilement marqués sur le plan grâce au quadrillage ci-dessus défini, et l'on voit que la courbe G obtenue en joignant tous ces points suffît à constituer un abaque de l'équation (i). Un tel abaque dérivant de l'emploi des coordonnées cartésiennes sera dit cartésien.

Fig. i3.

ifiAD

QAA

ifW

oUU-

7f»rt

/ Uu

fiftn.

OUU

<(\fi

WU

Iftfï

<JUU

Oflft

zuu

ion

Si l'on se donne l'une des variables, a< par exemple, il suffît de prendre le point où la courbe G est rencontrée par la perpendiculaire à Ox passant par le point de cet axe coté a, et de lire la cote a2 du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur Oy.

Il ne sera d'ailleurs pas nécessaire de tracer ces perpendiculaires. Si, par hasard, elles coïncident avec deux des droites du quadrillage, cela va de soi. S'il n'en est pas ainsi, on peut, par la pensée, les intercaler entre celles-ci, effectuant de la sorte sur le quadrillage une interpolation à vue, analogue à celle dont nous avons déjà parlé (n° 4) à propos des simples échelles.

hajig. i3 donne un abaque de ce genre pour l'équation

N =iooo0(p)

déjà envisagée au n° 9, construit avec les modules lK — icmpour 0.r, U ±= ocm, 004 pour Oy.

Remarque. — Si la variable a, a pour limites les valeurs a , et 6M il n'y a lieu de tracer la courbe G qu'entre les perpendiculaires r Ox correspondant aux points x = l\ aK et x — lK b\ . Les perpendiculaires abaissées sur Oy des extrémités de cet arc de courbe déterminent les limites correspondantes a2 et b2 de la variable a2.

13. Emploi d' un transparent. — ~ Pour éviter à la fois le tracé d'un système de droites parallèles et la nécessité d'effectuer, le cas échéant, une interpolation à vue entre ces droites, il est tout naturel d'avoir recours à une droite tracée sur un transparent mobile mais convenablement orienté, qu'on fera glisser sur l'abaque.

Selon le cas, on se servira de cet artifice pour l'un des deux ou pour les deux systèmes de droites parallèles constituant le quadrillage défini au numéro précédent.

Dans les deux cas, le transparent portera deux axes rectangulaires qui seront dits ses index. Si l'on fait glisser l'un d'eux le long de l'axe Ox de l'abaque, les diverses positions de l'autre suppléeront aux perpendiculaires à cet axe non tracées. On en trouvera un exemple plus loin (n°23; 3°).

Si, en maintenant ses index respectivement parallèles aux axes de l'abaque, on déplace le transparent de façon que son centre (point de rencontre des index) reste sur la courbe G de l'abaque, on voit que, pour chacune de ses positions, les cotes des points où les index couperont les échelles des axes fourniront un système de valeurs correspondantes.

Pour maintenir l'orientation du transparent, on peut tracer sur l'abaque une série de parallèles à la direction de l'un des axes, laissant entre elles des intervalles égaux assez petits, 5mm par exemple. L'index du transparent parallèle à l'axe considéré tombera entre deux de ces parallèles, et l'on sait que l'œil apprécie très exactement le parallélisme de deux droites peu écartées l'une de l'autre.

ÎOOO

On peut aussi constituer le transparent au moyen d'une matière rigide et mince (verre, corne, celluloïd, etc.) ayant deux bords rigoureusement parallèles aux deux index. Dans ce cas, après avoir mis l'index I2 en coïncidence avec Ox, de façon que le centre du transparent se trouve au point coté a,, on applique une règle contre le bord du transparent parallèle à ït et l'on fait glisser ce transparent le long de cette règle jusqu'à ce que son centre soit venu sur la courbe G. L'index I2 rencontre alors l'axe Oy en un point dont la cote fait connaître a2.

La Jig. i4 reproduit l'abaque précédent, modifié comme il vient d'être dit. La position du transparent, correspondant à l'exemple numérique o = i , 3, N = 620, est indiquée en pointillé.

14. Emploi d'une échelle mobile. — Supposons que, dans le mouvement qui vient d'être décrit, le transparent entraîne l'axe Ox. On voit alors que l'on devra l'arrêter dans une position telle que le point de l'axe Ox coté a4 se trouve sur la courbe C. Gela suggère l'idée de cette autre disposition de l'abaque :

On ne laisse subsister sur le tableau que l'axe Ojr, avec sa graduation, et la courbe C, et on le complète par un transparent portant deux axes, l'un O'y' , non gradué, destiné à diriger les mouvements du transparent en glissant le long de Ojk, l'autre, O'x', perpendiculaire au premier, portant la graduation (a,) précédemment marquée sur Ox.

Fig. i5.

Hx'

Le mode d'emploi de l'abaque est alors le suivant :

On fait glisser le transparent en maintenant O'y' en coin-

cidence avec Oy jusqu'à ce que le point a, de l'axe O'x' se

Fis. 16.

trouve sur la courbe C. La cote du point de Oy avec lequel

coïncide Of est alors égale à a2.

Fig. 17.