I. — Abaques cartésiens. Anamorphose

16. Abaques cartésiens à trois variables. — Soit à construire un diagramme coté pour J'équation

(i) F(ai,a2, a3)= o.

L'idée qui se présente tout d'abord à l'esprit est celle-ci : donnons à l'une des variables, de préférence à celle qui sera le plus généralement calculée en fonction des deux autres ('), a3, par exemple, une valeur déterminée. Nous aurons alors une équation entre les deux variables a, et a2 que nous pourrons représenter, ainsi que cela a été indiqué au n° 12, au moyen d'une courbe tracée sur le quadrillage défini par les équations

Ol) X = l^CCi,

/( et l2 étant des modules choisis en vue de la meilleure disposition.

L'équation de cette courbe sera

(') Bien qu'un abaque à trois variables permette, en général, indifféremment le calcul d'une des variables en fonction des deux autres, il convient, principalement pour la limitation du diagramme, de distinguer celles que l'on a le plus babituellement à considérer comme indépendantes. Dans la pratique ce choix n'est pas douteux, attendu que, dans la plupart des formules représentées, c'est toujours la même variable qui est prise pour inconnue.

Cette courbe le long de laquelle l'élément a;{ conserve une même valeur a été dite par Lalanne une courbe d 'égal élément, puis par l'auteur allemand Vogler une courbe isoplètJie (t'aoç, égal; TEAyjÔcç, quantité). Ce dernier terme a été depuis lors adopté par Lalanne. Nous dirons tout simplement une courbe cotée.

Construisons de même les courbes répondant aune série de valeurs de a3, croissant par échelons réguliers, en ayant soin ^inscrire à côté de chacune d'elles la valeur de a3 correspondante .

Remarquons d'ailleurs qu'il suffira de tracer la portion de chaque courbe comprise à l'intérieur du rectangle formé par les perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points correspondant aux valeurs limites aK et bK de a,, a2 et b2 de a2, qui sont des données de la question, puisque nous avons supposé que a< et ou étaient les variables indépendantes.

Nous obtenons donc, à l'intérieur d'un rectangle quadrillé (fig- 19), un système de courbes cotées qui nous fournit la re-

fa3)|

présentation demandée dans les limites admises pour les variables indépendantes. Ce rectangle quadrillé figurant une sorte de damier (en grec, a8a;), on a donné à ce genre de diagrammes le nom iïabaques qui, par voie d'extension, a fini par désigner toute espèce de diagramme coté.

Faisant une fois pour toutes la convention de désigner par les termes d' horizontale et de verticale les parallèles respectives à Ox et à Oy, nous pourrons énoncer le mode d'emploi d'un tel M. d'O. 3

abaque, en vue d'obtenir la valeur de a3 lorsqu'on s'est donné a, et a2, de la manière suivante : lire la cote a3 de la courbe passant par le point de rencontre de la verticale cotée a4 et de V horizontale cotée a2.

Par exemple, sur la fig. 19, pour a, = 2, ou = 5, on a a3 == 4.

Il va sans dire que cette lecture suppose, le cas échéant, le secours d'une interpolation à vue. Par exemple, sur la fig. içj, pour a{ = 4, 5, a2 = 2 , 5, on lirait a3 = 3,5.

Nous avons admis que l'équation considérée servait de préférence à calculer a3 en fonction de a, et a2, mais on voit immédiatement que l'abaque permet tout aussi bien d'obtenir a, ou a2 lorsque l'autre de ces deux variables est donnée ainsi que a3.

Par exemple, a2 et a3 étant données, on aura a, en Usant la cote de la verticale passant par le point de rencontre de V horizontale cotée a2 et de la courbe cotée a3.

Les abaques ainsi constitués, dérivant directement de l'application des coordonnées cartésiennes, sont dits abaques cartésiens. Terquem a remarqué qu'ils peuvent être considérés comme fournissant la représentation par courbes de niveau de la surface définie par l'équation (1) où a,, a2 et a3 sont prises pour des coordonnées cartésiennes de l'espace.

Remarque . — Les courbes (a3) ont une enveloppe dont l'équation s'obtient, comme on sait, en éliminant a3 entre l'équation (a3) et sa dérivée par rapport à a3

da3 \lï l, )

Mais le tracé de cette enveloppe ne sera généralement d'aucune utilité. Elle peut d'ailleurs être complètement extérieure à la partie utile de l'abaque, limitée à l'aire d'un rectangle, ainsi qu'on vient de le voir.

17. Rattachement aux abaques à échelles accolées. — A simple titre de curiosité, nous ferons remarquer que le principe de la représentation des équations à trois variables, obtenu ci-dessus par la voie la plus naturelle, peut également se dégager du mode de représentation des équations à deux variables, exposé au n° 9, lorsqu'on tient compte de la remarque qui termine ce numéro.

Donnant à o^ dans l'équation (i) du numéro précédent une valeur particulière aj, nous avons à représenter une équation entre les deux variables a2 et a3

Pour cela, portons respectivement, sur l'axe Oy et sur la parallèle à cet axe dont l'abscisse est

les graduations (a2) et (a3) définies par (3 y — /2 a2

et

cette dernière équation étant celle qu'on obtient en explicitant par rapport ky l'équation

Lorsque nous donnerons à a\ d'autres valeurs, la graduation de Oy ne variera pas et nous aurons de nouvelles graduations sur d'autres verticales, en vertu des équations (2) et (4).

Nous pourrons joindre par une courbe tous les points qui, sur ces verticales, correspondent à une môme valeur de a3, valeur qui servira de cote à cette courbe.

L'équation d'une telle courbe s'obtient par l'élimination de a^ entre (2) et (4) ou, ce qui revient au même, entre (2) et (4')- Elle est donc

On voit qu'on retrouve bien ainsi les courbes précédentes.

18. Emploi d'un transparent ou d'une échelle mobile. — On pourra ici encore recourir à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été décrit au n° 13.

Le mode d'emploi de l'abaque sera alors le suivant {fi g. 20):

Le transparent étant orienté, faire passer ses index I( et I2 respectivement par les points cotés a, et a2 sur Ox et Oy ; la cote de la courbe sur laquelle se trouve alors le centre du transparent fait connaître a,}.

Par exemple, sur la fig. 20, pour a{ = 10, a2 = 8, on a a3 = 5, On pourra aussi, comme cela a été indiqué au n° 14, rendre mo-

Fig. 20.

bile l'un des axes Ox ou Oy, le second par exemple. Dans ce cas, le mode d'emploi devient le suivant {fig. 21):

Fig. 21.

ir-

On amène l'origine O' de l'axe mobile O' y' au point a, de l'axe Ox. Le point a2 de V axe Q'y1 tombe alors sur une courbe dont la cote fait connaître a3.

Sur la fig. 21 , pour a, =10, a2 = 4? on a a3 = 3.

19. Exemples. — Les exemples d'application de cette méthode sont extrêmement nombreux. Ils comprennent notamment tous les tableaux graphiques construits depuis les premiers essais de Pouchet jusqu'aux travaux de Lalanne, dont quelques-uns ont été cités dans l'Introduction.

Nous signalerons simplement ici le tableau de multiplication de Pouchet, parce que c'est le premier en date de tous les abaques connus.

Premier type d'abaque de multiplication. — La multiplication se traduit par l'équation

ai*2— cc-i = o.

Si, pour la représenter, nous portons sur les axes Ox et Oy les graduations

;r = 5mma1 et y — 5mma2,

nous obtenons pour les courbes cotées (oc3) les hyperboles équilatères

xy — 25 a3 = o.

C'est ainsi qu'a été obtenue la fig. 22, qui ne doit être considérée que

Fie. 22.

■io

/o e'o 3o 4.0 5o 60 70 80 ffo

{00 So

comme un schéma de l'abaque de Pouchet, construit avec une bien p)v grande précision.

Il est essentiel de remarquer que la méthode s'applique sans nulle difficulté lorsque les trois variables sont liées par une loi qui n'est connue qu'empiriquement. En elTet, à chaque couple de valeurs de deux des variables at et a2, prises comme indépendantes, correspond le sommet du quadrillage situé au croisement de la verticale (at) et de l'horizontale (a2). Supposons que nous inscrivions en ce point la valeur correspondante de a3. Nous n'aurons plus ensuite qu'à joindre, par une ligne continue, tous les points répondant à une même valeur de a3 pour avoir la courbe cotée (a3), de même qu'en unissant sur un plan topographique les points de même cote par un trait continu on obtient ses courbes de niveau.

Les applications de celte méthode sont très fréquentes. On trouvera quelques détails, à ce sujet, dans le Calcul graphique de Favaro (traduction Terrier, p. i54 et suiv.) et dans l'important Ouvrage que M. Marey a consacré à la Méthode graphique dans les Sciences expérimentales (Ire Partie, Ghap. Y).

20. Superposition des graduations. — Supposons qu'une équation entre les trois variables a1} a2, a3 soit telle que, si l'on a

F(ot1, a2, a3)= o,

on ait aussi, quelle que soit la solution (aj, a2, a3),

f\i fi et fz étant des fonctions connues.

Dans ces conditions, l'abaque, construit entre certaines limites, permettra de résoudre encore l'équation proposée pour des valeurs prises en dehors de ces limites.

Supposons, en effet, que l'abaque ait été construit avec les limites ai et b\ pour a1} a2 et b% pour a2, a3 et b3 pour a3. A côté de chaque valeur de a1} a2 et a3 comprise entre ces limites, nous pourrons inscrire respectivement la valeur dey^at), dey2(a2) et de f3(as), en doublant ainsi chacune des lignes de graduation. Dès lors, si nous prenons pour o^ et a2 des valeurs respectivement comprises entre fi(al) etfl(bi), et entre /2(a2) ety2(^2), nous voyons que l'abaque nous fournira la valeur correspondante de a3, à la condition que nous fassions usage, pour les éléments, droites et courbes, qui le constituent, des cotes inscrites dans les secondes lignes de graduation.

Il suffit que les limites primitives soient telles que les amplitudes de variation s'étendant de a-i à b^ et defi(al) à f\(b{) d'une part, de <?2 et b.2, et dei/2(a2) à/2(62) de l'autre, aient une partie commune pour qu'il n'y ait pas de lacune dans le champ de variation auquel l'abaque est applicable.

C'est en cela que consiste le principe de la superposition des graduations.

Après avoir construit l'abaque, on peut, sans rien changer aux droites et aux courbes tracées, superposer aux graduations primitives de nouvelles graduations s'en déduisant suivant des lois connues et fournissant encore des solutions de la même équation.

Il pourra arriver que les fonctions f^{ o^), /"2(a2), /3(a3), ou certaines d'entre elles, soient assez simples pour que le calcul de leur valeur se fasse immédiatement de tête. Ce sera le cas, par exemple, si/^a^se réduit au produit de aj par un facteur simple comme 2, 5, 10 ou une puissance de 10. Lorsque cette circonstance se produira, il sera évidemment inutile d'inscrire sur l'abaque la seconde graduation qu'une opération mentale permettra de déduire immédiatement de la première.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 3g

A ce point de vue, les cas particuliers qui suivent méritent une attention spéciale. Ils se rencontrent d'ailleurs assez fréquemment dans la pratique.

21. Multiplicateurs correspondants. — i° Il arrivera que, si l'on multiplie deux des variables o^ et a2 P^r des facteurs quelconques Xt et X2, la nouvelle valeur a'3 de la troisième variable pourra se déduire de sa valeur a3 correspondant à aY et a2.

Gela aura lieu lorsque l'on aura

A étant une fonction quelconque, n^ et n2 des constantes quelconques. On voit, en effet, que l'on a dans ce cas, en représentant par V la fonction inverse de A,

(2) ai=A(Xï«XS-V(at)).

Le cas le plus simple est celui où l'on a {i bis) a3 = Àa*1^-,

parce qu'alors (2) devient (2 bis) ai='Xï'XS»as.

Autrement dit, si le système de valeurs (al5 a2, a3) satisfait à l'équation (1 bis), il en est de même du système (Xioti, X2a2, X^'X^^).

On peut alors dire que Xj, X2 et X'^X'^ constituent des multiplicateurs correspondants pour les variables a1? a2 et a3.

En prenant pour Xt et X2 des valeurs simples, telles que to et ses puissances par exemple, on voit que les nouvelles valeurs de al5 a>, 0C3 se déduiront de celles inscrites sur l'abaque, par une simple opération mentale, sans difficulté aucune.

20 Supposons maintenant que les facteurs par lesquels on multiplie aj et a2, au lieu d'être indépendants l'un de l'autre soient X et ~km, m étant une constante.

La circonstance indiquée se présentera dans ce cas lorsqu'on aura

(3) a-i= A\va,/Va,a2

A et / étant des fonctions quelconques. On voit, en effet, que, dans ce cas,

(4) «; = a(xv(«,:

L'équation (3) pourra encore s'écrire (3') «•=A(a?/(«f«f))l

Je nombre m étant alors

Dans ce cas (1), on aura

(4') ai = A(X»V(at)).'

Si, par exemple, l'équation est de la forme

elle peut s'écrire

et rentre bien ainsi dans le type (3'). Alors

et In formule (4') donne

al = X~«3aQ.

Autrement dit, si le système (a-, a2, a3) satisfait à l'équation (5), t7 ett es£ afe même du système (Xai, X-re2a2, X'*3a3).

C'est-à-dire que, dans ce cas, /es variables a1? a2 e£ a3 admettent les multiplicateurs correspondants X, X- "2, X/*3 (2).

Considérons en second lieu l'équation

(6) at=(Aafof)«T.

Pour voir qu'elle rentre dans le type (3'), il suffit de l'écrire

On a dès lors

(') Il ne faudrait pas croire que sous cette forme l'équation fût plus générale que sous la précédente. Il suffit, en effet, de poser

A(r) = A1(0, vf(u~n=AW, f=--^'

pour qu'elle devienne

(2)Dans ce cas, le principe des multiplicateurs correspondants se trouve appliqué dans notre brochure de 1891 (p. 91). Il a été exposé sous forme géométrique par M. A. Chancel dans une étude dont il sera question plus loin (n° 118, 2°).

et la formule (4') devient

Par suite, lorsque le système (o^, a2, a3) satisfait à Véqua-

tion (6), il en est de même du système vXai, X '/a2, otj /.

C'est par l'examen de divers cas particuliers que nous avons été conduit aux types (j) et (3).

M. G. Kœnigs, à qui nous avions soumis la question, a démontré qu'ils sont les plus généraux correspondant à la propriété caractéristique de chacun d'eux. On trouvera plus loin sa démonstration (n°15o).

22. Abaques à lignes droites. — Parmi les abaques qui viennent d'être définis, il convient de distinguer ceux sur lesquels les courbes (a3) se réduisent à des droites ; de tels abaques se rencontrent fréquemment dans la pratique.

Si nous nous reportons au n° 16, nous voyons que, pour que cette circonstance se présente, il faut que l'équation (a3) soit de la forme

(a3) __/(a3)+ ^-<p(a3)H-iKa3) = o.

et, par suite, l'équation (i)

^i/Os) + a-2 ç(a3)-ir <|;(a3) = o.

Dans ce cas, il pourra être plus intéressant que dans le cas général de considérer l'enveloppe E des courbes (a3) qui sont ici des droites. Si, en effet, la portion utile de cette enveloppe se trouve dans les limites de l'abaque, elle pourra dispenser du tracé des droites (a3). Il suffira d'inscrire la cote de chacune de ces droites à côté de son point de contact avec la courbe E.

Etant données des valeurs pour <yH et a2, pour avoir la valeur correspondante de a3 il suffira de mener par le point de rencontre des axes du quadrillage cotés a, et <y.2 une tangente à la courbe E (ce qui se fera très aisément au moyen d'un index rectiligne marqué sur un transparent) et de lire la cote du point de contact de cette tangente. On pourra évidemment, le cas échéant, avoir ainsi plusieurs solutions, lorsque du point de rencontre des droites cotées a, et a2 il sera possible de mener plusieurs tangentes à la courbe E.

23. Exemples : i° Second type d'abaque de multiplication. tion de la multiplication étant écrite

L'équa-

ata2 — a3= o,

il suffit de constituer le quadrillage au moyen des droites

(aO x — liCti,

(a3) y = hct.3,

pour que les courbes cotées (a2) soient des droites issues de l'origine

y = Ta2x.

En prenant l\

5mm, /3=omm,5, on obtient ainsi l'abaque de la

Fig. 23.

Il va sans dire qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs correspondants, l'équation étant la plus simple du type du n° 21, i°. Les multiplicateurs correspondants pour ai, a2 et a3 sont respectivement Xi, X2 et Àj À2.

(J) Le triangle à calcul de M. P. Chenevier, qui figure dans les galeries du Conservatoire des Arts et Métiers, n'est autre qu'une forme particulière de cet abaque, dans laquelle, au lieu de tracer un certain nombre des droites (oc2) issues de l'origine, on a fixé en cette origine un fil que l'on peut tendre pour le faire passer par les points d'une graduation placée sur un bord du cadre et repérant les positions des droites (oc2) non tracées.

On obtient une meilleure disposition de l'abaque (fig. 23 bis) en prenant des axes de coordonnées non plus rectangulaires, mais faisant entre

3tc eux un angle égal à — • Nous devons cette remarque à l'obligeance de

M. Frochot, ancien conservateur des Forêts (').

2° Abaque de Lalanne pour V équation trinôme du troisième degré. — Soit l'équation

z*-hpz -+- q = o.

Choisissant un module / quelconque, nous pouvons construire l'abaque de cette équation en prenant

v=-ip, y — iq^

ce qui nous donne pour z les droites

y ■+- zx -+- /-s3 = o.

L'abaque ainsi obtenu {fig. 24) est celui qui a été construit par Lalanne (2).

Nous avons d'ailleurs fait remarquer (3) qu'on pouvait se borner à tracer

(') C'est en 1892, au Congrès de V Association française pour i 'Avancement des Sciences, qui se tenait à Pau, que M. Frochot nous a communiqué son abaque. Il l'avait, croyons-nous nous rappeler, publié dans un Ouvrage, mais nous manquons sur ce point d'indication précise.

(2) Mémoire sur les Tables graphiques {A. P. C, 1" semestre, 1846).

les droites correspondant au\ valeurs positives de z, les valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant obtenues comme racines positives de la transformée en — z, c'est-à-dire de l'équation qui se déduit de la précédente par simple changement de q en — g.

s VAV

5 1 WV

n p^Ov^K

^ 9 \ \ ^l'^vSi

sj x P ~\ A y^^

%=* \ \ \ \ \j "Vv

7 \ Vf : \ > \

9 ta \ V V \ ^v

Cet artifice peut être considéré comme dérivant du principe des multiplicateurs correspondants (n° 21).

L'équation donnée peut, en effet, s'écrire

pz

Sous cette forme, elle rentre évidemment dans le type (5) du n° 21, et l'on voit ainsi que, pour les variables q,p, z, on a, en faisant 1 = — i, les multiplicateurs correspondants ( — i)3, ( — i)2, — i, ou — r, i et — i. C'est bien là la remarque qui vient d'être faite au sujet des racines négatives.

Mais, plus généralement, on peut dire que les variables q, p, z admettent les multiplicateurs correspondants nz, n- et n. Pour montrer l'utilité de cette remarque, nous prendrons l'exemple suivant :

Si l'on représente par

z la hauteur en mètres sur laquelle le parement d'un mur de réservoir

peut être maintenu vertical à partir du couronnement; a la largeur en mètres du mur au couronnement;

X le rapport de la pression limite admissible par mètre carré au poids

de i'"c de maçonnerie; 6 le rapport du poids de imc d'eau à celui de i,llc de maçonnerie,

M. Delocre a fait voir, dans son Mémoire classique sur les grands barrages, que la hauteur z est donnée 0) par la racine positive de l'équation

*»-+■ T,~XT=o si ->

ou

Posons

ici,

GX 8 9 4

a = iom, X = 2om,

et c'est la première équation qui est applicable. Cette équation devient

L'abaque de la fig. 24 ne nous donne pas directement z. Ayons dès lors recours aux multiplicateurs ci-dessus définis en prenant n = 10. Il vient ainsi

et l'abaque donne

— = im,i8,

JO

d'où

z = nm,8.

3" Abaque du poids de la vapeur d'eau contenue dans l'air (2). Si p est le poids en grammes de la vapeur d'eau contenue dans i'nc d'air à t°, lorsque la tension de la vapeur est f en millimètres, on a

(') Les inégalités de condition, telles qu'elles sont énoncées ici, se rencontrent pour la première fois, dans une Note publiée par nous, en mars 189 1, clans les Annales des Ponts et Chaussées (p. 44^)- Par suite d'un lapsus, le sens de toutes les inégalités de cette Note a été renversé, ainsi que nous l'avons fait remarquer depuis dans un erratum.

(2) Nous avons construit cet abaque en 1886, pour la Direction de l'Artillerie de l'Arsenal de Rochefort, en vue d'observations à faire, plusieurs fois par jour, dans des poudrières qui étaient de son ressort.

D'ailleurs la tension/ est fournie par les Tables de Regnault(1) en fonction de la température de condensation t' lue sur l'hygromètre. L'équation ci-dessus peut s'écrire

Pour la représenter nous poserons, lx et l2 étant deux modules quelconques

x = lxx 810/,

ce qui donne pour les droites (p)

Faisons, par exemple (2),

/1 = omm,oo37, /2=omm,43.

Nous obtenons ainsi l'abaque de la fig. iS.

Les graduations de Ox et de Oy sont alors données par

x = 3mm/, y - imm,2t, et les droites (p) par

py x

Toutes ces droites convergent au point x == o, y = — 3'26mm,8. On les appelle des radiantes (n° 27).

(l) Jamin, Cours de Physique de l'École Polytechnique, t. II (3e édition )

(L>) Ces nombres ont été choisis pour mettre le texte d'accord avec la fig. a5 qui a été obtenue par réduction photographique de l'abaque construit à plus grande échelle en 1886. Sans cela on eût pris

/, = omm, 0037, l2 — omm, 3G

de façon à avoir à porter les graduations

Il pourrait, de prime abord, sembler plus simple de choisir /, et l2 de façon à n'avoir à porter que les graduations

mais alors les radiantes (p) se rapprochant de la direction parallèle à Oy, leurs points de rencontre avec les verticales (/) se détermineraient avec moins d'exactitude.

CM

Echelle de la température

48 CHAPITHE II.

L'échelle de t ou échelle des températures sera construite entre t = — io° et t = 4o°. Sa longueur sera égale à inim,2 x 5o = Go""1"1.

Pour construire les droites (p) déterminons les points où elles coupent les horizontales o° (y = o) et 4o° {y = imm,2 x 40 = 48mm).

Pour y = o, nous avons, en prenant comme unité le millimètre.

x = 760 X 0,00377? = 2,8i/>; pour y = 48

Construisons ces droites pour des valeurs de p croissant d'unité en unité de o à 5o.

Les abscisses des deux points déterminant la droite extrême (p = 5o) seront, pour t — o° (y = o) et t = 4o° (y = 48),

a. = I4omm,5 et ^ = i6imm.

Reste à construire l'échelle de la tension y. Celle-ci étant fonction de la température de condensation t', nous pourrons la déterminer par le procédé indiqué au n° 12, c'est-à-dire en traçant la courbe qui fait connaître les variations de f en fonction de £ (traduction graphique de la table de Regnault), les modules le long de 0 x et Oy étant précisément les nombres 3mm et imm,2 obtenus plus haut. En d'autres termes, on construira la

courbe définie par

x == 3mmf,

y= iwm,it',

les valeurs correspondantes de t' et de f étant celles que donne la table de Regnault.

Cette courbe, que nous désignerons par F, étant tracée, on voit à quoi se réduit le mode d'emploi de l'abaque : lire la cote p de la radiante passant par le point de rencontre de V horizontale t et de la verticale /', cette dernière coupant la courbe F au même point que l'horizontale t'.

Usant ici d'un artifice (1) signalé au n° 13 nous remplacerons le système des verticales par un index mobile tracé sur un transparent dont l'orientation sera maintenue par la coïncidence, avec l'axe AB de l'abaque, d'un second index de ce transparent, perpendiculaire au premier.

Dès lors, le mode d'emploi de l'abaque peut s'énoncer ainsi : l'index d'orientation du transparent étant mis en coïncidence avec AB, faire passer l'index de lecture par le point de la courbe F situé sur l'horizontale t\ suivre cet index jusqu en son point de rencontre avec l'ho-

(') C'est précisément à l'occasion de eet abaque que nous avons eu pour la première fois recours à cet artifice.

rizontale t et lire la cote p de la radiante passant par ce dernier point.

Par exemple, pour t = 3o°, £'=i6°, la position de l'index étant celle indiquée en pointillé sur la figure, on lit p = [2gl, 9. On aurait pu évidemment tout aussi bien écrire au pied de chaque verticale la valeur correspondante de t' obtenue par l'intermédiaire de la courbe F, et effacer celle-ci.

4° Nous dirons encore un mot des abaques publiés par M. Genaille sous le titre Les graphiques de V ingénieur, et nous indiquerons sommairement leur disposition dans un cas. Si une charge est uniformément repartie sur une poutre de portée a, on a

pa~- q,

q étant un nombre qui dépend de la section de la poutre et de la limite de pression admise par unité de surface (1).

A chaque type de fer du commerce correspond une valeur de q. L'abaque de l'équation précédente, en permettant de calculer </, définira donc le type de fer à adopter pour des valeurs données de a et de p.

Cet abaque peut être construit au moyen du quadrillage défini par

x = hq, y = I2P, ce qui donne pour a les droites cotées dont l'équation est

droites passant par l'origine. Au lieu d'inscrire la valeur de q au pied de la verticale correspondante, on peut y inscrire les éléments de la section donnant cette valeur de q. Les abaques ainsi obtenus pour les différentes espèces de poutres sont ceux que M. Genaille a fait connaître au Congrès de 1884 de l'Association française pour l'avancement des Sciences, et dont des exemplaires à grande échelle figurent dans les galeries du Conservatoire des Arts et Métiers (- ).