II. — Anamorphose

24. Principe. — Nous avons vu au n° 15 qu'en substituant aux échelles régulières, qu'il est tout naturel, de prime abord, de porter le long de Ox et de Oy, d'autres échelles fonctionnelles, on peut toujours transformer en une ligne droite la courbe représentative d'une équation liant les variables auxquelles correspondent ces deux échelles.

Dans quel cas une telle modification apportée aux deux échelles Ox et Oy d'un abaque cartésien à trois variables transformerat-elle à la fois toutes les courbes de cet abaque en lignes droites?

La réponse à cette question est facile.

Pour qu'avec les graduations

(ai) a?= hfi(&i),

(a2) y= lzf2(a2),

les courbes (a3) constituant l'abaque soient des droites, il faut et il suffit que leur équation soit de la forme

(«3) WaCas)-4- r?3(a»)-t- <h(a3) = °-

Ceci aura lieu si l'équation proposée est

Nous obtenons ainsi à la fois la forme des équations auxquelles cet artifice est applicable et l'indication de la manière dont cel artifice doit être mis en œuvre.

Dans le cas où il ne s'agit que de la courbe isolée constituant l'abaque d'une équation à deux variables, comme au n° 15, une telle transformation n'offre aucun avantage appréciable, le travail requis pour l'établissement d'une échelle fonctionnelle étant équivalent à celui qu'exige la détermination des points de la courbe correspondante; on n'économise, somme toute, que le tracé de la courbe réunissant les divers points obtenus individuellement. Il n'en va pas de même ici, et l'avantage y devient très sensible.

Si le travail exigé par le changement de graduation équivaut à

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 5l

peu près à la construction d'une courbe, comme on aurait un certain nombre n de celles-ci à tracer, on voit que l'économie réalisée peut-être représentée environ par le travail requis par le tracé de n — i courbes. Une fois, en effet, le nouveau quadrillage établi, il suffit d'y marquer deux points pour obtenir chacune des lignes droites destinées à remplacer les courbes qu'on aurait eu à construire point par point dans le système primitif, et qui ont, en outre, sur celles-ci l'avantage d'un tracé rigoureux.

Le principe d'une telle transformation a été indiqué, pour la première fois, par Léon Lalanne qui lui a donné le nom (Y anamorphose géométrique (1). C'est sous la forme indiquée au n° 28 qu'il s'est d'abord présenté à lui et cela à propos des applications traitées plus loin aux nos 29 (i°) et 108.

25. Exemple : abaque de tir. — Dans un travail relatif à une question de tir (2), le capitaine G. Ricci, de l'artillerie italienne, se propose de construire l'abaque de l'équation

p(É/cos<p — <x) — d2 — a2,

destinée à faire connaître a lorsque p et cp sont donnés. Il suffit d'écrire cette équation sous la forme

d coso — a = o,

pour voir qu'elle rentre dans le type précédent. Nous porterons donc suites axes les graduations

et

(cp) y = U cosep,

et nous aurons ainsi pour les courbes (a)

(a) — - x — jj — a = o

c'est-à-dire des droites.

Le capitaine Ricci a construit cet abaque pour p, variant entre 1000 et

( ' ) Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique (A. P. C, ier semestre 1846).

(2) Rivista di Artiglieria e Genio, t. IV, p. i65 (novembre 1896). On trouvera dans le Bulletin astronomique, t. III, p. 62 et >3i, une série d'intéressantes applications du même principe, ducs à M. Radau.

<Sooo (de 100 en 100 entre iooo et 6000, de 200 en 200 entre 6000 et 8000), pour cp variant entre o° et 120° (de 2 en 2 entre io° et 200, de 1 en 1 entre 20° et 1200), enfin, pour a variant entre — 800 et 5oo, de 10 en 10.

En vue de réduire les dimensions de l'abaque, il l'a fractionné en trois parties accolées les unes aux autres. Pour chacune de ces trois parties U a été pris égal à om,2o, tandis que /t varie de l'une à l'autre. Ayant adopté li = 5oom pour la partie qui s'étend de 8000 à 3ooo, l'auteur a réduit cette valeur de l{ à la moitié, soit à 25om, de 3ooo à 2000 et à son sixième, soit à 83m, 33, de 2000 à 1000. Il en résulte que sur les verticales suivant lesquelles ces trois abaques partiels s'accolent (p = 3ooo et p = 2000) les droites (a) changent de direction.

La fig. 26 donne une réduction de cet abaque.

26. Abaques à parallèles. — Les équations du type signalé au n° 24 peuvent revêtir la forme très simple

/i(ai) H-/»(*a) +/s(a3) = o,

qui est extrêmement fréquente dans la pratique. Dans ce cas, ayant constitué le quadrillage de l'abaque en élevant respectivement aux axes Ox et Oy des perpendiculaires par les points des échelles que définissent les équations

(a2) y = hfii^i ),

on oblient pour équation des courbes cotées (a3)

qui représente un système de droites parallèles.

Le coefficient angulaire de ces droites étant constant et égal à

— -f, il suffira, après avoir déterminé la direction correspondante

qui s'obtient en joignant le point de l'axe Ox d'abscisse lK au

point de l'axe Oy d'ordonnée L, de déterminer un point pour chacune de ces droites. On pourra prendre notamment leurs points de rencontre avec l'axe Ox, définis par

x =— Ji/3(a3).

On pourra aussi prendre leurs points de rencontre avec la perpendiculaire Os à leur direction menée par l'origine O, droite

dont l'équation est

lxx = L2y-

II". ■?.(')

kOOQ

Si nous représentons par z les segments comptés sur cette droite à partir de O, nous voyons que le z de la droite (a3) qui n'est autre que la distance de l'origine à cette droite est donné par

lihfz(cts) sjl\ -h l\

En résumé, ayant gradué les axes 0.r, Oy et O^ d'après les trois équations (a,), (a2) et (a:)) ci-dessus, on n'a qu'à élever à chacun de ces axes des perpendiculaires parles points de l'échelle qu'il porte pour obtenir l'abaque de l'équation considérée.

Exemple : Nous rencontrerons par la suite un très grand nombre d'équations de cette forme. Contentons- nous ici de prendre comme exemple la formule des miroirs et lentilles sphériques

où d et d' sont les distances du miroir ou de la lentille à deux points conjugués, y la distance focale principale.

D'après ce qui précède on aura un abaque de cette formule, en posant

l étant un module quelconque, ce qui donne pour lignes cotées (/) les droites

immédiatement obtenues en joignant les points donl les cotes sont égales à /dans les graduations de O x et de Oy.

En prenant / — 3"1, 5, on a ainsi la fig. 27 ( ' ).

27. Abaques à radiantes. — Une autre forme d'équation très fréquente, rentrant dans le type du n° 24, est la suivante :

/i(ài)/2(a2) =/3(«3).

On voit qu'on aura la représentation anamorphosée de cette équation en graduant les axes Ox et Oy suivant les lois

Os) y= hA(*s),

ce qui donne pour courbes cotées (a2)

(ce,) y = j-M**)*>

droites issues de l'origine, que l'on appelle des radiantes (- >.

Ces droites passant par l'origine, il suffit d'obtenir un point de chacune d'elles. Si, par exemple, on les coupe par la parallèle à Oj/, dont lK est l'abscisse à l'origine, savoir

OC =^ t| .

on voit que l'on obtient sur cette droite l'échelle définie par l'équation

Nous avons rencontré plus haut (nu 23, i", 3" et 4°) divers exemples d'abaques à radiantes sans anamorphose.

(') Cet abaque a été construit par M. Gariel (A. F. A. S., Congrès de ('.1er mont-Ferrancl, p. i/jo; 1876), qui lui a ensuite appliqué une ingénieuse transformation géométrique. Nous avons fait voir dans notre brochure 0.4 ( p. 88 ) coin ment l'application directe de la méthode des points alignés, dont il sera question plus loin (Chap. III), conduisait à cet abaque transformé.

(2) On peut substituer au système de ces radiantes une droite pivotant autour du point O. Il suffit, pour cela, d'inscrire le long d'une ligne quelconque les cotes des points où les droites (a2) supposées tracées rencontreraient cette ligne. On obtient ainsi une certaine échelle, rectiligne ou curviligne, qui permet de repérer la position de la droite pivotante pour chaque valeur de a,. Une telle disposition sera même avantageuse au point de vue de la précision de l'interpolation à vue.

Voici des exemples de tels abaques obtenus par anamorphose :

i" Troisième type d'abaque de multiplication. — Ou peut, pour représenter l'équation

poser

x — 11olu y

ou

ce qui donne comme courbes cotées (a3) les radiantes

l2x = hzzy.

Un tel abaque est représenté par la fig. 28. Il se rencontre parmi les Ta-

Fig. .8.

bleaux graphiques dressés par M. l'ingénieur des Ponts et Chaussées Crépin, en vue de l'étude du dessèchement des pays watringués, dans un Mémoire remarquable où, pour la première fois, cette question complexe est soumise au calcul ( 1).

i° Abaque des heures de lever et de coucher du soleil. — Si l'on représente par \ la latitude du lieu et par D la déclinaison du soleil correspondant à l'époque, l'angle horaire M du soleil au moment de son lever ou de son coucher est donné par l'équation

— cosvfl = tangÀ. tangD,

(') A. P. C, iei sein. 18S1, p. i38. J/abaque de multiplication ici reproduit se trouve sur la PI. VI jointe à ce Mémoire.

qui rentre dans le type ci-dessus. Nous prendrons donc, pour représenter

cette équation,

x- /]tangX, y = — /2cos^H,

d'où

y — - x ta n g I ) .

Si l'on prend /j - /2, on voit que la droite cotée (D) est la droite menée par l'origine, qui fait l'angle D avec l'axe des x.

Chaque horizontale Ai correspond à deux cotes égales et de signes contraires. Mais on peut immédiatement écrire les valeurs de ces angles horaires en temps, ce qui donne l'heure vraie du lever ou du coucher.

Si l'on inscrit ces cotes aux points de rencontre des horizontales (AI) cl

Fig. 29.