VJ
d{un cercle de rayon /,, ayant son centre en un point quelconque de l'axe des x, on obtient la fig. 1%, qui est une réduction de l'abaque construit par M. Gollignon (»).
On voit que l'horizontale, passant par le point de rencontre de la verticale dont la cote est la latitude X du lieu et de la radiante dont la cote est la déclinaison D du soleil pour l'époque, va couper le cercle horaire
(») L'abaque de M. Gollignon est complété par des tracés permettant de passer du temps vrai au temps moyen et de tenir compte de la durée du crépuscule (AT. A., ie série, t. XVIII, p. 179» eL 3<! séric' l- I» P' 49°)-
en deux points dont les cotes sont les heures de lever et de coucher du soleil.
Au lieu de coter les radiantes au moyen des valeurs de D, on pourrait inscrire immédiatement à côté de chacune d'elles l'indication de l'époque correspondante, ainsi qu'on l'a fait sur la fig. 29 pour les solstices et les équinoxes.
3" Abaque des débits d'une rivière. — Le débit d'une rivière en un point déterminé est donné par la formule
où q désigne le débit exprimé en mètres cubes par seconde, o> l'aire de la section exprimée en mètres carrés, u la vitesse moyenne exprimée en mètres par seconde.
Pour la section considérée, l'aire w est une fonction f(h) connue de la hauteur d'eau h lue sur une échelle plongeant dans la rivière. On peut donc écrire
(1) q = uf(h).
D'autre part, lorsqu'il ne s'agit que d'une détermination approximative, on peut prendre pour la vitesse moyenne u le produit par 0,8 de la vitesse à la surface donnée par un flotteur parcourant pendant t secondes une longueur connue e, comprise entre deux repères, en sorte que
L'équation (1) peut être représentée au moyen des éléments cotés
(u) X = Ii u.
(g) y — hq,
(h) y=ff(h)x,
et l'équation (2), ainsi que cela a été expliqué au n° 12, au moyen de la
courbe
xy
",8e = y^jr'
qui est une hyperbole équilatère G, dessinée sur le quadrillage défini par
x = li u, y = l'.2 1.
Nous pouvons faire coïncider l'axe des x de ce quadrillage avec celui de l'abaque précédent, son axe des y étant dans le prolongement de l'autre et en sens contraire.
Pour construire les droites cotées (h), il suffit de remarquer, ainsi qu'on l'a fait au début de ce numéro, que, sur la droites? = l\, ces droites déterminent l'échelle
y = hf(h).
L'abaque ainsi obtenu (fig. 3o) est celui qui a été établi par
Fig. 3o.
Si
la)
itn //
yy
iqZ
M. Vandervin, ingénieur au corps belge des Ponts et Chaussées, pour
6o CHAPITRE II.
la station de Hombeek , sur la Senne (*), où l'on avait e — ioom. L'abaque de M. Vandervin a été construit avec les modules
l1 = om,i, /2= om,oo'2, /'2 — om,ooo5.
La y^. 3o en est la réduction aux f .
Le mode d'emploi de cet abaque est le suivant : La verticale passant par le point de rencontre de l'horizontale (t.) et de l'hyperbole C coupe la radiante (h) en un point situé sur l'horizontale (q) (2).
Par exemple, le 'i5 janvier 1891, à Hombeek, le flotteur a parcouru la distance des repères en t = 92*, la hauteur d'eau étant de i2m,o4. La verticale passant par le point de rencontre de l'horizontale t = g2s et de l'hyperbole G coupe la radiante i2m,o4 en un point dont l'horizontale suivie jusqu'à l'échelle des débits donne q = 38mc,5.
4° Abaques des poutres chargées. — Le commandant Chéry (depuis lors général) a, dans sa Pratique de la résistance des matériaux (3), donné une série d'abaques pour le calcul des poutres chargées, traduisant pour les diverses sections usuelles l'équation
pa2 = q
déjà définie au n° 23 (4°)- Pour construire ces abaques, il a eu recours au quadrillage anamorphose défini par les équations
x = ilP, y = —î>
d'où résulte pour les éléments cotés (q) l'équation
ltx = Uqy,
qui définit des radiantes issues de l'origine. Au lieu d'inscrire à côté de chacune de ces radiantes la valeur correspondante de q, le commandant Chéry y a placé une lettre de référence renvoyant à une table placée en regard de l'abaque où se lisent les dimensions de la section donnant cette valeur de q.
On trouvera, dans la partie du Chapitre IV consacrée au calcul des pro-
(') Annales des Travaux Publics de Belgique, 1892. Dans le même Mémoire, M. Vandervin construit un abaque de même type pour le calcul des moments d'inertie des rectangles.
On en trouve un autre pour le calcul des sections résistantes des travées droites dans une étude de M. D. Gorrieri (Atti del Collegio degli Ingegneri ed Architetti in Bologna, i8g5).
(2) On pourrait, à côté de chaque verticale, écrire la valeur correspondante de t obtenue par l'intermédiaire de l'hyperbole C, ce qui reviendrait à faire une anamorphose le long de Ox.
(:i) Paris, Ducher et Cie; 1877.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. <>l
fils de remblai et de déblai, d'autres exemples d'abaques à radiantes
(fig. m 6 à 19.2).
28. Anamorphose logarithmique. Toute équation repré sentable par un abaque à radiantes est également susceptible d'être représentée par un abaque à parallèles.
Le type d'équation du n° 27 peut, en effet, s'écrire, lorsqu'on prend les logarithmes des deux membres,
log/i(ai)-f- log/2-(a2) log/3(a3).
Il rentre alors dans le type du n" 20, représentable par un système de droites parallèles tracées sur un quadrillage irrégulier.
On appréciera par la suite tous les avantages de cet ingénieux artifice, dû à Léon Lalanne, et qui a constitué la première forme sous laquelle s'est présenté à lui le principe de l'anamorphose.
Pour effectuer la représentation de l'équation ci-dessus conformément à la méthode indiquée au n° 24, on commencera par tracer le quadrillage formé par les perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points de division des échelles définies sur ces axes par les équations
(ai) a?= Jilog/i(a, ),
(a2) y= /2log/2(a2).
On n'aura plus ensuite qu'à construire les droites («a) j +- ji = log/3(as),
ce qui peut se faire, ainsi qu'on l'a vu au n° 26, en graduant la perpendiculaire Oz à la direction de ces droites suivant la loi
,. , JiMog/3(a3)
(oL-ibis) z= — ■•
La construction des échelles logarithmiques (a, ), (a2) et (a3 bis I n'offre d'ailleurs pas plus de difficulté que celle des échelles des fonctions/,, /2 et/3 lorsqu'on dispose d'un étalon logarithmique ainsi qu'on l'a fait observer au n° 6.
Au surplus, on trouve maintenant dans le commerce du papier
à quadrillage logarithmique (1 ), grâce auquel la construction d'un abaque de ce genre se fait avec la même facilité que celle d'un abaque non anamorphose sur du papier à quadrillage régulier.
On doit à M. R. Mehmke un autre mode d'utilisation des plus remarquables de l'anamorphose logarithmique, sur lequel nous reviendrons plus loin (n° 139) et qui consiste à substituer à certaines courbes algébriques non pas des droites, ce qui ne serait pas possible, mais des courbes qui peuvent être obtenues par translation dune seule et même courbe dessinée sur un transparent.
29. Exemples : i° Quatrième type d'abaque de multiplication. — Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont extrêmement nombreux. Le plus classique d'entre eux est celui, dû à son inventeur même, qui a trait au calcul des profils de remblai et de déblai et que l'on trouvera plus loin (n° 108). Nous aurons d'ailleurs bien d'autres occasions d'utiliser ce principe dans la suite de cet Ouvrage. Aussi pensons-nous pouvoir nous borner pour le moment à indiquer l'application classique qui en a été faite par Lalanne lui-même à la multiplication (- ).
Pour représenter l'équation
aja2— a3,
il suffit, après l'avoir écrite
logOC^logO^rr: logOCg,
(') Nous signalerons, sur ce papier logarithmique, dont l'idée paraît due à M. W.-F. Durand, deux intéressants articles, l'un de M. René de Saussure dans la Bévue scientifique (2e semestre 189,4, p. 74^), l'autre du P. Poulain dans le Cosmos (numéro du 29 juin 1893, p. 390).
( 2 ) Description et usage de l'abaque, etc. (i845; 2e édition, i85i; 3e édition, i863). Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont très nombreux. Nous citerons ceux donnés par M. Collignon pour l'écoulement de l'eau dans les tuyaux {Cours d'hydraulique), par le colonel Goulier pour certaines corrections topométriques {Mémorial de l'officier du Génie, n° 18, 1868), par M. A. Kapteyn pour divers calculs relatifs aux machines à vapeur {Revue universelle des mines, 2e semestre, 1876), par M. A. van Muyden pour le calcul des conduites d'eau sous pression {Bull, de la Société vaudoise des ingénieurs, mars 1884 ) ainsi que pour le calcul des conducteurs électriques {Lumière électrique, 9 janvier 1886), etc.
Divers auteurs allemands, MM. G. Hermann {Das graphische Einmaleins, . . ., Braunschweig, 1875), Helmert {Zeitschrift fur Vermessungswesen, 1876), Vogler {Sechs graphische Tafeln..., Berlin, 1877), semblent être arrivés de leur côté au même principe dont la priorité ne saurait pourtant être contestée à Lalanne.
de poser
ce qui donne pour les droites (a3) l'équation
x -h y = / loga3.
On voit qu'une fois le quadrillage construit les droites (a3) se déterminent très aisément. La droite ayant pour cote une certaine valeur de <x3 coupe, en effet, les axes Ox et Oy aux points ayant précisément pour cote, «huiles graduations de ces axes, la valeur considérée de a3. On obtient ainsi l'abaque représenté par la Jig. 3i.
Fig. 3i.
a 9 to
•2° Abaque de V équation des portées lumineuses. - - Nous venons de faire voir comment l'anamorphose logarithmique permet de substituer à des abaques à radiantes des abaques à parallèles. Son rôle se borne dans ce cas à remplacer des lignes droites par d'autres lignes droites d'une disposition plus avantageuse. On saisira par la suite tout l'intérêt d'une telle substitution, mais il est bon d'observer que l'anamorphose logarithmique permet encore de construire des abaques à lignes droites pour des équations qui ne sauraient, sans ce secours, bénéficier d'une telle simplification.
Un exemple remarquable nous sera fourni par l'abaque de l'équation de^
portées lumineuses (l), construit pour le Service des Phares par M. E. Allard qui en était alors l'ingénieur en chef. Cette équation est
ioolarf = cl2,
où a désigne le coefficient de transparence du milieu. L l'intensité lumineuse et cl la portée lumineuse en kilomètres.
Pour construire l'abaque de cette équation, il suffit de l'écrire
log 100L — — d log a t- 2 logo?, et de constituer Je quadrillage au moyen des formules
(a) x - — li log a,
(L) j = /2logiooL,
ce qui donne pour éléments cotés (d) les droites
(d) y— -.— x -+- iU log d.
On commencera donc par porter sur Ox et Oy les échelles définies par les formules (a) et (L), pour élever ensuite à ces axes, par les points de division ainsi obtenus, les perpendiculaires qui constitueront le quadrillage de l'abaque.
M. Allard a donné à ces échelles la forme isograde (n"8), de façon qu'en dépit de l'anamorphose le quadrillage présente un aspect régulier. Il a pris pour les modules les valeurs
ti= \ = im,333....
et a adopté, tant sur l'axe Ox que sur l'axe Oy, un intervalle constant de 2mm.
Gela conduit à donner à a des valeurs dont les logarithmes décroissent
régulièrement de
et à L des valeurs dont les logarithmes croissent régulièrement de
D'ailleurs, l'échelle (a) a été construite sur om,20 de longueur, soit jus-
(') Mémoire sur l'intensité et la portée des phares, par E. Allard (Paris, imprimerie Nationale; 1876).
qu'au nombre a0 tel que
Tloga0 = <>,•>.
ou d'où
logao = — o, i5 = i ,83,
«o = 0,708, et l'échelle (L) sur om,3o de longueur avec une limite supérieure égale à
Fiir. 32.
- -^ . o^rootû(r)oti)t,o<^tûf*3(T>tDro<?>ti)coOtOcoor^fOOr^4-r-coiOwû0^icN<ntûroois-j-*-coinr^ou>
C/OeTTICien"t o<^ŒOTœŒcor^r^cûco^iO^iÔ^d-.^4-coOcOcv|C\ir>jT-,-T-ooOCT>C)a}ooaoaoaor-<i*.r,<0CO(ûi/}.n
de t-000000000000000000000000000000000000000000000
tra/lSpôLTenC© o^<^^^^coiO<ncoaD.d-*-aor^(0J}tx>r^<r><-j.dC>CNir^<>4r«.3-or^*o<»5»~Off>c>ao05OTO,~eO-tu>OT*-"
■ OuDf*30'^*T-aO^)cOOcolûtv)ï~^f^'/)c^,-0cO^>»OfOfMOC)cotOtO-*P5c^O<î>oOr^(û*£)'/)'*'fOc,,,~'"
^ Ooi<ncn<I)cococ^r^r--r^ioiûiDCD'0'n«0'0'0-nj-**J-*J'CoororococOfOtocvi<viNrgNraN(siN<\icg
'-OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOQ
10000000, ce qui donne pour la limite inférieure L0
0,04(7 — logLo) = o,3,
ou
d'où
IogL0 = — o,5 = i,5,
La fig. 32 reproduit un fragment de l'abaque ainsi obtenu (*)•
M. Allard a remarqué que si («, L, d) est une solution de l'équation
c'est-à-dire si
iooLarf= d2.
cette égalité peut s'écrire, à étant un nombre absolument quelconque,
( \\ld
iool*L\a*J = (Xa*)2
ir suite, \a\ X2L, \dj
et que, par suite, \«A, A2L, kdj est aussi une solution de l'équation.
On reconnaît là une application du principe de la superposition des graduations (n° 20).
L'équation ci-dessus peut en effet s'écrire
rf2L-i W-i
ioo
Sous cette forme on voit qu'elle rentre dans le type (6) du.n° 21, lorsqu'on y fait
ai = d, a2 ~ L, a3 — a,
ce qui fait correspondre à la solution {d. L, a) la solution (X<i, X2L, al-1), ainsi qu'on vient de le constater.
Si, par exemple, on prend X = — ? on voit qu'à la solution (d, L, a) correspond la solution ( — , — , a10 ). Le passage de d et L à — et — —
\io îoo / io ioo
s'opère immédiatement de tête. Il n'en est pas de même de celui de a à a10.
Pour cette raison, les valeurs de a10 ont été inscrites à côté de celles de a sur une seconde ligne. Il suffira donc, si la valeur de a figure dans cette seconde ligne, de prendre sur Pécbelle de L la valeur de iooL et de diviser par io la valeur obtenue pour d.
Par exemple, la verticale 0,917 (i,e ligne) ou 0,422 (2e ligne) coupant l'horizontale 1,78 sur l'oblique 9, on a les solutions
et
« = 0,422, L = o,oi78, «' = 0,9.
(') PL F du Mémoire cité.
III. — Emploi d'un transparent à trois index. Abaques hexagonaux.
Anamorphose graphique.
