O , OO

On prendra évidemment ici

/ h î — ll

t-21 - — "T ' ê22 — TT

Les modules correspondants des fragments de l'échelle (E) seront donc donnés, d'après la formule (2) du n° 66, par

/ — ll 1 — li

et ces deux fragments de l'échelle (E) diviseront les intervalles compris entre l'échelle (V) et les deux fragments de l'échelle (T) respectivement dans les rapports de 4 et 3 à 1.

Pour l'équation (2'), on voit qu'il suffit de reprendre les mêmes échelles (V) et (E) et de modifier simplement l'échelle (T) en divisant ses cotes par 6 puisque, pour le même point, on aura

Il suffira d'inscrire la graduation (T) sur un côté du support, le côté droit par exemple, et la graduation (T') sur l'autre, c'est-à-dire le gauche.

C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque du capitaine Goedseels, représente

par la fig. 66 qui est la réduction à la moitié environ de l'original. Sur

cet original, l'auteur avait pris lx = im, ce qui donnait pour l'intervalle des

points ioo et 73

im(log 100 — log 75) = Om,I25.

Il est facile, s'il s'agit de longs parcours, de tenir compte des haltes. Supposons, par exemple, que la marche s'effectue avec une halte de dix minutes par heure. Il faudra alors sur l'échelle (T') (celle de gauche),

lt2.

2rj

Fig. 66.

(ut)

avancer de dix minutes l'origine de chaque heure, ce qui donne la chiffraison affectée de V indice i. Avec une lialte de dix minutes par deux heures, on obtient de même la chiffrai son affectée de Yindice i.

Exemples numériques :

i° Temps mis par une troupe marchant à la vitesse de 8om, pour parcourir 37km. La position (I) de l'index, marquée en pointillé sur la figure, donne ( chiffraison de gauche)

T — 7h4im (sans haltes),

T = 911 nm (avec une halte par heure),

T = 8h2im (avec une halte par deux heures).

■>." Profondeur d'une colonne qui s'écoule en 17 minutes à la vitesse de g5m. La position (II) de l'index, avec la chiffraison de droite pour T, donne i6h,n,i ou i6iom.

3° Profondeur d'une colonne qui défile en 4 minutes à la vitesse de 72™. On applique ici le principe des multiplicateurs correspondants (n° 21) en

multipliant V par 10, ce qui exige que la lecture E soit divisée par 10, ou, ce qui revient au même, faite en décamètres. La position (III) de l'index, avec la chiftraison de droite pour (T), donne '28l)m,8 ou 288"1.

Nous avons insisté sur les détails de construction des abaques de ce genre parce qu'ils sont d'un usage courant dans la pratique. Ce qui vient d'être dit suffira, espérons-nous, à éviter tout tâtonnement dans les applications de la méthode. On en trouvera d'ailleurs par la suite d'autres exemples (noS71,90, 110, 111, 112).

70. Composition des échelles. — ISous allons, pour plus de simplicité, raisonner ici dans le cas de trois échelles, mais il sera facile de voir que ce qui va être dit s'étendrait immédiatement à un nombre quelconque d'échelles.

Soient donc trois échelles à supports parallèles A,«,, A2u2,

Fig. 67.

A, A12 Aj A,j3 A31 A23

A3W3 {fig. 67), définies respectivement par les formules

Il 2 == tij'î >

Uz = hfz-

Traçons trois nouvelles échelles Ai2ui2i A23tt23 5 A3, w3, parallèles aux premières, telles que

Ai Ai2

A3A31 Ai A3i

et définies respectivement par les formules

(«23) U23 = hsfïSi

(«31 ) W31 = hifiii

les modules /12, /23, l$\ étant liés aux précédents par les formules

D'après ce qui a été vu au n° 66, les cotes a12, a23, a31 des

points obtenus sur ces échelles en prenant des alignements entre

les points cotés a,, ou, a3 sur les trois premiers axes, seront

telles que les équations

seront satisfaites.

Mais, en outre, d'après ce qui a été vu au n° 66, les points M12, M23 et M3, sont les barycentres des points M,, M2, M3 pris deux

à deux et respectivement affectés des coefficients T> j-f ■=-• Par

suite, les droites M12M3, M23M< et M3, M2 passent par un même

point M123 qui est le barycentre des trois premiers points. Ce

point M|23 se trouve donc sur une parallèle aux axes menée par

le barycentre A123 des points A,, A2, A3 respectivement affectés

des coefficients T-> T , T et à une distance w,23 du point A,o3 telle ii /2 t3

que

Il y

ih 1,

le module /123 étant défini par

Si donc on porte sur l'axe A123w423 l'échelle (a12;{) définie par la formule

on voit que les valeurs correspondantes de a,, a2, a3 et a123 satisferont à l'équation

et l'on peut remarquer que si l'on se donne trois des sept variables a,, a2, a3, a,2, a2;?, a:H , a, 03, il suffît de prendre quatre alignements pour obtenir les quatre autres.

Tel est le principe de la composition des écbelles parallèles énoncé par le commandant du Génie Bertrand dans le Mémoire d'où est extraite l'application qui suit.

Il suffit d'écrire a4 au lieu de a123etde poser fK 23 = — /*•> pour que l'équation précédente prenne la forme

La généralisation évidente dont nous parlions au début de ce numéro montre qu'on pourra de même obtenir ainsi la représentation des équations de la forme

c'est-à-dire de celles qui ont déjà été envisagées au n° 37.

Dans le cas où l'on n'aurait pas besoin de considérer les équations obtenues parle groupement des échelles deux à deux, trois à trois, . . ., il serait inutile de graduer les échelles résultantes correspondantes.

71. Exemple : Abaque des distributions d'eau. — Cet abaque est celui à propos duquel le commandant Bertrand (l) s'est trouvé amené à

énoncer le principe ci-dessus. Tl l'a établi en partant des formules de M. Flamant.

(') Description et usage d'un abaque destine à faciliter la solution des problèmes relatifs à la distribution des eaux {Revue du Génie militaire, t. \ 111. p. 475; 1894).

Le Mémoire a été tiré sous forme de brochure à part mise en vente à la librairie Berger- Levrault.

l6o CHAPITRE III.

Soient :

l la longueur de la conduite

d son diamètre,

q son débit,

h la perte de charge,

j la pente de la ligne de charge,

p la puissance de la conduite,

r sa résistance,

u la vitesse,

e la variation de prix (1).

Entre les sept premières de ces quantités, on a les équations

(,) 7log? " lo8h = — lo8r>

(2) -\ogh-+- logJ = — logy,

(3) log/+ ?log? = log/>,

(4) ?log? — log/i-h log/ = ^ logo?— G,

G étant une constante numérique.

Ces quatre équations permettent de calculer quatre des quantités qui y entrent en fonction des trois autres. On voit immédiatement qu'on peut appliquer à leur ensemble le principe de la composition des échelles en

prenant

a,= q, oc2^= A, a3 = /,

a12=r, «23 = /, a-zi^P,

puis

fx=l\0çq, y2=log/i, /3=Iog/,

/i2 = — logr, /23 = — logy, /31=log/?,

/i23= -^logd — G.

Enfin l'auteur a choisi pour les modules les valeurs

Z1=5cm, /2=/3=6cm.

L'abaque ainsi obtenu par le commandant Bertrand est celui que représente la fig. 68, avec une réduction d'un peu moins de -•

(') Pour la définition de ces termes divers, je renvoie à la brochure du commandant Bertrand.

Au diamètre a? et à la résistance r sont respectivement liés la section s et le débouché o par les formules

11 suffira donc, pour avoir ces nouvelles quantités, d'accoler aux échelles (cl) et (r) déjà construites des échelles (s) et (o) établies ainsi qu'il a été dit au n° 11. Ces échelles se trouvent sur la fig. 68. On voit, en outre, que l'échelle du débit a été graduée en double suivant que l'unité admise est le litre par seconde ou par minute.

On reviendra plus loin ( l) sur la construction des deux dernières échelles, celles de la vitesse u et de la variation de prix e.

Il convient de remarquer, en ce qui concerne l'inscription des graduations, l'innovation introduite par l'auteur et qui consiste à donner en toutes lettres l'indication de chaque ordre décimal, ce qui fait qu'il suffit, d'inscrire un seul chiffre en face de chaque point.

B. — Abaques a deux échelles parallèles (2).

72. Type des équations correspondantes . — Le choix des origines sur les axes Au et Bv étant quelconque, on peut placer ces origines aux points où ces axes sont rencontrés par le troisième support. Les points (o^), (a2) et (a3) ont alors respectivement pour équations

(a,) u = l\fu

(a2) v = hf2,

/, et l2 étant des modules quelconques, ce qui donne, pour l'équation représentée,

Prenant toujours la droite AB comme axe des x en plaçant

(') Renvoi du n° 99.

(2) Une transformation homographique permet de ramener à ce type tout abaque à points alignés comportant trois échelles rcctilignes quelconques, en rejetant à l'infini l'un des sommets du triangle formé par les trois supports.

M. d'O. ij

GO

fa

apuooas jçd saj3||o-pa|-|

S3J13OIB09Q

Saj-,ayy

écimètres

Mètres 2 3 ■» S

I 'iv,'"i"',t,',,|

êtres par seconde

"I ' I 'l'I I III

Oixiémes

'I ' I ' l'I I ll|

Dizaines