sina

sina-+- k

kl\ a

2 0 sin a

Le coefficient angulaire nii de la tangente à l'origine, limite de £■ lorsque a tend vers zéro est donc donné par

mi =

(') Un tel abaque peut encore rendre des services aux astronomes en leur fournissant pour l'application des méthodes d'approximation usitées pour la résolution de l'équation de Kepler, telles que celle de Gauss ( I5ailt.au>, Cours d'Astronomie, t. ÏT, p. g4), une valeur très sensiblement approchée qui dispense de tout tâtonnement.

Celui de la droite qui joint la nouvelle origine au point (e) coté 0,4, dont les coordonnées sont

est donné par

x = 20, y — o,/\kli,

La tangente x de l'angle que font ces deux droites est, par suite, donnée par

o,ik*lf ' o2+o,i£*/f

Cherchons le maximum de z.

L'équation ci-dessus peut s'écrire

xo2 — o,3/i7iO -h o, 1 k2zl\ = o.

Pour que ses racines 0 soient réelles, il faut que

Le maximum de x, indépendant de k, ce qui est digne de remarque, est donc donné par

Js=0>47*>

valeur qui correspond à un angle de 25°22'3o". Pour cette valeur de x,

on a

L'écartement 20 des axes devra donc, dans cette hypothèse, être pris égal à o,632Â7i.

La disposition des échelles étant ainsi arrêtée, nous allons indiquer comment une construction très simple permet de déduire l'échelle curviligne (a) de l'échelle rectiligne ( [jl). elle-même très aisée à obtenir, puisque c'est une échelle régulière.

Supposons d'abord pour cela que nous ayons inscrit (au crayon, de façon à pouvoir les faire disparaître) les cotes des points (fjt) en degrés.

Si nous prenons comme axes de coordonnées BA (x positifs) et Bv (y positifs), les coordonnées du point P coté a (Jig. 85) sont

iol 0 lv sin a H- l2

li sin a -h U

La droite BP a donc pour équation

y lx*

et, par suite, le point M(x = 28), pour ordonnée

c'est-à-dire que le point M est celui dont la cote, sur l'échelle ([ji), est égale à celle du point P.

Eu d'autres termes :

L'échelle curviligne (a) projetée à partir du point B sur Au donne précisément V échelle (jj.), les cotes étant conservées de l'une à l'autre.

Fig. 85.

Il suffit donc, pour avoir l'échelle (a), de connaître sa projection faite sur AB parallèlement à Au. Cette projection est donnée par l'expression de x ci-dessus

lx sin a+/2

Pour construire l'échelle ainsi obtenue, il suffit de poser

sin a = t,

ce qui, moyennant l'usage d'une table des sinus naturels, ramène cette construction à celle de l'échelle linéaire

ùl,

lit ■+■ l2

Cette dernière exige simplement la détermination directe de trois points

Or on a immédiatement

pour a = o, t = o,

•^ = 20 (point A), x = -T r>

Il -h 2.1 2

Ces trois points permettent de construire l'échelle demandée dont on

n'a d'ailleurs besoin qu'entre t = o et t = i, et que nous désignerons par

(t), bien qu'elle soit cotée au moyen des valeurs de a.

Il faut remarquer, en outre, que pour deux valeurs supplémentaires de

a, on a sur AB le même point Q.

Finalement, la construction de l'échelle X se réduit à ceci :

La parallèle aux axes menée par le point Q de V échelle (t) coté

a coupe les droites gui unissent le point B aux points de V échelle

( \j.) cotés 01 et Ti — a, en des points qui sont les points cotés a et t: — a

de l'échelle (a).

B. — Abaques a trois échelles curvilignes.

84. Second abaque du fruit intérieur des murs de soutènement. — Tout ce qui a été dit des abaques à trois systèmes de droites quelconques (n° 47 et suiv.) peut être transporté corrélativement du domaine ponctuel défini par les coordonnées cartésiennes au domaine tangentiel défini par les coordonnées parallèles.

Un exemple suffira pour le bien faire comprendre.

Reprenons l'équation du n° 51

relative au calcul du fruit intérieur des murs de soutènement.

Nous aurons sa représentation au moyen de points alignés en changeant simplement x et y en u et v dans les équations (/), (p), (h) du n° 51, ce qui donne

(/) 2(l^ — i)u-+-3l(l-hi)'v — 1(1 — I) = 0,

(p) • i{ip -f- i)u -t- 3(p -h i)t> — (p -h l)(2/> -+- 1) == o,

(h) hu -!- v — h2 = o.

Ce sont trois systèmes du second degré, et les deux premiers ont pour support une même conique, de même que les systèmes de droites dont ils sont les corrélatifs avaient pour enveloppe une même conique. Les cotes l et p d'un même point de cette conique, considéré successivement comme appartenant à l'un puis à l'autre, sont d'ailleurs liées par l'équation

Si l'on construit les trois systèmes ci-dessus, on obtient la disposition représentée par la fig. 86, corrélative de celle que montre la fig. qj.

Nous avons, à la fin du n° 51, fait ressortir les défauts de cette dernière. Ceux qu'offre la disposition de la fig. 86 ne sont pas moins sensibles. On voit, en effet, que les droites joignant deux à deux les divers points des échelles (p) et (l), prises dans leurs parties utiles, coupent cette dernière sous un angle très petit. Pour remédier à ce défaut, nous allons appliquer

ici la transformation homographique exposée au n° 60, qui renvoie pour les formules au n° 49.

Fig. 86.

Faisant varier l et p de -| à i, proposons-nous de faire en sorte que le quadrangle limite formé par les points

soit le rectangle des points

l'unité de longueur étant d'ailleurs prise égale au demi-écartement des axes.

Nous référant aux notations du n° 49, posons

H(0= Vi+ J* «pi H- v 4*lf

G(p) = "kf-2 -h \J- <?2 + v 4^2 5 K(A) = X/3-h {ACp3-+- V^3,

et de même avec les accents prime et seconde. Les fonctions y,, cp/, -L, étant ici

nous avons

H(/) = (2X + 3fx — v)/2-+-(3flH v)/ — 2X5 G(p) -~ — 2v/?2-{- (4 X -1-3^ — 3v)/? -r- 2X + 3 [i. — v, K(A) = — vM+ X/i -h jx,

et les équations des points (/), (/>), (/?) s'écrivent

Les conditions imposées au quadrangle limite donnent donc les relations

O^Uo,

Les équations (5) et (7) développées sont