X -20 li
équation qui montre que le lieu du point II est la droite BII coupant l'a\e A 11 (x = — 1 8) au point G défini par
En amenant le point P au point S surO/, on voit que BG passe par ce point. Ayant donc marqué sur Au le point G ainsi défini, on obtiendra le point P coté z, connaissant sa projection M sur ABde la façon suivante :
On mène par M la parallèle MP aux axes qui coupe BG en II, et, sur la droite AH, on prend le symétrique K du point H par rapport au point de rencontre I avec Oy. La droite BK coupe MH au point P cherché.
Remarquons d'ailleurs, comme dans le cas du second degré, que les racines négatives de l'équation (E) pouvant être obtenues, en valeur absolue, comme racines positives de la transformée en — z, qui se déduit de l'équation donnée par le simple changement de q en — q, il n'y a lieu de considérer que les valeurs positives de £, auxquelles correspondent des points situés entre les axes Au et Bv.
D'ailleurs les équations du troisième degré qui se rencontrent dans les applications n'ont généralement qu'une racine positive, et c'est la seule dont on ait besoin.
Rappelons, en outre, que, si ~0 est une racine de l'équation
pz H- q = o,
0^o est une racine de l'équation
z*-h b*pz -+- (Pq = o,
ce qui permet d'étendre l'usage de l'abaque au delà des limites de ses échelles.
Soit, par exemple, l'équation
— -2 IO Z — (JOOO
qui se rencontre dans le Mémoire de M. Gorrieri cité ci-après. Remarquant que cette équation peut s'écrire
on tend l'index entre le point (p) coté —2,1 et le point (7) coté — 9, ce qui donne le point (z) coté 2,42. On a donc
82. Cas particuliers divers. — La répartition des tôles de semelles dans les grandes poutres de pont, en vue d'assurer un travail à peu près constant du métal dans toute l'étendue de la poutre, exige, pour être opérée avec exactitude, la résolution d'équations trinômes du troisième
degré.
Dans son Traité de la stabilité des constructions (l), M. J. Pillet applique à cet usage l'abaque qui vient d'être décrit avec les données particulières que voici :
L'équation étant écrite
l'abaque est fractionné pour la valeur q — o, r. La première partie de l'abaque est définie par
la seconde par
u — p x 5ocm (de o à o,4 3 ), v — q x 2oocm ( de o à o , i) ;
u — p X 5ocm (de o à o,4^ ), ç = q x 20cm ( de o à i , i5).
On voit que les deux échelles (p) coïncident. Quant à la première échelle (</), elle coïncide avec la seconde lorsqu'on décuple ses cotes. On peut donc se contenter de marquer l'une des deux. Les deux échelles (z) correspondantes sont portées par deux arcs de courbe distincts.
L'auteur a d'ailleurs soin de faire observer que l'usage de l'abaque s'étend au delà des limites de ses échelles, grâce à l'emploi des multiplicateurs correspondants rappelé ci-dessus.
De même le calcul de la hauteur des poutres dans les travées associées dépend d'équations trinômes du troisième degré de la forme
où X représente la composante normale de la résultante de toutes les forces qui précèdent la section considérée, M le moment de cette résultante par rapport au centre de gravité de cette section, R la limite de la charge permanente par unité de surface, a et a' des coefficients qui dépendent de la forme de la section.
Pour les diverses formes usuelles de section (bois et fer), M. D. Gorrieri a fait l'application du type d'abaque ci-dessus à l'équation cubique
correspondante (2), en prenant comme variables indépendantes p = — =r>
an.
(') Paris, J895. (Voir p. 194 de cet Ouvrage.)
(2) Calcolo délie sezioni resistenti per le traviassoggettate etc. (Bullettino del Collegio degli Ingegneri ed Architetti in Bologna; 189'»).
a = —r=- pour les poutres en dois a seetion rectangulaire, p = — , a = 7 a R r r & 7 R ' l;
pour les divers types usuels de poutres en fer, distingués chacun par des
valeurs particulières attribuées à a et a'.
Les onze abaques ainsi construits sont tous fractionnés en trois pour l'échelle (p).
Il n'y a pas lieu ici de faire varier z d'une manière continue : il suffit de marquer les points correspondant aux valeurs de z qui se rencontrent dans les types de fers du commerce, et de prendre, pour chaque couple de valeurs de p et de q, la cote du point (z) situé immédiatement audessus de la position de l'index joignant les points (p) et (q). C'est d'ailleurs ce que l'auteur a eu soin de faire.
83. Troisième exemple : Abaque de l'équation de Kepler (J). — L'équation de Kepler qui lie à l'anomalie moyenne jj. l'anomalie excentrique a d'une planète circulant dans une orbite d'excentricité e est
a — e sin a — jj.,
a et \x étant exprimées en parties du rayon. Ces variables prennent donc toutes les valeurs de o à 2-tt = 6,2832. Quant à la variable e, elle reste comprise entre o et 0,4.
Remarquons en outre que les anomalies a et ;jl sont ensemble inférieures ou supérieures à tz.
Pour représenter l'équation posons
(jj.) u = hp,
Il vient dès lors pour (a)
(a)0 l%u -h ^sinap — IiIool^o
ou
^ lj sin a — li li lirJ-
v ' /iSina-t-^ /iSina-h/2
Remarquons que tant que a est inférieure à tc, x est, en valeur absolue, inférieur à S, demi-distance des origines, c'est-à-dire que le point (a) correspondant est entre les axes Au et Bc\
Pour a supérieure à ir, ce point serait en dehors des axes. Fractionnons donc l'abaque à partir de cette valeur de a, ou, puisque nous venons de remarquer que a et pi sont ensemble inférieures ou supérieures à tc, à
(') O.ll.
partir de p. = te, pour changer le sens croissant des \x sur Au. Gela revient, en désignant par a' et ;jl' des valeurs de a et [Jt. supérieures à te, à prendre pour \x'
({*') U = ^l(2TE— \l'),
en conservant l'équation (e).
Il vient alors pour (a')
(a')0 — h u -4- li sinaV -h l± Z2(2te — a') = o
ou
. . /jsina'+ /2 — l^l^ir. — a')
l\ sin a — l2 i\ sin a — /2
On voit immédiatement que le point (a') coïncide avec le point (a), dont la cote est liée à la sienne par la relation
a — 2 te — a'.
Il suffit donc de construire les points (a) pour a < te et d'inscrire à côté de chacun d'eux la cote 2 te — a, en outre de la cote oc, pour avoir du même coup les points (ce'). On pourra d'ailleurs, pour plus de commodité, inscrire ces cotes en degrés.
Pour que l'échelle ((i.) (qui, comme on vient de voir, revient sur ellemême à partir du point coté te) et l'échelle (e) eussent même longueur, il faudrait avoir
te/j = o,4 1-2 ou
3,1416/} = o,4 1% , d'où
l2 = 7rS5h.
On aurait donc des échelles sensiblement de même longueur en prenant l2 = 8/1. Sur l'abaque de la fig. 84 empruntée au Mémoire 0.11, on a pris /, = 10 l\, ce qui donne les formules
O) u=lnx,
(e) . v = rql1e,
, N ^ sin a — 10 10/1 a
sin a -t- 10 J sin a -r 10
Pour obtenir le degré de précision requis par l'Astronomie moderne, il faudrait évidemment adopter une valeur de Jx qui rendrait l'emploi de l'abaque peu pratique.
Un abaque construit avec /t = 5omm, ce qui lui donne un e hauteur de 70"", fournit aisément l'approximation du demi-degré ( l ). Sur celui de la fig. 84, on a pris lY = 10""".
-r-ft»
— os
Cet exemple particulier va encore nous permettre de faire voir comment on peut, avec une échelle curviligne, déterminer l'écartement des axes en vue de rendre aussi grand que possible le minimum de l'angle de l'index avec les échelles.
Il suffit de jeter les yeux sur la fig. &4 pour voir que ce minimum est donné par l'angle de la droite qui joint le point (;jl) coté o au point (e) coté 0,4, avec la tangente à la courbe qui porte l'échelle (a) au point coté o.
Pour calculer cet angle, transportons l'origine en ce dernier point.
Les coordonnées du point (a) deviennent alors, si l'on pose h = kl\t
klAa
sina -+- k
