I. — Éléments à plusieurs cotes

A. — Droites a deux cotes.

115. Définition des éléments à deux cotes. Points condensés. Echelles binaires. — Si nous considérons sur un plan deux systèmes de courbes cotées (a) et ((3), dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle un réseau, chaque point du plan pourra être affecté des cotes des deux courbes, prises l'une dans chaque système, qui s'y rencontrent. On définit ainsi un point à deux cotes (a, (3).

C'est, on le voit, l'idée même qui conduit à la notion des coordonnées curvilignes dans le plan.

A travers le réseau de points à deux cotes qui vient d'être défini, traçons un système simplement infini de lignes G. Chaque point d'une de ces lignes, considéré comme appartenant au réseau, sera muni de deux cotes, et l'ensemble (a, (3) de ces deux cotes pourra être affecté à la ligne sur laquelle le point aura été pris, et qui sera dite, dès lors, une ligne à deux cotes (a, (3).

D'après cette définition, la ligne C possédera une infinité de couples de cotes, mais, lorsqu'une des deux cotes sera donnée, l'autre en résultera.

En effet, se donner l'une des cotes, c'est se donner une courbe, prise dans l'un des systèmes du réseau, sur laquelle devra se

(l) Rappelons que par généralisation de plusieurs des méthodes indiquées pour les équations à trois variables, nous avons déjà obtenu divers modes de représentation applicables à des équations à plus de trois variables, notamment aux nos 37 et 70, et dans le § V du Chap. III.

trouver le point pris sur la ligne C; ce point est donc déterminé ('), et la seconde cote est alors celle de la courbe du second système du réseau passant en ce point. La fig. i32 fournit la

représentation schématique d'un système de lignes G à deux cotes a et (3.

De cette notion de lignes à deux cotes va maintenant découler celle d'une nouvelle espèce de points à deux cotes. Coupons, en effet, les lignes G par une ligne L quelconque. Le point de rencontre de chaque ligne C avec la ligne L pourra être affecté de tous les couples de cotes afférant, en vertu de la définition précédente, à la ligne G considérée, et, de même que précédemment, la connaissance d'une des cotes d'un tel point entraînera, par l'intermédiaire de la ligne G correspondante, celle de l'autre.

Chaque point de la ligne L pourra donc être considéré comme provenant de la superposition d'une infinité de points à deux cotes, comme si le réseau de ces points était venu, en quelque sorte, se condenser sur cette ligne. Pour cette raison, nous appellerons les points à deux cotes de cette espèce des points condensés.

Parmi les systèmes de lignes à deux cotes qui se rencontrent le plus fréquemment dans les applications, il convient de distinguer à part les systèmes de droites parallèles. Considérons un tel sys-

(') II pourrait y avoir ainsi plusieurs déterminations distinctes; mais, dans les cas de la pratique où cette notion intervient, la détermination est généralement unique, et, sauf énonciation expresse du contraire, nous supposerons toujours dans la suite qu'il en est ainsi.

tème (A) (fig> 1 33) et rapportons-le à deux axes rectangulaires, l'un Ox perpendiculaire, l'autre Oy parallèle à sa direction.

Fig. i 33.

Rapportées à ces deux axes, les courbes (a) et ((3) du réseau ont des équations telles que

f(x, y, cc)= o,

et l'équation de la droite A passant par le point de rencontre de ces courbes, obtenue par élimination dey entre (î) et (2), sera

Ainsi le système (A) donne sur Ox les valeurs de la fonction di(a, p). Pour cette raison, l'ensemble qui vient d'être défini peut être dit Y échelle binaire de la fonction »}(a, P) le long de Ox, suivant la terminologie de M. Lallemand (').

Réciproquement, étant donnée la fonction <|>(a, £}), on peut se proposer de construire pour elle une échelle binaire. Il suffira pour cela de se donner une des deux premières équations, (1) par exemple. L'équation (2) résultera alors de l'élimination de a entre (1) et (3).

On reconnaît là un cas particulier du principe du n° 46.

Il va sans dire que, dans chaque cas particulier, la fonction <b

(') M. Lallemand qui, dans son Mémoire autographié sur les abaques hexagonaux, semble avoir, pour la première fois, fait un usage systématique des échelles binaires, déclare, dans la Note préliminaire de ce Mémoire (p. 7), être redevable de leur idée première à M. Prévôt, chef de bureau au Service du Nivellement général de la France.

étant donnée, on choisira l'équation (1) en vue de la plus grande simplicité de construction possible. On s'attachera notamment, chaque fois que faire se pourra, à n'avoir à tracer que des droites. Si, par exemple, la fonction <L (a, fi) est de la forme

on prendra pour équation (3)

(3.) *=*IU(a)Vi(P)-fcV,(P)],

/ étant un module quelconque, puis pour équation (1)

(ii) y=l'V.(a),

/' étant un autre module, parce qu'alors l'équation (2) sera

(2.) rx = lYl(P)y, + ll'V2($),

qui représente des droites.

Remarque I . — Les parallèles A pourront, dans tous les cas, être tracées équidislantes, mais on pourra aussi se dispenser de les tracer en les remplaçant, ainsi que cela a déjà été vu au n° 13, par un index mobile maintenu dans une direction parallèle à la leur. Dans ce cas, c'est l'ensemble des courbes (a) et ((3) qui sera dit V échelle binaire de la fonction <b (a, p) le long de Ox.

Remarque //. — On peut, pour la plus grande commodité du dessin, déplacer comme on veut l'échelle binaire dans la direction des droites A puisque, dans un tel déplacement, les points du réseau qui sont primitivement sur une certaine droite A, ne cessent pas de s'y trouver.

Remarque III. — L'échelle binaire (a, [3) étant accolée à l'axe Ox, les points de cet axe peuvent être considérés comme des points condensés à deux cotes a et (3, les couples de cotes de chacun d'eux étant ceux afférents à la parallèle à O^ passant en ce point.

116. F ractionnement des échelles binaires. — Le plus souvent l'échelle binaire de la fonction ^ (a, [3) accolée à Ox,

ce = lty(a, £)

sera constituée par des parallèles à cet axe, cotées au moyen des valeurs de a,

(a) r=l'oL

et par les courbes ((3) dont l'équation est

Supposons que les nécessités de l'application pratique que l'on a en vue exigent que ces courbes soient construites jusqu'à la parallèle PQ à Ox {fig. 1 34) correspondant à la valeur limite de a

Fig. i34.

(cote du point B).

Puisqu'on est libre de déplacer une échelle binaire dans le sens perpendiculaire à Ox {Rem. II du numéro précédent) on pourra, par exemple, en coupant l'échelle le long de l'horizontale du point A, milieu de OB, amener la partie supérieure de l'échelle à se superposer, par une translation parallèle à Oy, à la partie inférieure. Dans ce déplacement la portion du système ((3) comprise à l'intérieur de MNPQ vient en M'JYP'Q' et les horizontales comprises entre A et B viennent coïncider respectivement avec celles qui se trouvent entre O et A. Seulement, comme elles conservent leurs cotes, chacune des horizontales de O à A présentera, sur l'échelle binaire définitive, deux cotes distinctes, l'une se référant aux points situés à l'intérieur de ORMN, l'autre aux points situés à l'intérieur de M'N'P'Q'.

L'exemple donné plus loin (n° 118, 20) éclaircira ce point. C'est

3oo

d'ailleurs à cet exemple, dû à M. Chancel, que nous avons emprunté le principe qui vient d'être exposé.

117. Échelles binaires accolées. — En reprenant chacun des types d'abaques étudiés dans les Chapitres précédents et y remplaçant les éléments, points ou lignes, à une cote qui y interviennent par des éléments de même nature mais à deux cotes, on obtient de nouveaux types d'abaques sur lesquels le nombre des variables est doublé.

Par exemple, les abaques à échelles accolées (n° 9), lorsqu'on y remplace les échelles simples par des échelles binaires, fournissent le type représenté par la fig. 1 35 où les deux échelles bi-

lg. TOO.

naires, accolées par l'axe Oy, ont été écartées l'une de l'autre dans le sens perpendiculaire à cet axe (').

On voit immédiatement que le même type d'abaque serait

(') Bien des auteurs ont, indépendamment les uns des autres, eu recours à l'emploi d'échelles binaires accolées en vue d'applications particulières. Cet emploi se trouve indiqué, sous sa forme générale, dans le travail de M. Lallemand sur les abaques hexagonaux où cet auteur le présente comme dérivant de ce qu'il appelle le principe de l'élimination graphique et qui consiste à relier deux abaques à trois variables par un système commun de courbes cotées.

Dans la déclaration déjà citée (note au bas de la p. 297) de la Note préliminaire de son Mémoire, il fait savoir que c'est M. Renard, agent du Service du Nivellement général de la France, qui lui en a suggéré l'idée. Celle-ci avait

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o I

obtenu en partant de celui des abaques cartésiens à trois variables (n° 16) et y munissant les parallèles à Ox de deux cotes au lieu d'une par l'adjonction du réseau (ou, (32). L'échelle binaire de gauche donnant

v=^i(ai,Pi), et celle de droite

on voit que l'équation représentée est de la forme

<W(ai, Pi) = <M*2, i8^)-

Le mode d'emploi d'un tel abaque est fort simple. Si, par exemple, connaissant a, , (3, et ou on veut avoir (32, on n'a qu'à suivre l'horizontale passant par le point de rencontre de la verticale a, et de la courbe (3, jusqu'à la verticale a2. La courbe passant par ce nouveau point a pour cote (32.

On obtient encore le même type d'abaque en remplaçant, dans un abaque cartésien tel que ceux définis au n° 16, une des échelles simples portées sur Ox et Oy par une échelle binaire, ou, plus généralement, par une échelle à points condensés.

Si l'on effectue ce remplacement pour les deux axes on a l'abaque d'une équation à cinq variables (').

On peut enfin introduire une sixième variable en munissant les courbes de l'abaque d'un réseau de doubles cotes, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 115. Si ces courbes sont des droites parallèles on tombe sur un type d'abaque examiné plus loin (n° 119).

Exemple : Abaque de la prime des porte-mires du Nivellement général. — La fig. i36 reproduit l'abaque qui sert, au Service du Nivellement général de la France, à calculer la prime P d'un porte-mire en fonction du nombre total de nivelées N, de la longueur totale nivelée L, et du nombre de jours ouvrables a» (2). Cet abaque est du type cartésien à anamor-

d'ailleurs été antérieurement émise, et sous une forme plus générale, par M. Massau dans son Mémoire déjà plusieurs fois cité Sur l'intégration graphique (Liv. III, Chap. III, § I, n° 183).

(1) L'abaque des machines à fraiser que M. F.-J. Vaes a fait connaître en 189,4, dans le XVIIIe Jaarverslag van de Nederlandiche Vereeniging van Werktuig-en Scheepsbouwkundigen, appartient à cette catégorie, les axes Ox et Oy étant munis l'un et l'autre d'échelles à points condensés.

(2) Comme chaque opération comprend un aller et un retour, la prime s'applique, en réalité, à 2N nivelées réparties sur la longueur 2L; elle comporte, eu outre, le piquetage effectué par la brigade.

phose logarithmique, les axes étant munis de deux échelles binaires l'une

CD

fcC

pour N et w, l'autre pour L et w. Les fonctions représentées le long de ces

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o3

axes par ces échelles sont le nombre moyen journalier de nivelées n ei la longueur moyenne journalière l, dont les valeurs sont inscrites à côté des axes correspondants. Enfin la longueur moyenne d'une nivelée v, qui résulte de / et /i, donne lieu sur l'abaque à des droites cotées.

On voit sur la figure des traits interrompus qui correspondent à l'exemple numérique

L = 46k,n, N = 32T, o) = ii,

pour lequel l'abaque donne

P = 7f,5o, / = 4km,2o, rc = 29, P=i45m.

On peut présenter le principe des échelles binaires accolées sous une forme plus générale. Supposons que l'équation à quatre variables

F(at, (3i,a2, p2) = o

provienne de l'élimination de la variable y entre les deux équations

Ces deux équations seront représentables, indépendamment l'une de l'autre, par des abaques cartésiens, avec ou sans anamorphose, constitués chacun au moyen d'un système de lignes ((3) tracé sur un quadrillage (a, y) que définiront une échelle (a) portée sur Ox et une échelle (y) portée sur Oy. On pourra d'ailleurs toujours adopter une même échelle (y) sur les deux abaques. Il suffira dès lors de les accoler par leur axe Oy pour éliminer graphiquement la variable y et avoir, par suite, la représentation, par deux échelles binaires accolées (a,, fi{) et (a2, J32), de l'équation à quatre variables ci-dessus.

11 y aura même des cas où il sera avantageux, en regardant, dans ce qui précède, ol{ et ou comme une seule variable a, d'appliquer ce mode de représentation à une équation à trois variables a, [3, et (32, en particulier lorsqu'il en résultera la possibilité de n'avoir à tracer que des droites.

Lorsqu'il s'agira ainsi d'une équation à trois variables, on pourra adopter, pour les deux abaques partiels (a, [3,, y) et

3o4 CHAPITRE V.

(a, [j2, y), non seulement la même échelle (y), mais encore la même échelle (a), ce qui permettra de superposer ces deux abaques partiels (n°99). Dans ce cas, il sera inutile de tracer les parallèles (y) à Ox, puisque les points (a, y) des deux abaques seront en coïncidence. L'abaque résultant ne se composera dès lors plus que des parallèles (a) à Oy et des deux systèmes de lignes (fi,) et (^2), qui, par leur entrecroisement, représenteront l'équation en a, [4, et [jo donnée, et l'on voit que la transformation reviendra, dans ce cas, à l'application, sous une forme spéciale, du principe de l'anamorphose générale (4) (n°41), l'introduction de la variable v n'ayant servi qu'à effectuer la disjonction des variables.

118. Exemples : i° Abaque des annuités. — Si l'on représente par

A le montant d'un emprunt,

n la durée en années de l'amortissement,

/ le taux de l'intérêt,

a le montant de l'annuité,

on a

a foo

IOO

Cette équation est représentable par l'accolement, le long de Ox par exemple, de deux échelles binaires donnant l'une

et constituée par les droites cotées

(a) y = al',

(A) y = Axl',

(') Cette idée de principe a été présentée sous forme géométrique et très heureusement utilisée par M. Duplaix, dans un intéressant travail dont nous avons eu connaissance en cours d'impression du présent Ouvrage, et qui est intitulé : Abaques des efforts tranchants et des moments de flexion développés dans les poutres à une travée par les surcharges du Règlement du 29 août 1891 pour les ponts métalliques (Paris, Carré et Naud; 1899).

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o5

l'autre

MX) ./' =