Abaque à équerre. — ■ L'équation *( 3) du n° 102 peut

s'écrire

Sous cette forme, on voit qu'elle rentre dans le type indiqué à la fin du n° 95, et, par suite, qu'elle peut être représentée au moyen d'un abaque à équerre.

Fie;. i3o.

Il suffira de porter sur l'axe des x (fi g- i3o) les échelles

et sur l'axe des j^ l'échelle

l\) 1%, h étant des modules liés par la relation l* =1 l^L2.

Plaçant alors le sommet O' de l'équerre au point coté z et faisant passer le côté O' Y' par le point coté 8, on lit à la rencontre du côté O'X' et de la troisième échelle la valeur de 1.

Tel est le principe de l'instrument construit par M. Siéglersous le nom de profilo mètre (1 ).

0) A. P. C, p. 98; 1881, ier semestre.

2CJ2 CHAPITRE IV.

Pour le calcul de e, et, par suite, de X obtenu, comme nous l'avons vu, en accolant une seconde graduation à celle de s, l'auteur a eu recours à l'ingénieux dispositif que voici :

Fixons à l'équerre un axe NP parallèle à O' y' et portons sur cet axe l'échelle

le module l/4 étant tel que, si d est la distance du point O' au point N, on ait

d li

La similitude des triangles NPO' et 00' M donne

d ~~ ' (*-h8)/t ' ou, en vertu de l'égalité précédente,

qui est bien la formule (i) du n° 102.

Ce mode de représentation graphique de l'équation liant e à z et 9 ne rentre dans aucun des types d'abaques envisagés jusqu'ici. On verra plus loin (n° 149) comment il dérive de la théorie générale englobant tous les types possibles d'abaques.

114. Abaque langentiel. — Le procédé suivant, dû à M. Willotte (1), peut être rattaché au principe général du n° 58 dans le cas, envisagé page 128, où à deux des variables (ici z et 9) correspondent de simples points cotés, un de ces systèmes de points, (9), étant d'ailleurs rejeté à l'infini.

Soit ZOAB le gabarit d'un demi-profil de remblai (fig- 1 3 1 ). Pour achever de définir un tel demi-profil, il resterait à tracer la ligne du terrain naturel.

Si l'on considère toutes les positions de cette ligne pour lesquelles l'aire o- du demi-profil conserve une certaine valeur constante, ces positions ont pour enveloppe une certaine courbe qui pourra être cotée au moyen de la valeur choisie pour o\

(l) A. P. C, p. 3o3, 2e sem.; 1880.

SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 2g3

Il est très facile de déterminer la nature de celte enveloppe. A l'aire de chaque demi-profil considéré on peut, en effet, ajouter une constante, savoir l'aire du triangle que le prolongement de AB ferait avec les droites OA et OZ. L'enveloppe est donc une

Fig. i3i,

courbe dont la tangente forme avec les droites OZ et AB, prolongées jusqu'en leur point de rencontre, un triangle d'aire constante ; c'est, par suite, comme on sait, une hyperbole ayant OZ et AB pour asymptotes.

Si, pour un certain nombre de valeurs de o,(i) comprises entre les limites pratiques de cette quantité, on construit la portion utile des hyperboles correspondantes, on obtient le système des enveloppes (a-).

De même, toutes les positions de la ligne du terrain naturel correspondant à une même valeur de s ou de X passent nécessai-

(') On peut choisir soit des valeurs de a croissant par échelons égaux, comme on l'a fait pour les abaques précédents, soit les valeurs correspondant aux hyperboles qui, entre les limites assignées, ont leurs sommets (situés sur la bissectrice de l'angle de OZ et de AB) séparés par des intervalles égaux, ce qui donne pour ces sommets une graduation isograde (n° 8). Ce second choix, proposé par M. Willotte, donne un dessin plus satisfaisant. Le calcul des cotes se fait d'ailleurs très rapidement, puisque leurs différences secondes sont constantes.

2g4 CHAPITRE IV. — SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS.

rement par un même point de la ligne AB, qui pourra être coté à l'aide de cette valeur de s ou de "k. On obtient ainsi sur la ligne AB à la fois une échelle (s) et une échelle (X).

Cette seconde partie de l'abaque rentre dans la simple application du principe des points alignés, lorsque l'un des trois systèmes de points, ici (9), est rejeté à l'infini.

Si dès lors on applique sur le tableau ainsi formé un demiprofil dont trois des côtés s'appliquent sur OZ, OA et AB, le quatrième, c'est-à-dire la ligne du terrain naturel, sera tangent à une courbe (<x) dont la cote fera connaître l'aire du demi-profil, et passera par un point de la droite AB, dont les cotes e et ~k donneront la largeur d'emprise et la longueur du talus. Tel est le procédé de M. Willotte, qui suppose, comme on voit, les divers demi-profils dessinés sur un transparent pour être successivement appliqués sur le diagramme. Afin de rattacher complètement ce procédé aux abaques, il suffit de substituer au dessin des demiprofils le dispositif qui consiste : i° à graduer OZ suivant les valeurs de z prises à partir du point O; 2° à recourir à l'emploi d'un transparent portant un axe OZ' qu'on fera glisser le long de OZ et un système de droites issues de O' et cotées au moyen des valeurs de leur déclivité prise par rapport à la direction perpendiculaire à O'TJ .

Il suffira, pour faire la lecture relative à un demi-profil donné, d'appliquer le transparent sur le tableau précédemment défini, de façon que, l'axe 0'Z; étant en coïncidence avec OZ, l'origine O' se trouve sur le point de OZ coté z, La droite (9) du transparent sera alors tangente à la courbe (a-) et passera par le point (e) ou (a), dont les cotes sont les valeurs demandées pour les éléments correspondants.

Il sera question plus loin (n° 133) d'un dernier procédé pour le calcul des profils de remblai et de déblai, dû à M. Toulon.

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 2q5